39 bài tập Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm (có lời giải)

Ta có bảng thống kê cân nặng của các quả mít theo giá trị đại diện:

Cỡ mẫu n = 6 + 12 + 19 + 9 + 4 = 50.

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là: $\bar x = \frac{{6.5 + 12.7 + 19.9 + 9.11 + 4.13}}{{50}} = 8{,}72$

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là

S2 = $\frac{1}{{50}}$ (6 . 52 + 12 . 72 + 19 . 92 + 9 . 112 + 4 . 132) – 8,722 ≈ 4,80.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: $S \approx \sqrt {4{,}80} \approx 2{,}19$

a) Cỡ mẫu là n = 20.

Số trung bình của mẫu số liệu trên là: ${\bar x_1} = \frac{{111{,}6 + 134{,}9 + ... + 114}}{{20}} = 122{,}755$

Phương sai của mẫu số liệu trên là: S12 =$\frac{1}{{20}}$ (111,62 + 134,92 + … + 1142) – 122,7552 ≈ 515,453.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là ${S_1} \approx \sqrt {515{,}453} \approx 22{,}704$

b) Ta có bảng sau:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${\bar x_2} = \frac{{3.89 + 6.107 + 3.125 + 5.143 + 3.161}}{{20}} = 124{,}1$

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là

S22 = $\frac{1}{{20}}$ (3 . 892 + 6 . 1072 + 3 . 1252 + 5 . 1432 + 3 . 1612) – 124,12 = 566,19.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là ${S_2} \approx \sqrt {566{,}19} \approx 23{,}795$

c) Sai số tương đối của độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm so với độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc là

$$\frac{{\left| {{S_2} - {S_1}} \right|}}{{{S_1}}} = \frac{{\left| {23{,}795 - 22{,}704} \right|}}{{22{,}704}} \cdot 100\% \approx 4{,}805\%$$

a) Khoảng biến thiên của điểm số học sinh lớp 11A là: 10 – 5 = 5.

Khoảng biến thiên của điểm số học sinh lớp 11B là: 10 – 6 = 4.

Nếu so sánh theo khoảng biến thiên thì điểm trung bình của các học sinh lớp 11B ít phân tán hơn điểm trung bình của các học sinh lớp 11A.

b) Ta có bảng thống kê điểm trung bình theo giá trị đại diện

• Xét mẫu số liệu của lớp 11A: Cỡ mẫu là n1 = 1 + 11 + 22 + 6 = 40.

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${\bar x_1} = \frac{{1.5{,}5 + 11.7{,}5 + 22.8{,}5 + 6.9{,}5}}{{40}} = 8{,}3$

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm: S$_{12}$ = $\frac{1}{{40}}$ (1 . 5,52 + 11 . 7,52 + 22 . 8,52 + 6 . 9,52) – 8,32 = 0,61.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là ${S_1} \approx \sqrt {0{,}61}$

• Xét mẫu số liệu của lớp 11B: Cỡ mẫu là n2 = 6 + 8 + 14 + 12 = 40.

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là ${\bar x_2} = \frac{{6.6{,}5 + 8.7{,}5 + 14.8{,}5 + 12.9{,}5}}{{40}} = 8{,}3$

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm: S$_{22}$ = $\frac{1}{{40}}$ (6. 6,52 + 8 . 7,52 + 14 . 8,52 + 12 . 9,52) – 8,32 = 1,06.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là ${S_2} \approx \sqrt {1{,}06}$

Do S$_{1}$ < S$_{2}$ nên nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì học sinh lớp 11A có điểm trung bình ít phân tán hơn học sinh lớp 11B.

Chú ý: Trong ví dụ trên, kết quả so sánh độ phân tán theo giá trị trung bình và độ lệch chuẩn có sự khác biệt. Điều này là do mẫu số liệu của học sinh lớp 11A có một giá trị ngoại lệ.

a) Ta có bảng sau:

b) Xét mẫu số liệu của khu vực A: Cỡ mẫu là n$_{A}$ = 4 + 5 + 5 + 4 + 2 = 20.

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${\bar x_A} = \frac{{4.5{,}5 + 5.6{,}5 + 5.7{,}5 + 4.8{,}5 + 2.9{,}5}}{{20}} = 7{,}25$

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là

$S_A^2$= $\frac{1}{{20}}$ (4 . 5,52 + 5 . 6,52 + 5 . 7,52 + 4 . 8,52 + 2 . 9,52) – (7,25)2 = 1,5875.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là ${S_A} \approx \sqrt {1{,}5875}$

Xét mẫu số liệu của khu vực B: Cỡ mẫu là n$_{B}$ = 3 + 6 + 5 + 5 + 1 = 20.

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là ${\bar x_B} = \frac{{3.5{,}5 + 6.6{,}5 + 5.7{,}5 + 5.8{,}5 + 1.9{,}5}}{{20}} = 7{,}25$

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là

$S_B^2$ = $\frac{1}{{20}}$ (3 . 5,52 + 6 . 6,52 + 5 . 7,52 + 5 . 8,52 + 1 . 9,52) – (7,25)2 = 1,2875.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là ${S_B} \approx \sqrt {1{,}2875}$

Do S$_{A}$ > S$_{B}$ nên nếu so sánh theo độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm thì mức lương khởi điểm của công nhân khu vực B đồng đều hơn của công nhân khu vực A.

a)

b)

Cỡ mẫu: n = 21

Giá trị trung bình của mẫu số liệu mới:

$\overline{x}=\frac{1}{n}({n}_{1}{c}_{1}+{n}_{2}{c}_{2}+\ldots +{n}_{k}{c}_{k})=\frac{1}{21}(3.162+5.166+8.170+4.174+1.178)=\frac{3550}{21}$

Phương sai của mẫu số liệu mới:

$\begin{matrix}{S}^{2}=\frac{1}{n}[{n}_{1}{({c}_{1}-\overline{x})}^{2}+{n}_{2}{({c}_{2}-\overline{x})}^{2}+\ldots +{n}_{k}{({c}_{k}-\overline{x})}^{2}] \\ \ =\frac{1}{21}[3{(162-\frac{3550}{21})}^{2}+5{(166-\frac{3550}{21})}^{2}+\ldots +1{(178-\frac{3550}{21})}^{2}]=\frac{8000}{441}\end{matrix}$

Độ lệch chuẫn của mẫu số liệu mới: $σ=\sqrt{{S}^{2}}=\sqrt{\frac{8000}{441}}=\frac{40\sqrt{5}}{21}$

Ta có bảng thống kê giá đóng cửa theo giá trị đại diện:

Xét mẫu số liệu của cổ phiếu A:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là ${\bar x_1} = \frac{{8.121 + 9.123 + 12.125 + 10.127 + 11.129}}{{50}} = 125{,}28$

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là

$S_1^2$ = $\frac{1}{{50}}$ (8 . 1212 + 9 . 1232 + 12 . 1252 + 10 . 1272 + 11 . 1292) – (125,28)2 = 7,5216.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là ${S_1} = \sqrt {S_1^2} = \sqrt {7{,}5216}$

Xét mẫu số liệu của cổ phiếu B:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là ${\bar x_2} = \frac{{16.121 + 4.123 + 3.125 + 6.127 + 21.129}}{{50}} = 125{,}28$

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là

$S_2^2$=$\frac{1}{{50}}$ (16 . 1212 + 4 . 1232 + 3 . 1252 + 6 . 1272 + 21 . 1292) – (125,48)2 = 12,4096.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là ${S_2} = \sqrt {S_2^2} = \sqrt {12{,}4096}$

Vậy nếu đánh giá độ rủi ro theo phương sai và độ lệch chuẩn thì cổ phiếu A có độ rủi ro thấp hơn cổ phiếu B.

a) Ta có bảng thống kê sau:

a) Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${\bar x_D} = \frac{{3 \cdot 6{,}34 + 7 \cdot 6{,}58 + 5 \cdot 6{,}82 + 20 \cdot 7{,}06 + 5 \cdot 7{,}30}}{{40}} = \frac{{276{,}88}}{{40}} \approx 6{,}92(\;{\rm{m}})$

Vậy phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm):

$\begin{array}{l}s_D^2 = \frac{1}{{40}}\left[ {3 \cdot {{(6{,}34 - 6{,}92)}^2} + 7 \cdot {{(6{,}58 - 6{,}92)}^2} + 5 \cdot {{(6{,}82 - 6{,}92)}^2}} \right.\left. { + 20 \cdot {{(7{,}06 - 6{,}92)}^2} + 5 \cdot {{(7{,}30 - 6{,}92)}^2}} \right]\\{\rm{ }} = \frac{{2{,}9824}}{{40}} \approx 0{,}07\end{array}$Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: ${s_D} \approx \sqrt {0{,}07} \approx 0{,}26(\;{\rm{m}})$.

b) Ta có bảng thống kê sau:

b) Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${\bar x_H} = \frac{{2 \cdot 6{,}34 + 5 \cdot 6{,}58 + 8 \cdot 6{,}82 + 19 \cdot 7{,}06 + 6 \cdot 7{,}30}}{{40}} = \frac{{278{,}08}}{{40}} \approx 6{,}95(\;{\rm{m}})$

Vậy phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm (làm tròn kết quả đến hàng phẩn trăm):

$\begin{array}{l}s_H^2 = \frac{1}{{40}}\left[ {2 \cdot {{(6{,}34 - 6{,}95)}^2} + 5 \cdot {{(6{,}58 - 6{,}95)}^2}} \right. + 8 \cdot {(6{,}82 - 6{,}95)^2} + 19 \cdot {(7{,}06 - 6{,}95)^2}\left. { + 6 \cdot {{(7{,}30 - 6{,}95)}^2}} \right]\\{\rm{ }} = \frac{{2{,}5288}}{{40}} \approx 0{,}06\end{array}$

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: ${s_H} \approx \sqrt {0{,}06} \approx 0{,}24(\;{\rm{m}})$

d)

Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:

$\bar x = \frac{{6.55 + 12 \cdot 65 + 7.75 + 8.85 + 7.95}}{{40}} = \frac{{2980}}{{40}} = 74{,}5.{\rm{ }}$

Vậy phương sai của của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:

$\begin{array}{l}{s^2} = \frac{1}{{40}} \cdot \left[ {6 \cdot {{(55 - 74{,}5)}^2} + 12 \cdot {{(65 - 74{,}5)}^2} + 7 \cdot {{(75 - 74{,}5)}^2}} \right.\left. { + 8 \cdot {{(85 - 74{,}5)}^2} + 7 \cdot {{(95 - 74{,}5)}^2}} \right]\\{\rm{ }} = \frac{{7190}}{{40}} \approx 179{,}8\end{array}$

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: $s \approx \sqrt {179{,}8} \approx 13{,}4$.

Cỡ mẫu: ${\rm{n}} = 100$

Số trung bình: $\bar x = \frac{{13.19{,}25 + 45.19{,}75 + 24.20{,}25 + 12.20{,}75 + 6.21{,}25}}{{100}} = 20{,}015$

Phương sai: ${S^2} = \frac{{{{13.19{,}25}^2} + {{45.19{,}75}^2} + {{24.20{,}25}^2} + {{12.20{,}75}^2} + {{6.21{,}25}^2}}}{{100}} - {20{,}015^2} \approx 0{,}28$

Độ lệch chuẫn: $\sigma = \sqrt {0{,}28} \approx 0{,}53$

a) Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm được cho bởi Bảng 18 là:

$\overline{x}=\frac{4\cdot 42{,}5+14\cdot 47{,}5+8\cdot 52{,}5+10\cdot 57{,}5+6\cdot 62{,}5+2\cdot 67{,}5}{44}=\frac{2340}{44}\approx 53{,}2$ (chục nghìn đồng).

Vậy phương sai của của mẫu số liệu ghép nhóm được cho bởi Bảng là:

$$\begin{array}{l}{s^2} = \frac{1}{{44}} \cdot \left[ {4 \cdot {{(42{,}5 - 53{,}2)}^2} + 14 \cdot {{(47{,}5 - 53{,}2)}^2} + 8 \cdot {{(52{,}5 - 53{,}2)}^2} + 10 \cdot {{(57{,}5 - 53{,}2)}^2}} \right.\\{\rm{ }}\left. { + 6 \cdot {{(62{,}5 - 53{,}2)}^2} + 2 \cdot {{(67{,}5 - 53{,}2)}^2}} \right] = \frac{{2029{,}56}}{{44}} \approx 46{,}1\end{array}$$

b) Độ lệch chuẩn của mẵu số liệu ghép nhóm trên là: $s \approx \sqrt {46{,}1} \approx 6{,}8$ (chục nghìn đồng).

a) - Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm biểu diễn mức lương của công ty ${\rm{A}}$ được cho bởi Bảng 19 là:

${\bar x_A} = \frac{{15 \cdot 12{,}5 + 18 \cdot 17{,}5 + 10 \cdot 22{,}5 + 10 \cdot 27{,}5 + 5 \cdot 32{,}5 + 2 \cdot 37{,}5}}{{60}} = \frac{{1240}}{{60}} \approx 20{,}67{\rm{ (trieu dong) }}$

Vậy phương sai của của mẫu số liệu ghép nhóm biểu diễn mức lương của công ty ${\rm{A}}$ được cho bởi Bảng 19 là:

$$\begin{array}{l}s_A^2 = \frac{1}{{60}} \cdot \left[ {15 \cdot {{(12{,}5 - 20{,}67)}^2} + 18 \cdot {{(17{,}5 - 20{,}67)}^2} + 10 \cdot {{(22{,}5 - 20{,}67)}^2}} \right.\\\left. { + 10 \cdot {{(27{,}5 - 20{,}67)}^2} + 5 \cdot {{(32{,}5 - 20{,}67)}^2} + 2 \cdot {{(37{,}5 - 20{,}67)}^2}} \right] = \frac{{2948{,}334}}{{60}} \approx 49{,}14\end{array}$$

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: ${s_A} \approx \sqrt {49{,}14} \approx 7{,}01$ (triệu đồng).

Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm biếu diễn mức lương của công ty ${\rm{B}}$ được cho bởi Bảng 20 là:

${\bar x_B} = \frac{{25 \cdot 12{,}5 + 15 \cdot 17{,}5 + 7 \cdot 22{,}5 + 5 \cdot 27{,}5 + 5 \cdot 32{,}5 + 3 \cdot 37{,}5}}{{60}} = \frac{{1047{,}5}}{{60}} \approx 17{,}46{\rm{ (trieu dong) }}$

Vậy phương sai của của mẫu số liệu ghép nhóm biếu diễn mức lương của công ty ${\rm{B}}$ được cho bới Bảng 20 là:

$\begin{array}{l}s_B^2 = \frac{1}{{60}} \cdot \left[ {25 \cdot {{(12{,}5 - 17{,}46)}^2} + 15 \cdot {{(17{,}5 - 17{,}46)}^2} + 7 \cdot {{(22{,}5 - 17{,}46)}^2}} \right.\\\left. {{\rm{ }} + 5 \cdot {{(27{,}5 - 17{,}46)}^2} + 5 \cdot {{(32{,}5 - 17{,}46)}^2} + 3 \cdot {{(37{,}5 - 17{,}46)}^2}} \right] = \frac{{3632{,}696}}{{60}} \approx 60{,}54\end{array}$

Độ lệch chuẩn của mẵu số liệu ghép nhóm trên là: ${s_B} \approx \sqrt {60{,}54} \approx 7{,}78$ (triệu đồng).

b) Do ${{\rm{S}}_{\rm{A}}} \approx 7{,}01 < {{\rm{S}}_{\rm{B}}} \approx 7{,}78$ nên công ty ${\rm{A}}$ có mức lương đồng đều hơn công ty ${\rm{B}}$

Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm được cho bởi Bảng 21 là:

$\bar x = \frac{{25 \cdot 25 + 20 \cdot 35 + 20 \cdot 45 + 15 \cdot 55 + 14 \cdot 65 + 6 \cdot 75}}{{100}} = \frac{{4410}}{{100}} \approx 44$

Vậy phương sai của của mẫu số liệu ghép nhóm được cho bởi Bảng 21 là:

$\begin{array}{l}{s^2} = \frac{1}{{100}} \cdot \left[ {25 \cdot {{(25 - 44)}^2} + 20 \cdot {{(35 - 44)}^2} + 20 \cdot {{(45 - 44)}^2}} \right.\left. { + 15 \cdot {{(55 - 44)}^2} + 14 \cdot {{(65 - 44)}^2} + 6 \cdot {{(75 - 44)}^2}} \right]\\{\rm{ }} = \frac{{24420}}{{100}} = 244{,}2\end{array}$Độ lệch chuẩn của mẵu số liệu ghép nhóm trên là: $s = \sqrt {244{,}2} \approx 15{,}6$.

a) Có 2 máy vi tính có thời gian sử dụng pin từ 7,2 dến dưới 7,4 giờ

b)

Cỡ mẫu: $n = 18$

Số trung bình: $\bar x = \frac{{2.7{,}3 + 4.7{,}5 + 7.7{,}7 + 5.7{,}9}}{{18}} \approx 7{,}67$

Phương sai: ${S^2} = \frac{{{{2.7{,}3}^2} + {{4.7{,}5}^2} + {{7.7{,}7}^2} + {{5.7{,}9}^2}}}{{18}} - {7{,}67^2} \approx 0{,}04$

Độ lệch chuẫn: $\sigma = \sqrt {0{,}04} \approx 0{,}19$

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu: $61{,}1 - 42 = 19{,}1(\;{\rm{km}}/{\rm{h}})$

Cỡ mẫu: $n = 20$

Gọi ${x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{20}}$ là mẫu số liệu gốc về tốc độ của 20 xe hơi khi đi qua một trạm kiểm tra tốc độ được xếp theo thứ tự không giảm.

Trung vị ${Q_2} = \frac{1}{2}\left( {{x_{10}} + {x_{11}}} \right) = \frac{1}{2}(48{,}4 + 50{,}8) = 49{,}6$

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của nửa số liệu bên trái

${Q_2}{Q_1} = \frac{1}{2}\left( {{x_5} + {x_6}} \right) = \frac{1}{2}(46{,}7 + 46{,}8) = 46{,}75$

Tứ phân vị thứ ba là trung bị của nửa số liệu bên phải

${Q_2}:{Q_3} = \frac{1}{2}\left( {{x_{15}} + {x_{16}}} \right) = \frac{1}{2}(54{,}8 + 55{,}6) = 55{,}2$

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là: ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 8{,}45$

Số trung bình: $\bar{x}=\frac{42+43{,}4+\ldots+61{,}1}{20}=50{,}945$

Phương sai: $S^2=\frac{42^2+43{,}4^2+\ldots+61{,}1^2}{20}-50{,}945^2 \approx 32{,}2$

Độ lệch chuẫn: $\sigma=\sqrt{32{,}2} \approx 5{,}67$

b)

c) Ta có: ${x_1}; \ldots ;{x_3} \in [42;46);{x_4}; \ldots ;{x_{10}} \in [46;50);{x_{11}}; \ldots ;{x_{14}} \in [50;54);{x_{15}}; \ldots ;{x_{17}} \in [54;58)$;

${x_{18}}; \ldots ;{x_{20}} \in [58;62)$

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}\left( {{x_5} + {x_6}} \right) \in [46;50)$. Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_1}^\prime = 46 + \frac{{\frac{{20}}{4} - 3}}{7}(50 - 46) = \frac{{330}}{7}$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}\left( {{x_{15}} + {x_{16}}} \right) \in [54;58)$. Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_3}^\prime = 54 + \frac{{\frac{{3.20}}{4} - (3 + 7 + 4)}}{3}(58 - 54) = \frac{{166}}{3}$ Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${\Delta _Q}^\prime = {Q_3}^\prime - {Q_1}^\prime = \frac{{172}}{{21}}$

Số trung bình: $\bar x = \frac{{3.44 + 7.48 + 4.52 + 3.56 + 3.60}}{{20}} = 41{,}8$

Phương sai: ${S^2} = \frac{{{{3.44}^2} + {{7.48}^2} + {{4.52}^2} + {{3.56}^2} + {{3.60}^2}}}{{20}} - {41{,}8^2} = 364{,}96$

Độ lệch chuẩn: $\sigma = \sqrt {364{,}96} = 19{,}1$

a) Xét mẫu số liệu của địa điềm ${\rm{A}}$ :

Số trung bình: ${\bar x_A} = \frac{{25.31 + 38.33 + 20.35 + 10.37 + 7.39}}{{100}} = 33{,}72$

Xét mẫu số liệu của địa điểm ${\rm{B}}$ :

${\bar x_B} = \frac{{22.31 + 27.33 + 19.35 + 18.37 + 14.39}}{{100}} = 34{,}5$

Đường kính trung bình của thân cây xoan đào trồng tại địa điểm ${\rm{A}}$ nhỏ hơn tại địa điểm ${\rm{B}}$.

b) - Xét mẫu số liệu của địa điểm ${\rm{A}}$ :

${\sigma _A} = \sqrt {\frac{{{{25.31}^2} + {{38.33}^2} + {{20.35}^2} + {{10.37}^2} + {{7.39}^2}}}{{100}} - {{33{,}72}^2}} = 2{,}32$

Xét mẫu số liệu của địa điềm ${\rm{B}}$ :

${\sigma _B} = \sqrt {\frac{{{{22.31}^2} + {{27.33}^2} + {{19.35}^2} + {{18.37}^2} + {{14.39}^2}}}{{100}}} = 2{,}7$

Vậy cây trồng tại địa điểm ${\rm{A}}$ có đường kính đồng đều hơn

Chọn giá trị đại diện cho các nhóm số liệu, ta có:

Tổng số người nam là: ${n_1} = 2 + 3 + 5 + 3 + 2 = 15$.

Tổng số người nữ là: ${n_2} = 2 + 7 + 12 + 7 + 2 = 30$.

Thay đổi cân nặng trung bình của người nam là:

${\bar x_1} = \frac{1}{{15}}[2 \cdot ( - 0{,}5) + 3 \cdot 0{,}5 + 5 \cdot 1{,}5 + 3 \cdot 2{,}5 + 2 \cdot 3{,}5] = 1{,}5(\;{\rm{kg}})$

Thay đổi cân nặng trung bình của người nữ là:

${\bar x_2} = \frac{1}{{30}}[2 \cdot ( - 0{,}5) + 7 \cdot 0{,}5 + 12 \cdot 1{,}5 + 7 \cdot 2{,}5 + 2 \cdot 3{,}5] = 1{,}5(\;{\rm{kg}})$

Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu về thay đổi cân nặng của người nam là:

$s_1^2 = \frac{1}{{15}}\left[ {2 \cdot {{( - 0{,}5)}^2} + 3 \cdot {{0{,}5}^2} + 5 \cdot {{1{,}5}^2} + 3 \cdot {{2{,}5}^2} + 2 \cdot {{3{,}5}^2}} \right] - {1{,}5^2} \approx {1{,}21^2};{s_1} \approx 1{,}21$

Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu về thay đồi cân nặng của người nừ là:

$s_2^2 = \frac{1}{{30}}\left[ {2 \cdot {{( - 0{,}5)}^2} + 7 \cdot {{0{,}5}^2} + 12 \cdot {{1{,}5}^2} + 7 \cdot {{2{,}5}^2} + 2 \cdot {{3{,}5}^2}} \right] - {1{,}5^2} \approx {2{,}06^2};{s_2} \approx 2{,}06.$

Như vậy, sau ba tháng áp dụng chế độ ăn kiêng này, về trung bình sự thay đổi cân nặng của nam và nữ là như nhau. Tuy nhiên, sự biến động về thay đổi cân nặng của nữ nhiều hơn so với của nam.

a) Cỡ mẫu: $n = 30$

Xét mẫu số liệu của Mai:

Số trung bình: $\overline {{x_1}} = \frac{{6.4 + 7.6 + 6.8 + 6.10 + 5.12}}{{30}} = 7{,}8$

Phương sai: ${S_1}^2 = \frac{{\left( {{{6.4}^2} + {{7.6}^2} + {{6.8}^2} + {{6.10}^2} + {{5.12}^2}} \right)}}{{30}} - {7{,}8^2} = 7{,}56$

Độ lệch chuẩn: ${\sigma _1} = \sqrt {7{,}56} \approx 2{,}75$

Xét mẫu số liệu của Ngọc:

Số trung bình: $\overline {{x_2}} = \frac{{2.4 + 5.6 + 13.8 + 8.10 + 2.12}}{{30}} = 8{,}2$

Phương sai: $S_2^2 = \frac{{\left( {{{2.4}^2} + {{5.6}^2} + {{13.8}^2} + {{8.10}^2} + {{2.12}^2}} \right)}}{{30}} - {8{,}2^2} \approx 3{,}83$

Độ lệch chuẫn: ${\sigma _2} = \sqrt {3{,}83} \approx 1{,}96$

b) Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì bạn Ngọc có số lượng bước chân đi mỗi ngày đều đặn hơn.

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là: $45 - 20 = 25$ (phút)

b) Cö mẫu $n = 18$

Gọi ${x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{18}}$ là mẫu số liệu gốc về thời gian tập nhảy mỗi ngày của bạn Chi được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: ${x_1}; \ldots ;{x_6} \in [20;25);{x_7}; \ldots ;{x_{12}} \in [25;30);{x_{13}}; \ldots ;{x_{16}} \in [30;35);{x_{17}}; \in [35;40);{x_{18}} \in [40;45)$

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là ${x_5} \in [20;25)$. Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_1} = 20 + \frac{{\frac{{18}}{4}}}{6}(25 - 20) = 23{,}75$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là ${x_{14}} \in [30;35)$. Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_3} = 30 + \frac{{\frac{{3.18}}{4} - (6 + 6)}}{4}(35 - 30) = 31{,}875$

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 8{,}125$

c) Số trung bình: $\bar x = \frac{{6.22{,}5 + 6.27{,}5 + 4.32{,}5 + 37{,}5 + 42{,}5}}{{18}} \approx 28{,}33$

Phương sai: ${S^2} = \frac{{{{6.22{,}5}^2} + {{6.27{,}5}^2} + {{4.32{,}5}^2} + {{37{,}5}^2} + {{42{,}5}^2}}}{{18}} - {28{,}33^2} = 31{,}25$

a) Khoảng biến thiện của mẫu số liệu là: $18 - 8 = 10$ (giây)

b) Cỡ mẫu $n = 25$

Gọi ${x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{25}}$ là mẫu số liệu gốc về thời gian giải rubik trong 25 lần của bạn Dūng được xếp th thứ tự không giảm.

Tа có: ${x_1}; \ldots ;{x_4} \in [8;10);{x_5}; \ldots ;{x_{10}} \in [10;12);{x_{11}}; \ldots ;{x_{18}} \in [12;14);{x_{19}}; \ldots ;{x_{22}} \in [14;16)$; ${x_{23}}; \ldots ;{x_{25}} \in [16;18)$

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}\left( {{x_6} + {x_7}} \right) \in [10;12)$. Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_1} = 10 + \frac{{\frac{{25}}{4} - 4}}{6}(12 - 10) = 10{,}75$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là ${x_{19}} \in [14;16)$. Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_3} = 14 + \frac{{\frac{{3.25}}{4} - (4 + 6 + 8)}}{4}(16 - 14) = 14{,}375$

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 3{,}63$

c)

Số trung bình: $\bar x = \frac{{4.9 + 6.11 + 8.13 + 4.15 + 3.17}}{{25}} = 12{,}68$

Độ lệch chuẩn: $\sigma = \sqrt {\frac{{{{4.9}^2} + {{6.11}^2} + {{8.13}^2} + {{4.15}^2} + {{3.17}^2}}}{{25}} - {{12{,}68}^2}} \approx 5{,}98$

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là: $4{,}2 - 2{,}7 = 1{,}5(\;{\rm{km}})$

b) Cỡ mẫu $n = 20$

Gọi ${x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{20}}$ là mẫu số liệu gốc về quãng đường đi bộ mỗi ngày của bác Hương trong 20 ngày được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có:

${x_1}; \ldots ;{x_3} \in [2{,}7;3{,}0){x_4}; \ldots ;{x_9} \in [3{,}0;3{,}3){x_{10}}; \ldots ;{x_{14}} \in [3{,}3;3{,}6){x_{15}}; \ldots ;{x_{18}} \in [3{,}6;3{,}9){x_{19}};{x_{20}} \in [3{,}9;4{,}2)$

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}\left( {{x_5} + {x_6}} \right) \in [3{,}0;3{,}3)$

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_1} = 3{,}0 + \frac{{\frac{{20}}{4} - 3}}{6}(3{,}3 - 3{,}0) = 3{,}1$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}\left( {{x_{15}} + {x_{16}}} \right) \in [3{,}6;3{,}9)$

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${Q_3} = 3{,}6 + \frac{{\frac{{3.20}}{4} - (3 + 6 + 5)}}{4}(3{,}9 - 3{,}6) = 3{,}675$

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 0{,}575$

c)

Số trung bình: $\bar x = \frac{{3.2{,}85 + 6.3{,}15 + 5.3{,}45 + 4.3{,}75 + 2.4{,}05}}{{20}} = 3{,}39$

Phương sai: ${S^2} = \frac{{{{3.2{,}85}^2} + {{6.3{,}15}^2} + {{5.3{,}45}^2} + {{4.3{,}75}^2} + {{2.4{,}05}^2}}}{{20}} - {3{,}39^2} = 0{,}1314$

d) Độ lệch chuẩn: $\sigma = \sqrt {0{,}1314} \approx 0{,}36$

Chọn giá trị đại diện cho mẫu số liệu ta có:

Tống số vận động viền là: $3 + 7 + 8 + 2 = 20$.

Thời gian chạy trung bình là: $\frac{{10{,}3.3 + 10{,}5.7 + 10{,}7.8 + 10{,}9.2}}{{20}} = 10{,}59$.

Phương sai của mẫu số liệu là

${s^2} = \frac{{{{10{,}3}^2} \cdot 3 + {{10{,}5}^2} \cdot 7 + {{10{,}7}^2} \cdot 8 + {{10{,}9}^2} \cdot 2}}{{20}} - {10{,}59^2} = 0{,}0299.{\rm{ }}$

Độ lệch chuấn của mẫu số liệu là: $s = \sqrt {0{,}0299} \approx 0{,}17$.

Dựa vào phương sai và độ lệch chuấn ta có kết luận rằng mẫu số liệu kết quả luyện tập có tính đồng đều, dư liệu có xu hướng gần giá trị trung bình và ít bị phân tán.

Chọn giá trị đại diện cho các nhóm số liệu ta có:

Số tiền trung bình thu được khi đầu tư vào các lĩnh vực ${\rm{A}},{\rm{B}}$ tương ứng là:

${\overline{x}}_{A}=\frac{1}{60}(5\cdot 7{,}5+\ldots +5\cdot 27{,}5)=17{,}5$ (triệu đồng)

${\overline{x}}_{B}=\frac{1}{60}(20\cdot 7{,}5+\ldots +20\cdot 27{,}5)=17{,}5$ (triệu đồng)

Như vậy, về trung bình đầu tư vào các lĩnh vực ${\rm{A}},{\rm{B}}$ số tiền thu được hàng tháng như nhau. Độ lệch chuẩn của số tiền thu được hàng tháng khi đầu tư vào các lĩnh vực ${\rm{A}},{\rm{B}}$ tương ứng là:

${s}_{A}=\sqrt{\frac{1}{60}(5\cdot {7{,}5}^{2}+\ldots +5\cdot {27{,}5}^{2})-{(17{,}5)}^{2}}=5\text{;}$

${s}_{B}=\sqrt{\frac{1}{60}(20\cdot {7{,}5}^{2}+\ldots +20\cdot {27{,}5}^{2})-{(17{,}5)}^{2}}\approx 8{,}42.$

Như vậy, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu về số tiền thu được hàng tháng khi đầu tư vào lĩnh vực ${\rm{B}}$ cao hơn khi đầu tư vào lĩnh vực ${\rm{A}}$. Người ta nói rằng, đầu tư vào lĩnh vực ${\rm{B}}$ là "rủi ro" hơn.

Ví dụ sau cho thấy không phải lúc nào ta cũng có thể dùng độ lệch chuẩn của lợi nhuận thu được để so sánh độ rủ̉i ro của các phương án đầu tư.

Chọn điểm đại diện cho các nhóm số liệu ta tính được các số đặc trưng như sau:

Lợi nhuận trung bình một tháng của các nhà đầu tư tương ứng là:

${\overline{x}}_{A}=\frac{1}{20}(2\cdot 15+\ldots +2\cdot 55)=35\text{(triệu đồng);}{\overline{x}}_{B}=\frac{1}{20}(4\cdot 515+\ldots +4\cdot 555)=535$ (triệu đồng)

Độ lệch chuẩn của lợi nhuận hàng tháng của hai nhà đầu tư tương ứng là:

${s_A} = \sqrt {\frac{1}{{20}}\left( {2 \cdot {{15}^2} + \ldots + 2 \cdot {{55}^2}} \right) - {{(35)}^2}} \approx 10{,}95;$

${s_B} = \sqrt {\frac{1}{{20}}\left( {4 \cdot {{515}^2} + \ldots + 4 \cdot {{555}^2}} \right) - {{(535)}^2}} \approx 13{,}78.$

Độ lệch chuẩn cho lợi nhuận hàng tháng của nhà đầu tư lớn cao hơn của nhà đầu tư nhỏ. Lợi nhuận trung bình của hai nhà đẩu tư khác nhau rất nhiều, do đó ta không nên dùng độ lệch chuẩn để so sánh mức độ rủi ro của hai nhà đầu tư này.

a) Chọn giá trị đại diện cho mẫu số liệu ta có:

b) Mẫu số liệu gốc

Giá trị trung bình là:

$\overline{x}=(\begin{matrix}49{,}5+48{,}9+51{,}4+51{,}1+49{,}3+48{,}7+50{,}8+50{,}7+51{,}2+50{,}2+48{,}8+50{,}6+ \\ 48{,}7+49{,}8+50{,}9+49{,}6+48{,}8+49{,}2+51{,}3+51{,}2+50{,}7+51{,}4+50{,}4+51{,}1+ \\ 50{,}1+50{,}0+48{,}6+50{,}5+51{,}2+49{,}6\end{matrix})\cdot \frac{1}{30}=\frac{15043}{300}$

Phương sai

Ta có bảng sau

Tổng bình phương độ lệch là: $\frac{{78461}}{{3000}}$.

Khi đó phương sai: ${s^2} = \frac{{78461}}{{3000}} \cdot \frac{1}{{30}} = \frac{{78461}}{{90000}}$.

Độ lệch chuấn là $s = \sqrt {\frac{{78461}}{{90000}}} \approx 0{,}934$.

Mẫu số liệu ghép nhóm

Chọn giá trị đại diện cho mẫu số liệu ta có:

Giá trị trung bình là: $\bar x = \frac{{48{,}75 \cdot 6 + 49{,}25 \cdot 2 + 49{,}75 \cdot 4 + 50{,}25 \cdot 4 + 50{,}75 \cdot 6 + 51{,}25 \cdot 8}}{{30}} = \frac{{3011}}{{60}}.$

Phương sai: ${s^2} = \frac{{{{48{,}75}^2} \cdot 6 + {{49{,}25}^2} \cdot 2 + {{49{,}75}^2} \cdot 4 + {{50{,}25}^2} \cdot 4 + {{50{,}75}^2} \cdot 6 + {{51{,}25}^2} \cdot 8}}{{30}} - {\left( {\frac{{3011}}{{60}}} \right)^2} = \frac{{194}}{{225}}{\rm{. }}$

Độ lệch chuấn: $s = \sqrt {\frac{{194}}{{225}}} \approx 0{,}929$.

Giá trị mẫu số liệu gốc là chính xác, giá trị mẫu số liệu ghép nhóm là xấp xỉ.

Chọn giá trị đại diện cho mẫu số liệu ta có:

Tuối thọ trung bình của các linh kiện của phân xưởng 1 là:

$\overline {{x_1}} = \frac{{4 \cdot 1{,}75 + 9.2{,}25 + 13 \cdot 2{,}75 + 8 \cdot 3{,}25 + 6 \cdot 3{,}75}}{{4 + 9 + 13 + 8 + 6}} = 2{,}7875.{\rm{ }}$

Tuối thọ trung bình của các linh kiện của phân xưởng 2 là:

$\overline {{x_2}} = \frac{{2 \cdot 1{,}75 + 8 \cdot 2{,}25 + 20 \cdot 2{,}75 + 7 \cdot 3{,}25 + 3 \cdot 3{,}75}}{{2 + 8 + 20 + 7 + 3}} = 2{,}7625.{\rm{ }}$

Phương sai và độ lệch chuấn của các linh kiện của phân xưởng 1 là:

Suy ra $s_1^2 = \frac{{{{4.1{,}75}^2} + {{9.2{,}25}^2} + {{13.2{,}75}^2} + {{8.3{,}25}^2} + {{6.3{,}75}^2}}}{{40}} - {(2{,}7875)^2} \approx 0{,}355$.

Phương sai và độ lệch chuấn của các linh kiện của phân xưởng 2 là:

$s_2^2 = \frac{{2 \cdot {{1{,}75}^2} + {{8.2{,}25}^2} + {{20.2{,}75}^2} + {{7.3{,}25}^2} + {{3.3{,}75}^2}}}{{40}} - {(2{,}7625)^2} \approx 0{,}219.{\rm{ }}$

Suy ra ${s_2} = \sqrt {0{,}219} \approx 0{,}47$.

Đối với mẫu số liệu này thì phương sai và độ lệch chuấn nhó nên độ phân tán của số liệu thấp. Do đó các giá trị của mẫu số liệu tập trung quanh giá trị trung bình.

Chọn giá trị đại diện cho mẫu số liệu ta có:

a) $x = \frac{{4{,}75 \cdot 3 + 5{,}25 \cdot 8 + 5{,}75 \cdot 7 + 6{,}25 \cdot 2}}{{20}} = 5{,}45;{\rm{ }}$

${s^2} = \frac{{{{4{,}75}^2} \cdot 3 + {{5{,}25}^2} \cdot 8 + {{5{,}75}^2} \cdot 7 + {{6{,}25}^2} \cdot 2}}{{20}} - {5{,}45^2} = 0{,}185 \Rightarrow s = \sqrt {0{,}185} \approx 0{,}43.$

b) Dữ liệu cho thấy đường kính của các nhân tế bào có mức độ biến động nhỏ và gần giá trị trung bình. Điều này có thế thấy được mức độ đồng đều trong kích thước của các nhân tế bào hoặc quy trình đo lường được thực hiện một cách chính xác.

Chọn giá trị đại diện cho mẫu số liệu ta có:

Thời gian chạy trung bình của ${\rm{A}}$ là: $\overline {{x_A}} = \frac{{10{,}15 \cdot 2 + 10{,}45 \cdot 10 + 10{,}75 \cdot 5 + 11{,}05 \cdot 3}}{{20}} = 10{,}585.$

Thời gian chạy trung bình của ${\rm{B}}$ là: $\overline {{x_B}} = \frac{{10{,}15 \cdot 3 + 10{,}45 \cdot 7 + 10{,}75 \cdot 9 + 11{,}05.6}}{{25}} = 10{,}666.{\rm{ }}$

Phương sai và độ lệch chuấn của ${\rm{A}}$ là:

$s_A^2 = \frac{{{{10{,}15}^2} \cdot 2 + {{10{,}45}^2} \cdot 10 + {{10{,}75}^2} \cdot 5 + {{11{,}05}^2} \cdot 3}}{{20}} - {10{,}585^2} \approx 0{,}067.{\rm{ }}$Suy ra ${s_A} = \sqrt {0{,}067} \approx 0{,}26$.

Phương sai và độ lệch chuấn của ${\rm{B}}$ là

$s_B^2 = \frac{{{{10{,}15}^2} \cdot 3 + {{10{,}45}^2} \cdot 7 + {{10{,}75}^2} \cdot 9 + {{11{,}05}^2} \cdot 6}}{{25}} - {10{,}666^2} \approx 0{,}083.{\rm{ }}$Suy ra ${s_B} = \sqrt {0{,}083} \approx 0{,}29$.

Vận động viên ${\rm{A}}$ có độ lệch chuấn nhỏ hơn so với vận động viên ${\rm{B}}$. Điều này cho thấy thời gian chạy tập luyện của vận động viên ${\rm{A}}$ ít biến động hơn so với vận động viên ${\rm{B}}$. Do đó vận động viên A có thành tích luyện tập ồn định hơn so với vận động viên ${\rm{B}}$.

Khoảng biến thiên: ${\rm{R}} = 7{,}5 - 5 = 2{,}5$.

Cỡ mẫu là ${\rm{n}} = 2 + 8 + 15 + 10 + 5 = 40$.

Gọi ${{\rm{x}}_1};{{\rm{x}}_2}; \ldots ;{{\rm{x}}_{40}}$ thời gian nghe nhạc liên tục của điện thoại được sạc đầy pin cho đến khi hết pin và được sắp xếp theo thứ tự tăng dằn.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{{{x_{10}} + {x_{11}}}}{2}$.

Mà ${x_{10}} \in [5{,}5;6);{x_{11}} \in [6;6{,}5)$. Do đó ${Q_1} = 6$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\frac{{{x_{30}} + {x_{31}}}}{2}$.

Mà ${x_{30}};{x_{31}} \in [6{,}5;7)$ nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là $[6{,}5;7)$.

Ta có ${Q_3} = 6{,}5 + \frac{{\frac{{3.40}}{4} - 25}}{{10}} \cdot (7 - 6{,}5) = 6{,}75$.

Khoảng tứ phân vị ${{\rm{D}}_{\rm{Q}}} = {{\rm{Q}}_3} - {{\rm{Q}}_1} = 6{,}75 - 6 = 0{,}75$.

Chọn giá trị đại diện cho mẫu số liệu ta có

Thời gian trung bình là: $\bar x = \frac{{5{,}25 \cdot 2 + 5{,}75 \cdot 8 + 15 \cdot 6{,}25 + 10 \cdot 6{,}75 + 5 \cdot 7{,}25}}{{40}} = 6{,}35.{\rm{ }}$

Phương sai và độ lệch chuẩn là:

${s^2} = \frac{{{{5{,}25}^2} \cdot 2 + {{5{,}75}^2} \cdot 8 + 15 \cdot {{6{,}25}^2} + 10 \cdot {{6{,}75}^2} + 5 \cdot {{7{,}25}^2}}}{{40}} - {6{,}35^2} = 0{,}2775.{\rm{ }}$Suy ra $s = \sqrt {0{,}2775} \approx 0{,}53$.

a) Chọn giá trị đại diện cho mẫu số liệu ta có:

Trung bình tiền lãi đầu tư vào līnh vực ${\rm{A}}$ là:

$\overline {{x_A}} = \frac{{2 \cdot 7{,}5 + 5 \cdot 12{,}5 + 8 \cdot 17{,}5 + 6 \cdot 22{,}5 + 4 \cdot 27{,}5}}{{25}} = 18{,}5.{\rm{ }}$

Trung bình tiền lãi đầu tư vào līnh vực B là:

$\overline {{x_B}} = \frac{{8.7{,}5 + 4.12{,}5 + 2 \cdot 17{,}5 + 5.22{,}5 + 6.27{,}5}}{{25}} = 16{,}9.{\rm{ }}$

${\rm{V}}\overline {{x_A}} > \overline {{x_B}}$ nên đầu tư vào lînh vực ${\rm{A}}$ thì đem lại lãi cao hơn.

b) Phương sai và độ lệch chuẩn của tiền lãi của nhà đầu tư vào līnh vực ${\rm{A}}$

$s_A^2 = \frac{{{{2.7{,}5}^2} + {{5.12{,}5}^2} + {{8.17{,}5}^2} + {{6.22{,}5}^2} + {{4.27{,}5}^2}}}{{25}} - {18{,}5^2} = 34.{\rm{ }}$Suy ra ${s_A} = \sqrt {34} \approx 5{,}83$.

Phương sai và độ lệch chuẩn của tiền lãi của nhà đầu tư vào lỉnh vực B

$s_B^2 = \frac{{{{8.7{,}5}^2} + {{4.12{,}5}^2} + {{2.17{,}5}^2} + {{5.22{,}5}^2} + {{6.27{,}5}^2}}}{{25}} - {16{,}9^2} = 64{,}64.{\rm{ }}$Suy ra ${s_B} = \sqrt {64{,}64} \approx 8{,}04$.

Dựa vào độ lệch chuẩn, ta thấy rẳng tiền lãi của các nhà đầu tư trong linh vực B có sự biến động lớn hơn và có xu hướng phân tán rộng hơn so với tiền lãi của các nhà đầu tư trong lînh vực ${\bf{A}}$.

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: ${\rm{R}} = 180 - 170 = 10$.

Cỡ mẫu là: ${\rm{n}} = 3 + 10 + 6 + 1 = 20$.

Gọi ${{\rm{x}}_1};{{\rm{x}}_2},.;{{\rm{x}}_{20}}$ là mức xà của 20 vận động viên được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là $\frac{{{x_5} + {x_6}}}{2}$ mà ${x_5};{x_6}$ thuộc nhóm $[172;174)$.

Ta có ${Q_1} = 172 + \frac{{\frac{{20}}{4} - 3}}{{10}} \cdot (174 - 172) = 172{,}4$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là $\frac{{{x_{15}} + {x_{16}}}}{2}$ mà x15; ${{\rm{x}}_{16}}$ thuộc nhóm $[174;176)$.

Ta có ${Q_3} = 174 + \frac{{\frac{{3.20}}{4} - 13}}{6} \cdot (176 - 174) \approx 174{,}7$.

Do đó khoảng tứ phân vị là $\Delta_Q=174{,}7-172{,}4=2{,}3$.

Chọn giá trị đại diện cho mẫu số liệu ta có

Mức xà trung bình là: $\bar x = \frac{{3.171 + 10.173 + 6.175 + 1.178}}{{20}} = 173{,}55.{\rm{ }}$

Phương sai và độ lệch chuẩn: ${s^2} = \frac{{{{3.171}^2} + {{10.173}^2} + {{6.175}^2} + {{1.178}^2}}}{{20}} - {173{,}55^2} \approx 2{,}75.{\rm{ }}$

Suy ra $s = \sqrt {2{,}75} \approx 1{,}66$.

b) Dựa vào các số liệu ở câu a, ta thấy mẫu dữ liệu có sự biến động lớn, các giá trị phân tán rộng và không đồng đều. Có sự chênh lệch đáng kể giửa các kết quả của các vận động viên.

Chọn giá trị đại diện cho mẫu số liệu ta có:

Hiệu điện thế trung bình của An đo là: $\overline {{x_1}} = \frac{{3{,}875 \cdot 1 + 3{,}925 \cdot 6 + 3{,}975 \cdot 2 + 4{,}025.1}}{{10}} = 3{,}94.{\rm{ }}$

Hiệu điện thế trung bình của Bình đo là: $\overline {{x_2}} = \frac{{3{,}875.1 + 3{,}925.3 + 3{,}975.4 + 4{,}025.2}}{{10}} = 3{,}96$

Phương sai và độ lệch chuẩn về mẫu số liệu ghép nhóm của An đo là:

$s_1^2 = \frac{{{{3{,}875}^2} \cdot 1 + {{3{,}925}^2} \cdot 6 + {{3{,}975}^2} \cdot 2 + {{4{,}025}^2} \cdot 1}}{{10}} - {3{,}94^2} = 1{,}525 \cdot {10^{ - 3}}{\rm{. }}$Suy ra ${s_1} = \sqrt {1{,}525 \cdot {{10}^{ - 3}}} \approx 0{,}039$.

Phương sai và độ lệch chuẩn về mẫu số liệu ghép nhóm của Bình đo là:

$s_2^2 = \frac{{{{3{,}875}^2} \cdot 1 + {{3{,}925}^2} \cdot 3 + {{3{,}975}^2} \cdot 4 + {{4{,}025}^2} \cdot 2}}{{10}} - {3{,}96^2} = 2{,}025 \cdot {10^{ - 3}}{\rm{. }}$Suy ra ${s_2} = \sqrt {2{,}025 \cdot {{10}^{ - 3}}} = 0{,}045$.

Dựa vào kết quả tính được của độ lệch chuẩn, ta thấy vôn kế của An cho kết quảồn định hơn vôn kế của Bình.

a) Căn cứ vào giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của mẫu số liệu, ta thấy khoảng biến thiên là $R = 9$ nên nếu muốn mỗi nhóm có độ dài bằng 2 và nhóm đầu tiên là $[5;7)$ thì phải chia số liệu thành 5 nhóm, với 4 nhóm ghép tiếp theo là $[7;9),[9;11),[11;13),[13;15)$. Đếm số lần xuất hiện các giá trị trong mỗi nhóm, ta lập được bảng sau:

Bảng 3.15a. Thời gian làm thêm hằng tuẩn của một số bác sí (đơn vị: giờ)

b) Bổ sung thêm giá trị đại diện của mỗi nhóm vào bảng lập ở trên, ta có Bảng 3.15b:

Sử dụng bảng 3.15b để tính số trung bình ${\bar x_N}$ của mẫu số liệu ghép nhóm:

${\bar x_N} = \frac{{2.6 + 4.8 + 9.10 + 6.12 + 4.14}}{{25}} = \frac{{262}}{{25}} = 10{,}48{\rm{ (gio)}}{\rm{. }}$

Suy ra phương sai $s_N^2$ của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$= \frac{{2{{(6 - 10{,}48)}^2} + 4{{(8 - 10{,}48)}^2} + 9{{(10 - 10{,}48)}^2} + 6{{(12 - 10{,}48)}^2} + 4{{(14 - 10{,}48)}^2}}}{{25}} = \frac{{130{,}24}}{{25}} = 5{,}2096 \approx 5{,}21.$Độ lệch chuẩn ${s_N}$ của mẫu số liệu ghép nhóm là ${s_N} = \sqrt {s_N^2} \approx 2{,}28$.

c) Gọi ${\bar x_G},s_G^2,{s_G}$ tương ứng là trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc. Để tính giá trị của các số đặc trưng này, ta lập bảng tần số:

Sử dụng các công thức tính trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu không ghép nhóm, ta có: ${\bar x_G} = \frac{{5 + 6 + 7 + 3.8 + 5.9 + 4.10 + 3.11 + 3.12 + 2.13 + 2.14}}{{25}} = 10.$

Phương sai:

$s_G^2 = \frac{{1{{(5 - 10)}^2} + 1{{(6 - 10)}^2} + 1{{(7 - 10)}^2} + \ldots + 3{{(12 - 10)}^2} + 2{{(13 - 10)}^2} + 2{{(14 - 10)}^2}}}{{25}} = \frac{{132}}{{25}} = 5{,}28.$

Độ lệch chuẩn: ${s_G} = \sqrt {s_G^2} = \sqrt {5{,}28} \approx 2{,}30$.

Quan sát kết quả tìm được ở hai câu b và $c$, ta thấy ${\bar x_N} \approx {\bar x_G};s_N^2 \approx s_G^2;{s_N} \approx {s_G}$. Như vậy số trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm tương ứng xấp xỉ với số trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ban đầu, khi chưa ghép nhóm. Nếu chỉ có mẫu số liệu ghép nhóm thì ta có thể kết luận là thời gian làm thêm trung bình hằng tuần của 25 bác sĩ được điều tra là 10,48 giờ và so với số này thì thời gian làm thêm của các bác sĩ chênh lệch trung bình khoảng 2,28 giờ.

Bổ sung thêm các giá trị đại diện vào Bảng 3.17 , ta lập được bảng sau:

Chiều đài của 40 bé trai sơ sinh (đơn vị: ${\rm{cm}}$ )

Từ mẫu số liệu đã cho, ta tính được số trung bình là:

$\bar x = \frac{{3.45 + 3.47 + 10.49 + 15.51 + 7.53 + 2.55}}{{40}} = \frac{{2012}}{{40}} = 50{,}3.$

$\bar x$ không phải là số nguyên nên ta chọn công thức (*) để tính phương sai:

$\overline {{x^2}} = \frac{{{{3.45}^2} + {{3.47}^2} + {{10.49}^2} + {{15.51}^2} + {{7.53}^2} + {{2.55}^2}}}{{40}} = 2536.$

Do đó ${s^2} = \overline {{x^2}} - {(\bar x)^2} = 2536 - {50{,}3^2} = 2536 - 2530{,}09 = 5{,}91$.

Vậy mẫu số liệu vế chiều dài của 40 trẻ sơ sinh có độ lệch chuẩn là $s = \sqrt {5{,}91} \approx 2{,}43$.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: $300 - 50 = 250(\;{\rm{km}})$

Cỡ mẫu $n = 30$

Gọi ${x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{30}}$ là mẫu số liệu gốc về độ dài quãng đường bác tài xế lái mỗi ngày trong một tháng được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: ${x_1}; \ldots ;{x_5} \in [50;100);{x_6}; \ldots ;{x_{15}} \in [100;150);{x_{16}}; \ldots ;{x_{24}} \in [150;200);{x_{25}}; \ldots ;{x_{28}} \in [200;250)$; ${x_{29}};{x_{30}} \in [250;300)$

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là ${x_8} \in [100;150)$. Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_1} = 100 + \frac{{\frac{{30}}{4} - 5}}{{10}}(150 - 100) = 112{,}5$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là ${x_{23}} \in [150;200)$. Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_3} = 150 + \frac{{\frac{{3.30}}{4} - (5 + 10)}}{9}(200 - 150) = \frac{{575}}{3}$

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 79{,}17$

Số trung bình: $\bar x = \frac{{5.75 + 10.125 + 9.175 + 4.225 + 2.275}}{{30}} = 155$

Độ lệch chuẩn: $\sigma = \sqrt {\frac{{{{5.75}^2} + {{10.125}^2} + {{9.175}^2} + {{4.225}^2} + {{2.275}^2}}}{{30}} - {{155}^2}} = 3100$

a)

Hà Nội

Trong mẫu số liệu ghép nhóm ở Bảng 22 , ta có: đầu mút trái của nhóm 1 là a $= 16{,}8$; đầu mút phải của nhóm 5 là ${{\rm{a}}_6} = 31{,}8$.

Vậy khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm được cho bởi Bảng 22 là:

${\rm{R}} = {{\rm{a}}_6} - {{\rm{a}}_1} = 31{,}8 - 16{,}8 = 15{\rm{ (d? C) }}$

Từ Bảng 22 ta có bảng thống kê sau:

Số phần tử của mẫu là ${\rm{n}} = 12$.

Ta có: $\frac{n}{4} = \frac{{12}}{4} = 3$ mà $2 < 3 < 5$. Suy ra nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 3 . Xét nhóm 2 là nhóm $\left[ {19{,}8;22{,}8} \right.$ ) có ${\rm{s}} = 19{,}8;h = 3;{{\rm{n}}_2} = 3$ và nhóm 1 là nhóm $[16{,}8;19{,}8)$ có ${\rm{c}}{{\rm{f}}_1} = 2$.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ nhất là: ${Q_1} = 19{,}8 + \left( {\frac{{3 - 2}}{3}} \right) \cdot 3 = 20{,}8{\rm{ (do C) }}$

Ta có: $\frac{{3n}}{4} = \frac{{3 \cdot 12}}{4} = 9 >$ mà $8 < 9 < 12$. Suy ra nhóm 5 là nhóm đầu tiên có tằn số tích lūy lớn hơn hoặc bằng 9 . Xét nhóm 5 là nhóm $[28{,}8;31{,}8)$ có $t = 28{,}8;I = 3;{n_5} = 4$ và nhóm 4 là nhóm $[25{,}8;28{,}8)$ có ${\rm{c}}{{\rm{f}}_4} = 8$.