35 bài tập Thống kê có lời giải

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự tăng dần ta được 19 19 20 21 21 22 28 29 29 29 32.

Vì cỡ mẫu là 11 là số lẻ nên tứ phân vị thứ hai là ${Q_2} = 22$.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: $19;{\rm{ }}19;{\rm{ }}20;{\rm{ }}21;{\rm{ }}21.$ Do đó ${Q_1} = 20$.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: $28;{\rm{ }}29;{\rm{ }}29;{\rm{ }}29;{\rm{ }}32.$Do đó ${Q_3} = 29$.

Vậy tứ phân vị của mẫu số liệu là ${Q_1} = 20,{Q_2} = 22,{Q_3} = 29.$ Chọn D.

Ta có bảng sau:

Nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng $\frac{n}{4} = \frac{{20}}{4} = 5$ là nhóm $[16;17)$. Chọn C.

Nhóm $\left[ {82;84} \right)$ là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng $\frac{n}{4} = \frac{{90}}{4} = 22{,}5$ nên chứa tứ phân vị thứ nhất.

Ta có: ${Q_1} = 82 + \frac{{22{,}5 - 18}}{{20}} \cdot 2 = 82{,}45$.

Nhóm $\left[ {86;88} \right)$ là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng $\frac{{3n}}{4} = \frac{{3 \cdot 90}}{4} = 67{,}5$ nên chứa tứ phân vị thứ ba.

Ta có: ${Q_3} = 86 + \frac{{67{,}5 - 62}}{{15}} \cdot 2 = \frac{{1301}}{{15}}$.

Suy ra khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: $\Delta Q = {Q_3} - {Q_1} \approx 4{,}28$. Chọn A.

Ta có bảng sau:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\overline x = \frac{{6 \cdot 22{,}5 + 6 \cdot 27{,}5 + 4 \cdot 32{,}5 + 1 \cdot 37{,}5 + 1 \cdot 42{,}5}}{{18}} = \frac{{85}}{3}.$

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${s^2} = \frac{1}{{18}}\left[ {6 \cdot {{\left( {22{,}5} \right)}^2} + 6 \cdot {{\left( {27{,}5} \right)}^2} + 4 \cdot {{\left( {32{,}5} \right)}^2} + 1 \cdot {{\left( {37{,}5} \right)}^2} + 1 \cdot {{\left( {42{,}5} \right)}^2}} \right] - {\left( {\frac{{85}}{3}} \right)^2} = 31{,}25$.

Do đó, phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm có giá trị gần nhất với giá trị 31,44. Chọn D.

Sản lượng chè trung bình thu được trong một năm của mỗi gia đình là

$\bar x = \frac{{112 + 111 + 112 + 113 + 114 + 116 + 115 + 114 + 115 + 114}}{{10}} = 113{,}6$(kg/sào).

Ta viết lại mẫu số liệu trên theo thứ tự không giảm:

$\begin{array}{llllllllllllllllllll}{111}&{112}&{112}&{113}&{114}&{114}&{114}&{115}&{115}&{116}\end{array}$

Vì số giá trị của mẫu $n = 10$ (chẵn) nên trung bình cộng hai số chính giữa mẫu chính là trung vị, vậy trung vị là: $\frac{{114 + 114}}{2} = 114$.

Trong mẫu trên, giá trị 114 xuất hiện nhiều nhất (3 lần) nên 114 là mốt của mẫu số liệu đã cho.

Đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là $90 - 30 = 60$.

Vì độ dài của các nhóm là bằng nhau và tần số lớn nhất của mẫu số liệu là 16 nên nhóm chứa mốt là nhóm $\left[ {50;60} \right)$.

Nhóm $\left[ {40;50} \right)$ là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng $\frac{n}{4} = \frac{{40}}{4} = 10$ nên chứa tứ phân vị thứ nhất.

Ta có: ${Q_1} = 40 + \frac{{10 - 2}}{{10}} \cdot 10 = 48$.

Nhóm $\left[ {60;70} \right)$ là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng $\frac{{3n}}{4} = 30$ nên chứa tứ phân vị thứ ba.

Ta có: ${Q_3} = 60 + \frac{{30 - 28}}{8} \cdot 10 = 62{,}5$.

Suy ra khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: $\Delta Q = {Q_3} - {Q_1} = 14{,}5$.

Đáp án: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Đúng.

Không có học sinh nào lớp 12A đạt điểm từ 6 đến dưới 7 điểm.

Khoảng biến thiên điểm trung bình các bạn lớp 12A là $10 - 5 = 5$.

Khoảng biến thiên điểm trung bình các bạn lớp 12B là $10 - 6 = 4$.

Nếu so sánh theo khoảng biến thiên thì học sinh lớp 12B có điểm trung bình ít phân tán hơn.

Số bạn lớp 12 B đạt điểm trung bình từ 8 điểm trở lên là

$\frac{{15 + 11}}{{0 + 5 + 9 + 15 + 11}} = 0{,}65 = 65\%$.

* Lớp 12B

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là:

$s = \sqrt {{s^2}} = \sqrt {\frac{1}{n}\sum {{n_i}} c_i^2 - {{\left( {\frac{{\sum {{n_i}} {c_i}}}{n}} \right)}^2}} = \sqrt {\left( {\frac{{2794}}{{40}}} \right) - {{\left( {\frac{{332}}{{40}}} \right)}^2}} \approx 0{,}98$.

* Lớp 12A

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là:

$s = \sqrt {{s^2}} = \sqrt {\frac{1}{n}\sum {{n_i}} c_i^2 - {{\left( {\frac{{\sum {{n_i}} {c_i}}}{n}} \right)}^2}} = \sqrt {\left( {\frac{{2558}}{{40}}} \right) - {{\left( {\frac{{318}}{{40}}} \right)}^2}} \approx 0{,}86$.

Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì học sinh lớp 12 B có điểm trung bình phân tán hơn.

Đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.

Sản lượng trung bình của 40 thửa ruộng là: $\bar x = \frac{1}{{40}}(5 \cdot 20 + 8 \cdot 21 + 11 \cdot 22 + 10 \cdot 23 + 6 \cdot 24) = 22{,}1{\rm{ }}$(tạ).

Phương sai: ${s^2} = \frac{1}{{40}}\left[ {{n_1}{{\left( {{x_1} - \bar x} \right)}^2} + {n_2}{{\left( {{x_2} - \bar x} \right)}^2} + \ldots + {n_5}{{\left( {{x_5} - \bar x} \right)}^2}} \right] = 1{,}54$.

Độ lệch chuẩn: $s = \sqrt {{s^2}} = \sqrt {1{,}54} \approx 1{,}24$ (tạ).

***Đáp án:* **$1{,}24$.

Nhóm $\left[ {45;50} \right)$ chứa tứ phân vị thứ nhất.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là: ${Q_1} = 45 + \frac{{10 - 4}}{{11}} \cdot 5 = 45 + \frac{6}{{11}} \cdot 5 = \frac{{525}}{{11}}$.

Nhóm $\left[ {55;60} \right)$ chứa tứ phân vị thứ ba.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là: ${Q_3} = 55 + \frac{{30 - 22}}{8} \cdot 5 = 55 + 1 \cdot 5 = 60$.

Suy ra khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: $\Delta Q = {Q_3} - {Q_1} \approx 12{,}3$.

***Đáp án:* **$12{,}3$.

Số phần tử của mẫu là $n = 40$. Ta có: $\frac{n}{2} = \frac{{40}}{2} = 20$ mà $8 < 20 < 33$.

Suy ra nhóm $3$ là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng $20$.

Xét nhóm $3$ có $r = 70;{\rm{ }}d = 10;{\rm{ }}{n_3} = 25$ và nhóm $2$ có $c{f_2} = 8$.

Trung vị của mẫu số liệu đó là: ${M_e} = 70 + \left( {\frac{{20 - 8}}{{25}}} \right) \cdot 10 = 74{,}8$. Chọn D.

Số trung bình cộng của mẫu số liệu đó là

$\overline x = \frac{{3 \cdot 55 + 5 \cdot 65 + 25 \cdot 75 + 4 \cdot 85 + 3 \cdot 95}}{{40}} = 74{,}75.$

Phương sai của mẫu số liệu đó là:

${s^2} = \frac{{3 \cdot {{55}^2} + 5 \cdot {{65}^2} + 25 \cdot {{75}^2} + 4 \cdot {{85}^2} + 3 \cdot {{95}^2}}}{{40}} - 74,{75^2} = 82{,}4375.$ Chọn B.

Cỡ mẫu $n = 14 + 30 + 25 + 18 + 5 = 92 \Rightarrow \frac{n}{4} = 23$.

Tần số tích lũy của nhóm 1 là $14 < 23$ và tần số tích lũy của nhóm 2 là $44 > 23$.

Vậy nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng $\frac{n}{4} = 23$.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_1} = 6 + \left( {\frac{{23 - 14}}{{30}}} \right) \cdot 5 = \frac{{15}}{2}$.

Ta có $\frac{{3n}}{4} = 69$ nên nhóm 3 là nhóm có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng $\frac{{3n}}{4}$.

Tứ phân vị thứ ba ${Q_3}$ của mẫu số liệu đã cho là: ${Q_3} = 11 + \left( {\frac{{69 - 44}}{{25}}} \right) \cdot 5 = 16$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${\Delta _Q}\; = {Q_3}--{Q_1}\; = 16--\frac{{15}}{2} = \frac{{17}}{2}$. Chọn B.

Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm, ta được: $2;{\rm{ }}8;{\rm{ }}9;{\rm{ }}9;{\rm{ }}9;{\rm{ }}9;{\rm{ }}9;{\rm{ }}10;{\rm{ }}11.$

Vì cỡ mẫu là 9 là số lẻ nên tứ phân vị thứ hai là ${Q_2} = 9$.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: $2;{\rm{ }}8;{\rm{ }}9;{\rm{ }}9$. Do đó ${Q_1} = 8{,}5$.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: $9;{\rm{ }}9;{\rm{ }}10;{\rm{ }}11.$Do đó ${Q_3} = 9{,}5$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ở nhà máy là: $\Delta = 9{,}5 - 8{,}5 = 1$.

Ta có: ${Q_3} + 1{,}5\Delta = 9{,}5 + 1{,}5 \cdot 1 = 11$ và ${Q_1} - 1{,}5\Delta = 8{,}5 - 1{,}5 \cdot 1 = 7$.

Do đó giá trị ngoại lệ trong mẫu số liệu ở nhà máy là 2. Chọn C.

Số trung bình cộng của bảng phân bố tần số nói trên là:

$\frac{{3 \cdot 3 + 4 \cdot 5 + 5 \cdot 11 + 6 \cdot 17 + 7 \cdot 30 + 8 \cdot 19 + 9 \cdot 10 + 10 \cdot 5}}{{100}} = 6{,}88$. Chọn A.

Mẫu số liệu đã cho có 7 phần tử, đã sắp theo thứ tự không giảm.

Nên số trung vị là số đứng giữa dãy. Vậy số trung vị là 5. Chọn D.

Điểm số trung bình của các học sinh tham gia thi học sinh giỏi là

$\overline x = \frac{{1 \cdot 9 + 1 \cdot 10 + 3 \cdot 11 + 5 \cdot 12 + 8 \cdot 13 + 13 \cdot 14 + 19 \cdot 15 + 24 \cdot 16 + 14 \cdot 17 + 10 \cdot 18 + 2 \cdot 19}}{{100}} = 15{,}23$.

Phương sai của số liệu thống kê là

$S_x^2 = \frac{{{{\left( {\overline x - 9} \right)}^2} + {{\left( {\overline x - 10} \right)}^2} + 3{{\left( {\overline x - 11} \right)}^2} + 5{{\left( {\overline x - 12} \right)}^2} + ... + 2{{\left( {\overline x - 19} \right)}^2}}}{{100}} \approx 3{,}96$.

Suy ra độ lệch chuẩn của bảng số liệu thống kê là ${S_x} = \sqrt {S_x^2} \approx 1{,}99$. Chọn D.

Mẫu số liệu theo thứ tự không giảm là: $155{\rm{ }}\;158{\rm{ }}\;159{\rm{ }}\;160{\rm{ }}\;165{\rm{ }}\;165{\rm{ }}\;167{\rm{ }}\;171{\rm{ }}\;175$.

Mẫu số liệu trên có 9 số liệu nên tứ phân vị thứ hai là: ${Q_2} = 165$.

Trung vi của dãy số $155{\rm{ }}158{\rm{ }}159{\rm{ }}160{\rm{ }}$là: ${Q_1} = \left( {158 + 159} \right):2 = 158{,}5$.

Trung vị của dãy số $165{\rm{ }}167{\rm{ }}171{\rm{ }}175$là: ${Q_3} = \left( {167 + 171} \right):2 = 169$.

Vậy ${Q_1} = 158{,}5,{Q_2} = 165,{Q_3} = 169.$ Chọn D.

Ta có bảng sau:

Nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng $\frac{n}{4} = \frac{{20}}{4} = 5$ là nhóm $\left[ {16;17} \right)$.

Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu trên là $\left[ {16;17} \right)$. Chọn C.

Ta có bảng sau:

Nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng $\frac{n}{2} = \frac{{51}}{2} = 25{,}5$ là nhóm $\left[ {54;61} \right)$.

Vậy nhóm $\left[ {54;61} \right)$ chứa trung vị. Chọn C.

Ta có bảng sau:

Số trung bình của mẫu số liệu là: $\overline x = \frac{{8 \cdot 2{,}75 + 22 \cdot 4{,}25 + 5{,}75 \cdot 35 + 7{,}25 \cdot 15}}{{8 + 22 + 35 + 15}} \approx 5{,}32$. Chọn B.

Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là nhóm có tần số lớn nhất.

Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là nhóm $\left[ {165;170} \right)$. Chọn C.

Gọi ${x_1},{x_2}, \ldots ,{x_{20}}$ là doanh thu bán hàng trong 20 ngày xếp theo thứ tự không giảm.

Khi đó: ${x_1},{x_2} \in \left[ {5;7} \right);{x_3}, \ldots ,{x_9} \in \left[ {7;9} \right);{x_9}, \ldots ,{x_{16}} \in \left[ {9;11} \right);{x_{17}}, \ldots ,{x_{19}} \in \left[ {11;13} \right);{x_{20}} \in \left[ {13;15} \right)$.

Do đó, trung vị của mẫu số liệu thuộc nhóm $\left[ {9;11} \right)$. Chọn B.

Goi ${x_1},{x_2}, \ldots ,{x_{20}}$ là doanh thu bán hàng trong 20 ngày xếp theo thứ tự không giảm.

Khi đó: ${x_1},{x_2} \in \left[ {5;7} \right);{x_3}, \ldots ,{x_9} \in \left[ {7;9} \right);{x_9}, \ldots ,{x_{16}} \in \left[ {9;11} \right);{x_{17}}, \ldots ,{x_{19}} \in \left[ {11;13} \right);{x_{20}} \in \left[ {13;15} \right)$.

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu thuộc nhóm $\left[ {7;9} \right)$.

Vậy ${Q_1} = 7 + \frac{{\frac{{1 \cdot 20}}{4} - 2}}{7}\left( {9 - 7} \right) \approx 7{,}86 \approx 8$. Chọn C.

Số học sinh tham gia thu nhặt vỏ chai nhựa là $n = 53 + 82 + 48 + 39 + 18 = 240$.

Do số vỏ chai là số nguyên nên ta hiệu chỉnh lại như sau

Gọi ${x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{240}}$ lần lượt là số vỏ chai nhựa 240 học sinh khối 11 thu nhặt được xếp theo thứ tự không giảm.

Do ${x_1}; \ldots ;{x_{53}} \in \left[ {10{,}5;15{,}5} \right);{x_{54}}; \ldots ;{x_{135}} \in \left[ {15{,}5;20{,}5} \right)$ nên trung vị của mẫu số liệu ${x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{240}}$ là $\frac{1}{2}\left( {{x_{120}} + {x_{121}}} \right) \in \left[ {15{,}5;20{,}5} \right)$.

Vậy trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là ${M_e} = 15{,}5 + \frac{{\frac{{240}}{2} - 53}}{{82}} \cdot \left( {20{,}5 - 15{,}5} \right) = \frac{{803}}{{41}} \approx 19{,}59$.

Chọn B.

Ta có bảng sau:

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là:

$s = \sqrt {{s^2}} = \sqrt {\frac{1}{n}\sum {{n_i}} c_i^2 - {{\left( {\frac{{\sum {{n_i}} {c_i}}}{n}} \right)}^2}} = \sqrt {\left( {\frac{{3668}}{{44}}} \right) - {{\left( {\frac{{388}}{{44}}} \right)}^2}} \approx 2{,}37$. Chọn C.

Ta có bảng sau:

Phương sai của mẫu số liệu trên là: ${s^2} = \frac{1}{n}\sum {{n_i}} c_i^2 - {\left( {\frac{{\sum {{n_i}} {c_i}}}{n}} \right)^2} \approx 46.$ Chọn B.

Ta có bảng sau:

Phương sai của mẫu số liệu trên là: ${s^2} = \frac{1}{n}\sum {{n_i}} c_i^2 - {\left( {\frac{{\sum {{n_i}} {c_i}}}{n}} \right)^2} \approx 243{,}4.$ Chọn B.

Ta có bảng sau:

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là:

$s = \sqrt {{s^2}} = \sqrt {\frac{1}{n}\sum {{n_i}} c_i^2 - {{\left( {\frac{{\sum {{n_i}} {c_i}}}{n}} \right)}^2}} = \sqrt {\left( {\frac{{645786}}{{90}}} \right) - {{\left( {\frac{{7620}}{{90}}} \right)}^2}} \approx 2{,}64$. Chọn A.