44 bài tập Đạo hàm và khảo sát hàm số có lời giải

Ta có: $f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} + 3}$$\Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 3} }}$.

Vậy $S = f\left( 1 \right) + 4f'\left( 1 \right)$$= \sqrt {{1^2} + 3} + 4 \cdot \frac{1}{{\sqrt {{1^2} + 3} }}$$= 4$. Chọn B.

Ta có $f'\left( x \right) = 2 - {e^x}$. Trên khoảng $\left( {0;2} \right)$, $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \ln 2$.

$f\left( 0 \right) = 1;\,f\left( {\ln 2} \right) = 2\ln 2;\,f\left( 2 \right) = 6 - {e^2}$. Vậy $\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( {\ln 2} \right) = 2\ln 2$. Chọn D.

Ta có $y = \frac{{{x^2} - x + 2}}{{x + 1}} = x - 2 + \frac{4}{{x + 1}}$.

Suy ra đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận xiên là $y = x - 2$. Chọn A.

Dựa vào đồ thị ta thấy $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty \,\, \Rightarrow a < 0$.

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm $\left( {0;d} \right)\,\, \Rightarrow \,d < 0$. Chọn B.

Từ bảng biến thiên, ta có tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ là đường thẳng $x = 1$.

Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên các khoảng $\left( { - 1;1} \right)$ và $\left( {1;3} \right)$, không đồng biến trên $\left( { - 1;3} \right)$.

$- 1$ và $3$ là hai điểm cực trị của hàm số $y = f\left( x \right)$, không phải giá trị cực trị.

Giá trị lớn nhất của hàm số trên nửa đoạn $\left( {1;2} \right]$ bằng $f\left( 2 \right)$ và $f\left( 2 \right) < - 2$.

Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Sai.

TXĐ: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}$. Ta có: $y' = \frac{{{x^2} + 4x + 5}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in D$.

Vậy hàm số luôn đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty ; - 2} \right)$ và $\left( { - 2; + \infty } \right)$.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} \frac{{{x^2} + x - 3}}{{x + 2}} = + \infty$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} \frac{{{x^2} + x - 3}}{{x + 2}} = - \infty$.

Vậy $x = - 2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có: $a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} + x - 3}}{{{x^2} + 2x}} = 1$ và $b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{{x^2} + x - 3}}{{x + 2}} - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - x - 3}}{{x + 2}} = - 1$.

Vậy $y = x - 1$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có: $y = \frac{{{x^2} + x - 3}}{{x + 2}} = \frac{{{x^2} + 2x - \left( {x + 2} \right) - 1}}{{x + 2}} = x - 1 - \frac{1}{{x + 2}}$.

Để $x \in \mathbb{Z}$ và $y \in \mathbb{Z}$ thì suy ra $\frac{1}{{x + 2}} \in \mathbb{Z}$ suy ra $\left[ \begin{array}{l}x + 2 = 1\\x + 2 = - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = - 3\end{array} \right.$.

Với $x = - 1 \Rightarrow y = - 3$.

Với $x = - 3 \Rightarrow y = - 3$.

Vậy có 2 điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thị $\left( C \right)$, số phần tử của $S$ là $2$.

Đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.

Từ bảng biến thiên suy ra đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là $x = 2$, có đường tiệm cận ngang là $y = 1$.

Từ bảng biến thiên suy ra trên khoảng $\left( { - \infty ;\,2} \right)$, đồ thị hàm số luôn nằm phía trên so với đường thẳng $y = 1 \Rightarrow f\left( x \right) > 1\,\,\forall \,\,x \in \left( { - \infty ;\,2} \right) \Rightarrow f\left( { - 5} \right) > 1 > 0$.

Ta có:

+ Đường tiệm cận ngang là $y = 1 \Rightarrow \frac{a}{b} = 1 \Leftrightarrow a = b$.

+ Đường tiệm cận đứng là $x = 2 \Rightarrow \frac{{ - c}}{b} = 2 \Leftrightarrow c = - 2b = - 2a$.

Mặt khác: $f'\left( x \right) = \frac{{ac - 3b}}{{{{\left( {bx + c} \right)}^2}}} > 0\,\,\forall x \ne 2$.

$\Rightarrow ac - 3b > 0 \Leftrightarrow - 2{a^2} - 3a > 0 \Rightarrow \frac{{ - 3}}{2} < a < 0 \Rightarrow b < 0,\,\,c > 0$.

Vậy trong các số $a,b$ và $c$ có hai số âm.

Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Sai.

Ta có $2x + 2y + \pi x = 4$, suy ra $y = 2 - \frac{{\left( {\pi + 2} \right)x}}{2}$.

$S\left( x \right) = 2xy + \frac{{\pi {x^2}}}{2} = 2x\left( {2 - x - \frac{{\pi x}}{2}} \right) + \frac{{\pi {x^2}}}{2} = 4x - 2{x^2} - \frac{{\pi {x^2}}}{2}$ (m$^{2}$).

Ta có $x > 0$ và $y > 0$, suy ra $0 < x < \frac{4}{{\pi + 2}}$.

$S'\left( x \right) = 4 - 4x - \pi x;\,\,S'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{4}{{\pi + 4}}$.

Bảng biến thiên

Vậy diện tích của cửa sổ lớn nhất khi $x = \frac{4}{{\pi + 4}}$ (m). Giá trị lớn nhất là $\frac{8}{{\pi + 4}}$ (m$^{2}$).

Đáp án: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.

Ta có: $f'\left( x \right) = {\left( { - 2{x^3} + x} \right)^\prime } = - 6{x^2} + 1$ nên hệ số góc của tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại điểm có hoành độ bằng 1 là: $f'\left( 1 \right) = - 6 \cdot {1^2} + 1 = - 5$.

Đáp án: $- 5$.

Điều kiện $x \ne 1$. Phương trình hoành độ giao điểm của $d$ và $\left( C \right)$:

$\frac{{ - 2x + 1}}{{x - 1}} = mx + 1 \Rightarrow \left( {mx + 1} \right)\left( {x - 1} \right) = - 2x + 1 \Leftrightarrow m{x^2} + \left( {3 - m} \right)x - 2 = 0$.

Đặt $g\left( x \right) = m{x^2} + \left( {3 - m} \right)x - 2$. $d$ cắt $\left( C \right)$ tại hai điểm phân biệt khi phương trình $g\left( x \right) = 0$ có hai nghiệm phân biệt khác 1. Điều này xảy ra khi và chỉ khi

$\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta > 0\\g\left( 1 \right) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\{\left( {3 - m} \right)^2} + 8m > 0\\m + 3 - m - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\{m^2} + 2m + 9 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ne 0$.

Vì $\left\{ \begin{array}{l}m \in \mathbb{Z}\\m \in \left[ { - 5;5} \right]\end{array} \right.$ nên $m \in \left\{ { - 5; - 4; - 3; - 2; - 1;1;2;3;4;5} \right\}$. Vậy có $10$ giá trị.

Đáp án: $10$.

Gọi số máy móc công ty sử dụng để sản xuất là $x\,\,\left( {x \in \mathbb{N},\,\,x > 0} \right)$.

Thời gian cần để sản xuất hết $8000$ quả bóng là: $\frac{{8000}}{{30x}}$ (giờ).

Tổng chi phí để sản xuất là: $P\left( x \right) = 200x + \frac{{8000}}{{30x}} \cdot 192 = 200x + \frac{{51200}}{x}$.

Ta có: $P'\left( x \right) = 200 - \frac{{51200}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 256 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 16\\x = - 16\left( L \right)\end{array} \right.$.

Bảng biến thiên:

Vậy công ty nên sử dụng $16$ máy để chi phí hoạt động là thấp nhất.

Đáp án: $16.$

Ta có $f'\left( x \right) = 3a{x^2} - \frac{{3b}}{{{x^4}}} + 2cx$.

$f\left( 2 \right) = \frac{{95}}{4}$$\Leftrightarrow 8a + \frac{b}{8} + 4c = \frac{{95}}{4}$ (1)

$f'\left( 1 \right) = 16$$\Leftrightarrow 3a - 3b + 2c = 16$ (2)

$f'\left( { - 1} \right) = 8$$\Leftrightarrow 3a - 3b - 2c = 8$ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - 2\\c = 2\end{array} \right.$. Vậy $a + b + c = 2$. Chọn B.

Ta có: $\underset{x\rightarrow -{3}^{+}}{\lim }y=\underset{x\rightarrow -{3}^{+}}{\lim }\frac{2x-1}{x+3}=-\infty ;=\underset{x\rightarrow -{3}^{-}}{\lim }\frac{2x-1}{x+3}=+\infty$.

$\Rightarrow x=-3$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Chọn C.

Tập xác định $D=ℝ\backslash \{1\}$. Ta có $y=\frac{2x+4}{1-x}\Rightarrow {y}^{'}=\frac{6}{{(1-x)}^{2}}>0,\forall x\ne 1$.

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$. Chọn A.

Dựa vào bảng xét dấu của ${f}^{'}(x)$ ta thấy ${f}^{'}(x)$ đổi dấu 2 lần.

Vậy số điểm cực trị của hàm số là 2. Chọn B.

Tập xác định $D=ℝ\backslash \{-2\}$.

Ta có: ${f}^{'}(x)=\frac{(2x+1)(x+1)-({x}^{2}+x+4)}{{(x+1)}^{2}}=\frac{{x}^{2}+2x-3}{{(x+1)}^{2}}$; ${f}^{'}(x)=0\Leftrightarrow x=-3$ hoặc x = 1.

Hàm số đạt cực đại tại $x=-3$ và ${y}_{CĐ}=-5$.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và ${y}_{CT}=3$. Chọn B.

Ta có ${f}^{'}(x)=0\Leftrightarrow [\begin{matrix}x=0 \\ x=1 \\ x=2\end{matrix}$.

Bảng biến thiên:

Suy ra hàm số có điểm cực tiểu là x = 0. Chọn B.

Ta có: ${f}^{'}(x)=0\Leftrightarrow x(x-1){(x+4)}^{3}=0\Leftrightarrow [\begin{matrix}x=0 \\ x=1 \\ x=-4\end{matrix}$.

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho có 2 điểm cực tiểu. Chọn A.

Ta có ${y}^{'}=3{x}^{2}+3>0\ \forall x\in ℝ$. Khi đó $y(0)=0;y(2)=14$.

Vậy $\underset{x\in [0;2]}{\max }y=y(2)=14=M$. Chọn C.

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy:

Hàm số có giá trị cực tiểu bằng - 2. Suy ra đáp án A sai.

Hàm số có hai điểm cực trị. Suy ra đáp án B sai.

Hàm số có giá trị cực đại bằng 2. Suy ra đáp án C sai.

Hàm số có đạt cực đại tại $x=0$. Suy ra đáp án D đúng. Chọn D.

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy ngay đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=-1$, suy ra loại đáp án A.

Nhìn vào bảng biến thiên thấy hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$.

$y=\frac{-x-2}{x-1}$ có $ad-bc=3>0$. Loại đáp án B.

$y=\frac{-x-3}{x-1}$ có $ad-bc=4>0$. Loại đáp án D.

$y=\frac{-x+3}{x-1}$ có $ad-bc=-2<0$. Chọn C.

Ta có: ${f}^{'}(x)=\frac{1-\ln x}{{x}^{2}}.{f}^{'}(x)=0\Leftrightarrow x=e$.

Bảng biến thiên của hàm số trên nửa khoảng $[1;\ {e}^{2})$:

Vậy $m=\underset{[1;{e}^{2})}{\min }f(x)=0;\ M=\underset{[1;{e}^{2})}{\max }f(x)=\frac{1}{e}$. Suy ra $\ln (m+M)=\ln \frac{1}{e}=-1$. Chọn B.

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=1$. Suy ra loại B và D.

Ta thấy đồ thị hàm số đi qua điểm x = 1 nên loại C.

Vậy bảng biến thiên đề bài cho là của hàm số $y=\frac{{x}^{2}+2x-2}{x-1}$. Chọn A.

Tập xác định $D=ℝ\backslash \{0\}$. Ta có ${y}^{'}=1-\frac{9}{{x}^{2}}$. Khi đó, ${y}^{'}=0\Leftrightarrow [\begin{matrix}x=3 \\ x=-3\ (l)\end{matrix}$.

$y(2)=\frac{13}{2}$, $y(4)=\frac{25}{4}$, $y(3)=6$. Vậy $\underset{[2\ ;\ 4]}{\min }y=6$. Chọn A.

Tập xác định của hàm số là $D = \left( {0\,;\, + \infty } \right)$.

Ta có: $y' = 2x\ln x + x = x\left( {2\ln x + 1} \right)$, $y' = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \notin D\\2\ln x + 1 = 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \ln x = - \frac{1}{2}$$\Leftrightarrow x = {e^{ - \frac{1}{2}}}$.

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên, ta suy ra hàm số có giá trị cực tiểu là $- \frac{1}{{2e}}$ tại $x = {e^{ - \frac{1}{2}}}$. Chọn C.

Ta có ${y}^{'}=-4{x}^{3}+12x,\ {y}^{'}=0\Leftrightarrow [\begin{matrix}x=0\in [-1;1] \\ x=\sqrt{3}\notin [-1;1] \\ x=-\sqrt{3}\notin [-1;1]\end{matrix}$. Lại có $y(0)=m;y(\pm 1)=m+5$.

Vậy $\underset{[-1;1]}{\max }y=y(\pm 1)=m+5=5\Leftrightarrow m=0$. Chọn A.

Dựa vào bảng biến thiên, phương trình $f(x)=2m+1$ có ba nghiệm phân biệt khi

$-1<2m+1<3\Leftrightarrow -1<m<1$. Vì m nguyên nên $m=0$. Chọn C.

Dựa vào đồ thị hàm số $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}$, ta có:

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là $y = - 1 = \frac{a}{c}\,\, \Rightarrow \,\,a\, = - c\,\,\left( 1 \right)$.

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là $x = 1 = - \frac{d}{c}\,\, \Rightarrow \,\,d\, = - c\,\,\,\left( 2 \right)$.

Đồ thị hàm số đi qua $A\left( { - \frac{b}{a};0} \right)$ hay $A\left( {2;0} \right)$ $\Rightarrow \, - \frac{b}{a} = 2\,\,\, \Rightarrow \,b = - 2a = 2c\,\,\left( 3 \right)$.

Từ $\left( 1 \right)\,,\,\left( 2 \right)\,$và $\left( 3 \right)$ ta có $T = \frac{{a - 2b + 3d}}{c} = \frac{{ - c - 4c - 3c}}{c} = - 8$. Chọn C.

Đây là dáng điệu của hàm số bậc ba nên ta loại $y = {x^4} + 3{x^2} + 2$ và $y = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}$.

Từ bảng biến thiên ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty$. Lại có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{4}{9}{x^3} - 2{x^2} + 2} \right) = + \infty ;$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{4}{9}{x^3} - 2{x^2} + 2} \right) = - \infty$ nên đáp án $y = \frac{4}{9}{x^3} - 2{x^2} + 2$ thỏa mãn. Chọn A.

Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = - \infty \Rightarrow a < 0$.

Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm, suy ra $d < 0$.

Ta có (do $a < 0$).

Vậy $a < 0,b > 0,c > 0,d < 0$. Chọn D.

Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = - \infty \Rightarrow a < 0$.

Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm, suy ra $d < 0$.

Ta có (do $a < 0$).

Vậy $a < 0,b > 0,c > 0,d < 0$. Chọn D.

ĐKXĐ: $x \ne - 5m$. Ta có $y' = \frac{{5m - 2}}{{{{\left( {x + 5m} \right)}^2}}}$. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left( { - \infty ; - 10} \right)$ khi và chỉ khi $y' > 0,\forall x \in \left( { - \infty ; - 10} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5m - 2 > 0\\ - 5m \ge - 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > \frac{2}{5}\\m \le 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{2}{5} < m \le 2.$

Do $m \in \mathbb{Z}$ nên $m \in \left\{ {1;2} \right\}$. Chọn D.

Ta có $f'\left( x \right) = {\left( {x - \sin 2x} \right)^\prime } = 1 - 2\cos 2x$.

$f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 1 - 2\cos 2x = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = \frac{1}{2}$$\Leftrightarrow 2x = \pm \frac{\pi }{3} + 2k\pi \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{6} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Với $x \in \left[ {0;\pi } \right]$ thì phương trình$f'\left( x \right) = 0$ có nghiệm$x = \frac{\pi }{6}$ hoặc $x = \frac{{5\pi }}{6}$.

Có $f\left( 0 \right) = 0$; $f\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{\pi }{6} - \frac{{\sqrt 3 }}{2};\,\,f\left( {\frac{{5\pi }}{6}} \right) = \frac{{5\pi }}{6} + \frac{{\sqrt 3 }}{2};\,\,f\left( \pi \right) = \pi$.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn $\left[ {0;\pi } \right]$ là $\frac{{5\pi }}{6} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

Đáp án: a) Sai, b) Sai, c) Sai, d) Đúng.

Tập xác định của hàm số đã cho là $\mathbb{R}$.

Thay $x = 0$ vào hàm số ta được $y = 2$. Do đó, đồ thị của hàm số đã cho đi qua điểm $\left( {0\,;2} \right)$.

Ta có $y' = 3{x^2} - 3$. Ta thấy $y'\left( 0 \right) = - 3 \ne 0$. Suy ra hàm số không đạt cực trị tại điểm $x = 0$.

Trên khoảng $\left( {0;2} \right)$, $y' = 0 \Leftrightarrow x = 1$. Có $y\left( 0 \right) = 2;y\left( 2 \right) = 4;y\left( 1 \right) = 0$.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn $\left[ {0;2} \right]$ bằng $4$.

Đáp án: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.