5 bài tập Giải phương trình có chứa ẩn ở mẫu (có lời giải)

a) ĐKХĐ: $x \ne 1$, MTC: ${x^3} - 1 = (x - 1)\left( {{x^2} + x + 1} \right)$.

$\frac{1}{{x - 1}} - \frac{{3{x^2}}}{{{x^3} - 1}} = \frac{{2x}}{{{x^2} + x + 1}}$

$\frac{{{x^2} + x + 1}}{{(x - 1)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} - \frac{{3{x^2}}}{{{x^3} - 1}} = \frac{{2x(x - 1)}}{{(x - 1)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}$

${x^2} + x + 1 - 3{x^2} = 2{x^2} - 2x$

$$4{x^2} - 3x - 1 = 0$$

$\left( {3{x^2} - 3x} \right) + \left( {{x^2} - 1} \right) = 0$

$3x(x - 1) + (x - 1)(x + 1) = 0$

$(x - 1)(4x + 1) = 0$

$x - 1 = 0$ hoặc $4x + 1 = 0$

$x = 1$ (loại) hoặc $x = - \frac{1}{4}$ (TMĐK)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x = - \frac{1}{4}$.

b) ĐKХĐ: $x \ne 1,x \ne 2$ và $x \ne 3$. MTC: $(x - 1)(x - 2)(x - 3)$.

$\frac{3}{{(x - 1)(x - 2)}} + \frac{2}{{(x - 3)(x - 1)}} = \frac{1}{{(x - 2)(x - 3)}}$

$\frac{{3(x - 3)}}{{(x - 1)(x - 2)(x - 3)}} + \frac{{2(x - 2)}}{{(x - 1)(x - 2)(x - 3)}} = \frac{{x - 1}}{{(x - 1)(x - 2)(x - 3)}}$

$3(x - 3) + 2(x - 2) = x - 1$

$3x - 9 + 2x - 4 = x - 1$

$4x = 12$

$x = 3$ (không thỏa mãn ĐKXĐ).

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

c) ĐKХĐ: $x \ne - 2$, MTC: ${x^3} + 8 = (x + 2)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)$

$1 + \frac{1}{{x + 2}} = \frac{{12}}{{8 + {x^3}}}$

$\frac{{{x^3} + 8}}{{{x^3} + 8}} + \frac{{{x^2} - 2x + 4}}{{(x + 2)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)}} = \frac{{12}}{{{x^3} + 8}}$

${x^3} + 8 + {x^2} - 2x + 4 = 12$

${x^3} + {x^2} - 2x = 0$

$x\left( {{x^2} + x - 2} \right) = 0$

TH1: $x = 0$

TH2: ${x^2} + x - 2 = 0$

$$\left( {{x^2} - 1} \right) + (x - 1) = 0$$

$$\left( {{{\rm{x}}^2} - 1} \right) + ({\rm{x}} - 1) = 0$$

$$\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) + \left( {x - 1} \right) = 0$$

$$(x - 1)(x + 2) = 0$$

$x = 1$ (TMĐK) hoặc $x = - 2$ (loại)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x = 1$.

d) ĐKХĐ: $x \ne \pm 3$ và $x \ne - \frac{7}{2}$, MTC: $(x - 3)(x + 3)(2x + 7)$

$\frac{{13}}{{(x - 3)(2x + 7)}} + \frac{1}{{2x + 7}} = \frac{6}{{(x - 3)(x + 3)}}$

$\frac{{13(x + 3)}}{{(x - 3)(x + 3)(2x + 7)}} + \frac{{(x - 3)(x + 3)}}{{(x - 3)(x + 3)(2x + 7)}} = \frac{{6(2x + 7)}}{{(x - 3)(x + 3)(2x + 7)}}$

$13(x + 3) + (x - 3)(x + 3) = 6(2x + 7)$

$13x + 39 + {x^2} - 9 = 12x + 42$

${x^2} + x - 12 = 0$

${x^2} - 3x + 4x - 12 = 0$

$x(x - 3) + 4(x - 3) = 0$

$$x - 3)(x + 4) = 0$$

$x - 3 = 0$ hoặc $x + 4 = 0$

$x = 3$ (loại) hoặc $x = - 4$ (TMĐK)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x = - 4$.

a) ĐKХĐ: $x \ne 0$.

$\left( {\frac{1}{x} + 2} \right) = \left( {\frac{1}{x} + 2} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)$

$\frac{{1 + 2x}}{x} = \frac{{(1 + 2x)\left( {{x^2} + 1} \right)}}{x}$

$1 + 2x = (1 + 2x)\left( {{x^2} + 1} \right)$

$(1 + 2x)\left( {{x^2} + 1} \right) - (1 + 2x) = 0$

$(1 + 2x)\left( {{x^2} + 1 - 1} \right) = 0$

$(1 + 2x){x^2} = 0$
$x = 0$ hoặc $1 + 2x = 0$

$x = 0$ (loại) hoặc $x = \frac{{ - 1}}{2}$(TMĐK)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x = \frac{{ - 1}}{2}$.