56 bài tập Tính xác suất có điều kiện bằng công thức (có lời giải) - Đề 1

Gọi A là biến cố "Xuất hiện mặt chẵn chấm", B là biến cố "Xuất hiện mặt 6 chấm".

Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố A là $\{ 2;4;6\}$.

Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố B là $\{ 6\}$.

Do đó $P(B\mid A) = \frac{1}{3}$.

Nếu lần thứ nhất lấy được bi xanh thì xác suất xảy ra biến cố B là:

$P(B\mid A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}{\rm{. }}$

Nếu lần thứ nhất không lấy được bi xanh thì xác suất xảy ra biến cố B là:

$P(B\mid \bar A) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Không gian mẫu của phép thử:

$\Omega = \{ (1;2);(1;3);(2;1);(2;3);(3;1);(3;2)\} ,$

trong đó $(i;j)$ là kết quả lần thứ nhất lấy được thẻ ghi số $i$, lần thứ hai lấy được thẻ ghi số $j$.

Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố $A$ là: $\{ (1;2);(1;3)\}$.

Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố $B$ là: $\{ (2;1);(2;3)\}$.

Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố $C$ là: $\{ (2;1);(3;1);(1;3);(2;3)\}$.

Xác suất cần tìm là $P(C\mid A)$. Khi biến cố $A$ xày ra thì kết quả của phép thử là $(1;2)$ hoặc $(1;3)$. Trong hai kết quả đồng khả năng này chỉ có kết quả $(1;3)$ là thuận lợi cho biến cố $C$.

Vậy xác suất để thẻ lấy ra lần thứ hai ghi số lè, biết rằng thẻ lấy ra lần thứ nhất ghi số 1 là $P(C\mid A) = \frac{1}{2}$.

Xác suất cần tìm là $P(C\mid B)$. Khi biến cố $B$ xảy ra thì kết quà của phép thử là $(2;1)$ hoặc $(2;3)$. Cả hai kết quả này đều thuận lợi cho biến cố $C$.

Vậy xác suất để thẻ lấy ra lần thứ hai ghi số lè, biết rằng thẻ lấy ra lần thứ nhất ghi số 2 là $P(C\mid B) = 1$.

Tính $P(D\mid A)$.

Ta thấy khi biến cố $A$ xảy ra thì kết quả của phép thử là $(1;2)$ hoặc $(1;3)$. Đây đều là các kết quả thuận lợi cho biến cố $D$. Do đó $P(D\mid A) = 1$.

Tính $P(D\mid B)$

Ta thấy khi biến cố $B$ xảy ra thì kết quả của phép thử là $(2;1)$ hoặc $(2;3)$. Trong hai kết quả này thì có một kết quả thuận lợi cho biến cố $D$. Do đó $P(D\mid B) = \frac{1}{2}$

Gọi $A$ là biến cố "Thành viên được chọn biết chơi cờ tướng" và $B$ là biến cố "Thành viên được chọn biết chơi cờ vua".

Số thành viên của câu lạc bộ biết chơi cả hai môn cờ là $20 + 25 - 35 = 10$.

Do đó, trong số 20 thành viên biết chơi cờ tướng, có đúng 10 thành viên biết chơi cờ vua.

Vậy nên xác suất thành viên được chọn biết chơi cờ vua, biết rằng thành viên đó biết chơi cờ tướng là $P(B\mid A) = \frac{{10}}{{20}} = 0{,}5$.

Gọi A là biến cố "Thành viên được chọn biết chơi cờ vua" và B là biến cố "Thành viên được chọn không biết chơi cờ tướng".

Số thành viên của câu lạc bộ biết chơi cả hai môn cơ là $20 + 25 - 35 = 10$.

Do đó, trong số 25 thành viên biết chơi cờ vua có 10 thành viên biết chơi cờ tướng. Suy ra có 15 thành viên không biết chơi cờ tướng.

Vậy xác suất thành viên được chọn không biết chơi cờ tướng, biết rằng thành viên đó biết chơi cờ vua là $P(B\mid A) = \frac{{15}}{{25}} = \frac{3}{5}$

Ta có không gian mẫu của phép thử là

$\Omega = \{ ({\rm{i}};{\rm{j}}):1 \le {\rm{i}} \le 6{,}1 \le {\rm{j}} \le 6\}$ trong đó (i; j ) là số chấm xuất hiện lần lượt ở hai con xúc xắc. Suy ra $n(\Omega ) = 36$.

${\rm{A}} \cap {\rm{B}}$ là biến cố "Xuất hiện hai mặt có cùng số chấm và tổng bằng 8 ".

Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố $A \cap B$ là $\{ (4;4)\}$. Suy ra $n(A \cap B) = 1$.

Do đó $P(A \cap B) = \frac{1}{{36}}$.

B là biến cố "Tổng số chấm của hai mặt xuất hiện bằng 8".

Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố B là $\{ (2;6),(3;5),(4;4),(5;3),(6;2)\}$. Suy ra $n(B) = 5$.

Do đó $P(B) = \frac{5}{{36}}$. Vậy $\frac{{P(A \cap B)}}{{P(B)}} = \frac{1}{5}$.

Trong số 5 kết quả thuận lợi cho biến cố B thì có 1 kết quả thuận lợi cho biến A.

Do đó $P(A\mid B) = \frac{1}{5}$.

Ta có không gian mẫu của phép thử là

$\Omega = \{ ({\rm{i}};{\rm{j}}):1 \le {\rm{i}} \le 6{,}1 \le {\rm{j}} \le 6\}$ trong đó (i; j ) là số chấm xuất hiện lần lượt ở hai con xúc xắc. Suy ra $n(\Omega ) = 36$.

${\rm{C}} \cap {\rm{A}}$ là biến cố "Xuất hiện hai mặt có cùng số chấm trong đó có ít nhất một mặt 6 chấm".

Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố $C \cap A$ là $\{ (6;6)\}$. Suy ra $n(C \cap A) = 1$.

Do đó $P(C \cap A) = \frac{1}{{36}}$.

A là biến cố "Xuất hiện hai mặt có cùng số chấm".

Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố A là $\{ (1;1),(2;2),(3;3),(4;4),(5;5)$, $(6;6)\}$.

Suy ra $n(A) = 6$. Do đó $P(A) = \frac{6}{{36}} = \frac{1}{6}$. Vậy $\frac{{P(C \cap A)}}{{P(A)}} = \frac{1}{6}$.

Trong số 6 kết quả thuận lợi cho biến cố A thì có 1 kết quả thuận lợi cho biến cố C.

Do đó $P(C\mid A) = \frac{1}{6}$.

Gọi $A$ là biến cố "Người mua bảo hiểm ô tô là phụ nữ", $B$ là biến cố "Người mua bảo hiểm ô tô trên 45 tuổi". Ta cần tính $P(B\mid A)$.

Do có $48\%$ người mua bảo hiểm ô tô là phụ nữ nên $P(A) = 0{,}48$.

Do có $36\%$ số người mua bảo hiểm ô tô là phụ nữ trên 45 tuổi nên $P(AB) = 0{,}36$.

Vậy $P(B\mid A) = \frac{{P(AB)}}{{P(A)}} = \frac{{0{,}36}}{{0{,}48}} = 0{,}75$.

Theo công thức nhân xác suất, ta có $P(AB) = P(B)P(A\mid B) = 0{,}2$.

Vì $\bar AB$ và $AB$ là hai biến cố xung khắc và $\bar AB \cup AB = B$ nên theo tính chất của xác suất, ta có $P(\bar AB) = P(B) - P(AB) = 0{,}3$.

Theo công thức tính xác suất có điều kiện, $P(\bar A\mid B) = \frac{{P(\bar AB)}}{{P(B)}} = \frac{{0{,}3}}{{0{,}5}} = 0{,}6.$

Gọi A là biến cố "Chọn hai bạn có cùng giới tính".

B là biến cố "Chọn được ít nhất 1 bạn nam".

AB là biến cố "Chọn được hai bạn có cùng giới tính trong đó có ít nhất 1 bạn nam" hay AB "Chọn được 2 bạn nam".

Ta có $P(AB) = \frac{{C_5^2}}{{C_9^2}} = \frac{5}{{18}}$. $P(B) = \frac{{C_5^1 \cdot C_4^1}}{{C_9^2}} + \frac{{C_5^2}}{{C_9^2}} = \frac{5}{9} + \frac{5}{{18}} = \frac{5}{6}{\rm{. }}$

Do đó $P(A\mid B) = \frac{{P(AB)}}{{P(B)}} = \frac{5}{{18}}:\frac{5}{6} = \frac{1}{3}$.

Gọi A là biến cố "Bệnh nhân bị chấn thương vùng đầu".

B là biến cố "Bệnh nhân đội mũ bảo hiểm đúng cách".

AB là biến cố "Bệnh nhân bị chấn thương vùng đầu và đội mũ bảo hiểm đúng cách".

Theo đề ta có: ${\rm{P}}({\rm{AB}}) = 0{,}18;{\rm{P}}({\rm{B}}) = 0{,}9;P(A) = 0{,}8$.

Khi đó $P(A\mid B) = 0{,}18:0{,}9 = 0{,}2$.

Việc đội mũ bảo hiểm đúng cách sẽ làm giảm khả năng bị chấn thương vùng đầu số lần là: $0{,}8:0{,}2 = 4$ lần.

${\rm{ C\'o }}P(\bar B) = 1 - P(B) = 0{,}2.{\rm{ }}$

Theo công thức nhân xác suất ta có: $P(A\bar B) = P(\bar B) \cdot P(A\mid \bar B) = 0{,}2 \cdot 0{,}5 = 0{,}1.$

vi $A\bar B$ và AB là hai biến cố xung khắc và $A\bar B \cup AB = A$.

Suy ra $P(AB) = P(A) - P(A\bar B) = 0{,}4 - 0{,}1 = 0{,}3$. Do đó $P(A\mid B) = \frac{{P(AB)}}{{P(B)}} = \frac{{0{,}3}}{{0{,}8}} = \frac{3}{8}$

Áp dụng công thức nhân xác suất, ta có: $P(AB) = P(A) \cdot P(B\mid A) = 0{,}2 \cdot 0{,}8 =$ 0,16 .

Khi đó, ta có: $P(A\mid B) = \frac{{P(AB)}}{{P(B)}} = \frac{{0{,}16}}{{0{,}51}} \approx 0{,}3137$

Vi $A$, $B$ là hai biến cố độc lập nên $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0{,}8 \cdot 0{,}25 = 0{,}2$.

Khi đó, ${\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}) = \frac{{P(A \cap B)}}{{P(B)}} = \frac{{0{,}2}}{{0{,}25}} = 0{,}8$

Vi ${\rm{A}} \cap \bar B$ và ${\rm{A}} \cap {\rm{B}}$ là hai biến cố xung khắc và $({\rm{A}} \cap \bar B) \cup ({\rm{A}} \cap {\rm{B}}) = {\rm{A}}$ nên theo tính chất của xác suất ta có ${\rm{P}}({\rm{A}}) = {\rm{P}}({\rm{A}} \cap \bar B) + {\rm{P}}({\rm{A}} \cap {\rm{B}})$.

Suy ra ${\rm{P}}({\rm{A}} \cap \bar B) = {\rm{P}}({\rm{A}}) - {\rm{P}}({\rm{A}} \cap {\rm{B}}) = 0{,}6 - 0{,}4 = 0{,}2$.

Có ${\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}) = 2{\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}})$ nên $\frac{{P(A\mid B)}}{{P(B\mid A)}} = 2{\rm{ }}(1)$.

Mà $P(A\mid B) = \frac{{P(AB)}}{{P(B)}};P(B\mid A) = \frac{{P(AB)}}{{P(A)}}$ (2).

Từ (1) và (2), suy ta $\frac{{P(A)}}{{P(B)}} = 2$.

Gọi A là biến cố "Sách được chọn là sách khoa học tự nhiên",

B là biến cố "Sách được chọn là quyển sách về khoa học".

AB là biến cố "Sách được chọn là sách khoa học và là sách khoa học tự nhiên"

Theo đề ta có $P(A) = 0{,}14;P(B) = 0{,}35;P(AB) = P(A) = 0{,}14$.

Do đó $P(A\mid B) = \frac{{P(AB)}}{{P(B)}} = \frac{{0{,}14}}{{0{,}35}} = 0{,}4$.

Gọi A là biến cố "Hộ gia đình đó sử dụng điện để đun nước" và B là biến cố "Hộ gia đình đó sử dụng ấm điện siêu tốc".

Theo đề ta có ${\rm{P}}({\rm{A}}) = 0{,}85;{\rm{P}}({\rm{B}}) = 0{,}21;P(A\mid B) = 1$.

Cần tính $P(B\mid A)$.

Ta có $P(B\mid A) = \frac{{P(B) \cdot P(A\mid B)}}{{P(A)}} = \frac{{0{,}21}}{{0{,}85}} \approx 0{,}247$