5 câu Trắc nghiệm Toán 10 chân trời sáng tạo Hàm số bậc hai có đáp án (Vận dụng)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Quan sát đồ thị, ta thấy parabol cắt trục hoành tại đỉnh của parabol hay parabol cắt trục hoành tại một điểm duy nhất.

Nghĩa là, phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm kép.

Do đó ∆ = 0.

Suy ra b2 – 4ac = 0 (1)

Ta có f(c) = c.

Suy ra ac2 + bc + c = c.

Khi đó c(ac + b) = 0.

Vì vậy ac + b = 0 (vì c ≠ 0).

Do đó $c = - \frac{b}{a}$ (vì a ≠ 0).

Thay $c = - \frac{b}{a}$ vào (1) ta được: ${b^2} - 4.a.\left( { - \frac{b}{a}} \right) = 0$.

Khi đó b2 + 4b = 0 Û b(b + 4) = 0.

Vì vậy b = 0 hoặc b = –4.

Vì b ≠ 0 nên ta nhận b = –4.

Vậy ta chọn phương án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 4 tại x = 2.

Tức là đỉnh S(2; 4) và a > 0.

Suy ra 4 = a.2$^{2}$ + b.2 + c.

Do đó 4a + 2b + c = 4 (1)

Ta có x$_{S}$ = 2.

Suy ra $- \frac{b}{{2a}} = 2$.

Do đó –b = 4a (2)

Đồ thị hàm số đi qua điểm A(0; 6).

Suy ra 6 = a.0$^{2}$ + b.0 + c.

Do đó c = 6 (3)

Thay (2), (3) vào (1), ta được: –b + 2b + 6 = 4.

Suy ra b = –2.

Với b = –2, thay vào (2) ta được 4a = 2.

Suy ra $a = \frac{1}{2}$ (thỏa mãn a > 0).

Vì vậy ta có $a = \frac{1}{2}$, b = –2, c = 6.

Khi đó P = abc = $\frac{1}{2}.\left( { - 2} \right).6 = - 6$.

Vậy ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Hàm số đã cho có dạng y = ax$^{2}$ + bx + c, với a = m, b = –2m, c = –m$^{2}$ – 2 (m ≠ 0).

Suy ra b’ = –m.

∆ = b’$^{2}$ – ac = (–m)$^{2}$ – m.(–m$^{2}$ – 2) = m$^{3}$ + m$^{2}$ + 2m.

Đỉnh S có tọa độ:

⦁ ${x_S} = - \frac{{b'}}{a} = - \frac{{ - m}}{m} = 1$;

⦁ ${y_S} = - \frac{{\Delta '}}{a} = - \frac{{{m^3} + {m^2} + 2m}}{m} = - \frac{{m\left( {{m^2} + m + 2} \right)}}{m}$

Do đó y$_{S}$ = –m$^{2}$ – m – 2 (vì m ≠ 0).

Suy ra tọa độ đỉnh S(1; –m$^{2}$ – m – 2).

Vì đỉnh S nằm trên đường thẳng y = x – 3 nên ta có:

–m$^{2}$ – m – 2 = 1 – 3.

Suy ra –m$^{2}$ – m = 0

Khi đó m = 0 (loại) hoặc m = –1 (thỏa mãn).

Vì vậy m ∈ (–3; 3).

Vậy ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Gọi T là trọng lượng tất cả số con cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ.

Vì trên một diện tích của mặt hồ có n con cá nên ta có:

T = (360 – 10n).n = –10n$^{2}$ + 360n.

Hàm số T có dạng T = an$^{2}$ + bn + c, với a = –10, b = 360, c = 0.

∆ = b$^{2}$ – 4ac = 360$^{2}$ – 4.(–10).0 = 129 600.

Vì a = –10 < 0 nên hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng $\frac{{ - \Delta }}{{4a}}$ tại $n = \frac{{ - b}}{{2a}}$.

Khi đó ${T_{\max }} = \frac{{ - 129\,\,600}}{{4.\left( { - 10} \right)}} = 3\,\,240$ khi $n = \frac{{ - 360}}{{2.\left( { - 10} \right)}} = 18$.

Vậy phải thả 18 con cá trên một đơn vị diện tích để trọng lượng cá sau một vụ thu được nhiều nhất.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Gọi A và B là hai điểm ứng với chân cổng như hình vẽ.

Vì cổng hình parabol có phương trình $y = - \frac{1}{2}{x^2}$ và có chiều rộng d = 5 (m) nên ta có: AB = 5.

Gọi I là trung điểm AB. Suy ra IA = IB = $\frac{{AB}}{2} = \frac{5}{2}$ (m).

Hàm số đã cho có dạng y = ax$^{2}$ + bx + c, với $a = - \frac{1}{2}$, b = c = 0.

Vì b = 0 nên Oy là trục đối xứng của parabol.

Do đó trung điểm I của đoạn thẳng AB nằm trên Oy.

Khi đó điểm I có hoành độ bằng 0.

Vì IA = IB = $\frac{5}{2}$ nên ta có ${x_A} = - \frac{5}{2},\,\,{x_B} = \frac{5}{2}$.

Với ${x_A} = - \frac{5}{2}$, ta có ${y_A} = - \frac{1}{2}.{\left( { - \frac{5}{2}} \right)^2} = - \frac{{25}}{8}$.

Suy ra tọa độ $A\left( { - \frac{5}{2}; - \frac{{25}}{8}} \right)$.

Với ${x_B} = \frac{5}{2}$, ta có ${y_B} = - \frac{1}{2}.{\left( {\frac{5}{2}} \right)^2} = - \frac{{25}}{8}$.

Suy ra tọa độ $B\left( {\frac{5}{2}; - \frac{{25}}{8}} \right)$.

Vì vậy chiều cao h của cổng là:

h = OI = |y$_{A}$| = |y$_{B}$| = $\left| { - \frac{{25}}{8}} \right| = \frac{{25}}{8} = 3{,}125$ (m).

Vậy ta chọn phương án B.