5 bài tập Xác định tham số để phương trình bậc hai có nghiệm thõa điều kiện cho trước (biểu thức không đối xứng) (có lời giải)

Phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow {\Delta ^\prime } = 1 - m \ge 0 \Leftrightarrow m \le 1$ (*)

Theo hệ thức Viète ta có: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{x_1} + {x_2} = - 2}\\{{x_1}{x_2} = m}\end{array}} \right.$

Kết hợp với giả thiết $3{x_1} + 2{x_2} = 1$ ta có hệ : $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{x_1} + {x_2} = - 2\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)}\\{3{x_1} + 2{x_2} = 1\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)}\\{{x_1}{x_2} = m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)}\end{array}} \right.$

Từ (1) và (2) giải ra ta được: ${x_1} = 5;\,\,{x_2} = - 7$.

Thay vào (3) ta được :$m = - 35$(thỏa (*)). Vậy $m = - 35$.

Có $\Delta ' = {\left( { - 2} \right)^2} - 1.\left( { - {m^2} - 1} \right) = {m^2} + 5 > 0\,\forall m.$

Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt ${x_1},{\rm{ }}{x_2}$

Theo định lý Viét, ta có ${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{b}{a}$$=4$ ; ${x}_{1}{x}_{2}=\frac{c}{a}$ $=-{m}^{2}-1$

Giải hệ $\left\{ \begin{array}{l}{x_2} = - 5{x_1}\\{x_1} + {x_2} = 4\end{array} \right. \Rightarrow - 5{x_1} + {x_1} = 4 \Rightarrow {x_1} = - 1 \Rightarrow {x_2} = 5.$

Có $\Delta ' = {\left[ { - \left( {k - 1} \right)} \right]^2} - 1.\left( { - 4k} \right) = {\left( {k - 1} \right)^2} + 4k = {\left( {k + 1} \right)^2}$

Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt ${x_1},{\rm{ }}{x_2}$ khi $k \ne - 1$

Theo định lý Viét, ta có ${x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}$ $= 2k - 2$, ${x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = - 4k$

Giải hệ $\left\{ \begin{array}{l}3{x_1} - {x_2} = 2\\{x_1} + {x_2} = 2k - 2\end{array} \right. \Rightarrow 4{x_1} = 2k \Rightarrow {x_1} = \frac{k}{2} \Rightarrow {x_2} = \frac{{3k - 4}}{2}.$

Thay${x_1} = \frac{k}{2} \Rightarrow {x_2} = \frac{{3k - 4}}{2}.$ vào ${x_1}{x_2} = \frac{c}{a}$$= - 4k$ , ta được

$\frac{k}{2} \cdot \frac{{3k - 4}}{2} = - 4k \Leftrightarrow 3{k^2} + 12k = 0 \Leftrightarrow k = 0,k = - 4$ (thỏa mãn).

Vậy $k = 0,k = - 4$ là giá trị cần tìm.

Có $\Delta ' = {\left( { - 3} \right)^2} - 1.\left( {m + 3} \right) = 6 - m.$

Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt ${x_1},{\rm{ }}{x_2}$ khi $\Delta ' > 0 \Leftrightarrow 6 - m > 0 \Leftrightarrow m < 6$

Theo định lý Viét, ta có ${x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}$$= 6$ , ${x_1}{x_2} = \frac{c}{a}$$= m + 3$

Giải hệ $\left\{ \begin{array}{l}{x_2} = x_1^2\\{x_1} + {x_2} = 6\end{array} \right. \Rightarrow x_1^2 + {x_1} - 6 = 0 \Rightarrow {x_1} = - 3 \Rightarrow {x_1} = 2.$

 Với ${x_1} = - 3 \Rightarrow {x_2} = 9$ thay vào ${x_1}{x_2} = m + 3 \Rightarrow m = - 30$(thỏa mãn)

 Với ${x_1} = 2 \Rightarrow {x_2} = 4$ thay vào ${x_1}{x_2} = m + 3 \Rightarrow m = 5$(thỏa mãn)

Vậy $m = - 30;$$m = 5$là giá trị cần tìm.

Xét phương trình :${x^2} - 5x + m - 3 = 0$. Ta có:

$\Delta = {\left( { - 5} \right)^2} - 4.1.\left( {m - 3} \right) = 37 - 4m$

Để phương trình đã cho có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$thì

$\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 \ne 0\,(luon\,dung)\\37 - 4m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m < \frac{{37}}{4}$.

Áp dụng hệ thức Viet ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 5\\{x_1}{x_2} = m - 3\end{array} \right.$

Vì ${x_1} + {x_2} = 5 \Rightarrow {x_2} = 5 - x$

Ta có: ${x^2} - 5x + m - 3 = 0 \Leftrightarrow m - 3 = 5x - {x^2}$

Mà ${x_1}$là nghiệm của phương trình ${x^2} - 5x + m - 3 = 0$nên $m - 3 = 5{x_1} - x_1^2$. Ta có:

$\begin{array}{l}x_1^2 - 2{x_1}{x_2} + 3{x_2} = 1 \Leftrightarrow x_1^2 - 2\left( {m - 3} \right) + 3\left( {5 - {x_1}} \right) = 1\\ \Leftrightarrow x_1^2 - 2\left( {5{x_1} - x_1^2} \right) + 3\left( {5 - {x_1}} \right) = 1 \Leftrightarrow x_1^2 - 10{x_1} + 2x_1^2 + 15 - 3{x_1} - 1 = 0\\ \Leftrightarrow 3x_1^2 - 13{x_1} + 14 = 0 \Leftrightarrow \left( {{x_1} - 2} \right)\left( {3{x_1} - 7} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = 2 \Rightarrow m - 3 = 5.2 - {2^2} \Leftrightarrow m = 9(tm)\\{x_1} = \frac{7}{3} \Rightarrow m - 1 = 5.\frac{7}{3} - {\left( {\frac{7}{3}} \right)^2} \Leftrightarrow m = \frac{{83}}{9}(tm)\end{array} \right.\end{array}$

Vậy $m = 9,m = \frac{{83}}{9}$là các giá trị cần tìm .