5 câu Trắc nghiệm Toán 10 Cánh diều Bài 4. Nhị thức Newton (Phần 2) có đáp án (Vận dụng)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có:

${\left( {{x^3} + 2{y^2}} \right)^5} = C_5^0.{\left( {{x^3}} \right)^5} + C_5^1.{\left( {{x^3}} \right)^4}.\left( {2{y^2}} \right) + C_5^2.{\left( {{x^3}} \right)^3}.{\left( {2{y^2}} \right)^2} + C_5^3.{\left( {{x^3}} \right)^2}.{\left( {2{y^2}} \right)^3}$

$+ C_5^4.{\left( {{x^3}} \right)^1}.{\left( {2{y^2}} \right)^4} + C_5^5.{\left( {2{y^2}} \right)^5}$

$= {x^{15}} + 5.{x^{12}}.2.{y^2} + 10.{x^9}.4.{y^4} + 10.{x^6}.8.{y^6}$$+ 5.{x^3}.16{y^8} + 32{y^{10}}$

= x$^{15}$ + 10x$^{12}$.y$^{2}$ + 40x$^{9}$y$^{4}$ + 80x$^{6}$.y$^{6}$ + 80x$^{3}$y$^{8}$ + 32y$^{10}$

Số hạng 80x$^{6}$y$^{6}$ có số mũ của x và y bằng nhau. Do đó, hệ số cần tìm là 80.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có $C_n^2 - C_n^1 = 2$

$\Leftrightarrow \frac{{n!}}{{2!.(n - 2)!}} - \frac{{n!}}{{1!.(n - 1)!}} = 2$

$\Leftrightarrow \frac{{n(n - 1)(n - 2)!}}{{2.(n - 2)!}} - \frac{{n(n - 1)!}}{{(n - 1)!}} = 2$

$\Leftrightarrow \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} - n = 2$

$\Leftrightarrow n(n - 1) - 2n - 4 = 0$

$\Leftrightarrow {n^2} - 3n - 4 = 0$

Suy ra n = 4 hoặc n = – 1 (loại).

Với n = 4, ta có:

${\left( {x\sqrt x + \frac{1}{{{x^4}}}} \right)^4}$

= $C_4^0.{\left( {x\sqrt x } \right)^4} + C_4^1.{\left( {x\sqrt x } \right)^3}.\frac{1}{{{x^4}}} + C_4^2.{\left( {x\sqrt x } \right)^2}.{\left( {\frac{1}{{{x^4}}}} \right)^2}$

$$+ C_4^3.\left( {x\sqrt x } \right).{\left( {\frac{1}{{{x^4}}}} \right)^3} + C_4^4.{\left( {\frac{1}{{{x^4}}}} \right)^4}$$

= ${x^6} + 4.{x^4}.\sqrt x .\frac{1}{{{x^4}}} + 6.{x^3}.\frac{1}{{{x^8}}}$$+ 4\left( {x\sqrt x } \right).\frac{1}{{{x^{12}}}} + \frac{1}{{{x^{16}}}}$

= ${x^6} + 4.\sqrt x . + 6.\frac{1}{{{x^5}}}$$+ 4.\frac{{\sqrt x }}{{{x^{11}}}} + \frac{1}{{{x^{16}}}}$

Số hạng có số mũ thấp nhất của khai triển là $\frac{1}{{{x^{16}}}}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

$${\left( {1 + x + {x^2} + {x^3}} \right)^5} = {\left[ {\left( {1 + x} \right) + {x^2}\left( {1 + x} \right)} \right]^5} = {\left[ {\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + x} \right)} \right]^5}$$

Áp dụng khai triển nhị thức Newton ta có:

${\left( {1 + {x^2}} \right)^5} = C_5^0{.1^5} + C_5^1{.1^4}.{\left( {{x^2}} \right)^1} + C_5^2{.1^3}.{\left( {{x^2}} \right)^2} + C_5^3{.1^2}.{\left( {{x^2}} \right)^3} + C_5^4.1.{\left( {{x^2}} \right)^4} + C_5^5.{\left( {{x^2}} \right)^5}$

${\left( {1 + x} \right)^5} = C_5^0{.1^5} + C_5^1{.1^4}.{x^1} + C_5^2{.1^3}.{x^2} + C_5^3{.1^2}.{x^3} + C_5^4.1.{x^4} + C_5^5.{x^5}$

Xét ${\left[ {\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + x} \right)} \right]^5}$ = ${\left( {1 + {x^2}} \right)^5}$.${\left( {1 + x} \right)^5}$ để có x$^{5}$ thì (x$^{2}$)$^{i}$.x$^{j}$ = x$^{5}$ hay x$^{2i + j}$ = x$^{5}$ với i; j là số tự nhiên và i; j bé hơn 5.

Khi đó, số hạng chứa x$^{5}$ trong khai triển là:

$C_5^0{.1^5}.C_5^5{x^5} + C_5^1{.1^4}.{x^2}.C_5^3{.1^2}.{x^3} + C_5^2{.1^3}.{x^4}.C_5^1{.1^4}.x$ = x$^{5}$ + 50x$^{5}$ + 50x$^{5}$ = 101x$^{5}$

Vậy hệ số của x$^{5}$ trong khai triển là 101.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có

$3C_n^2 + 2A_n^2 = 3{n^2} - 5$

$\Leftrightarrow \frac{{3n!}}{{(n - 2)!2!}} + \frac{{2n!}}{{(n - 2)!}} = 3{n^2} - 5$

$\Leftrightarrow \frac{{3.n.(n - 1).(n - 2)!}}{{(n - 2)!.2}} + \frac{{2.n.(n - 1).(n - 2)!}}{{(n - 2)!}} = 3{n^2} - 5$

$\Leftrightarrow \frac{{3.n.(n - 1)}}{2} + 2.n.(n - 1) = 3{n^2} - 5$

$\Leftrightarrow 3{n^2} - 3n + 4{n^2} - 4n - 6{n^2} + 10 = 0$

$\Leftrightarrow {n^2} - 7n + 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 5\\n = 2\end{array} \right.$. Mà n > 2 nên n = 5.

Khi đó:

${\left( {2{x^3} - \frac{3}{{{x^2}}}} \right)^5} = {\left( {2{x^3} - 3{x^{ - 2}}} \right)^5}$

$= C_5^0.{\left( {2{x^3}} \right)^5} + C_5^1.{\left( {2{x^3}} \right)^4}.\left( { - 3{x^{ - 2}}} \right) + C_5^2.{\left( {2{x^3}} \right)^3}.{\left( { - 3{x^{ - 2}}} \right)^2}$

$+ C_5^3.{\left( {2{x^3}} \right)^2}.{\left( { - 3{x^{ - 2}}} \right)^3} + C_5^4.{\left( {2{x^3}} \right)^1}.{\left( { - 3{x^{ - 2}}} \right)^4} + C_5^5.{\left( { - 3{x^{ - 2}}} \right)^5}$

$= {2^5}.{x^{15}} + {5.2^4}.{x^{12}}.( - 3).{x^{ - 2}} + {10.2^3}.{x^9}.{\left( { - 3} \right)^2}.{x^{ - 4}}$

$+ {10.2^2}.{x^6}.{\left( { - 3} \right)^3}.{x^{ - 6}} + 5.2{x^3}.{\left( { - 3} \right)^4}.\left( {{x^{ - 8}}} \right) + {\left( { - 3} \right)^5}.\left( {{x^{ - 10}}} \right)$

$= 32.{x^{15}} - 240.{x^{10}} + 720.{x^5}$$- 1080 + 810{x^{ - 5}} - 243.{x^{ - 10}}$

Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là –1 080.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

${(\sqrt 3 - \sqrt[4]{5})^4} = C_4^0.{\left( {\sqrt 3 } \right)^4} + C_4^1.{\left( {\sqrt 3 } \right)^3}.\left( { - \sqrt[4]{5}} \right) + C_4^2.{\left( {\sqrt 3 } \right)^2}.{\left( { - \sqrt[4]{5}} \right)^2}$

$+ C_4^3.{\left( {\sqrt 3 } \right)^1}.{\left( { - \sqrt[4]{5}} \right)^3} + C_4^4.{\left( { - \sqrt[4]{5}} \right)^4}$

$= 9 - 4.3.\sqrt 3 .\sqrt[4]{5} + 6.3.\sqrt 5$$- 4.\sqrt 3 .\sqrt[4]{{{5^3}}} + 5$

Các số hạng là số hữu tỉ là 9 và 5. Do đó, tổng các số hạng hữu tỉ là 9 + 5 = 14.