32 bài tập Toán 9 Kết nối tri thức Bài 11. Tỉ số lượng giác góc nhọn có đáp án

Chọn A

Theo định nghĩa tỉ số lượng giác trong tam giác vuông, ta có tam giác $MNP$ vuông tại $M$ nên $\cos \alpha = \frac{{MP}}{{NP}}.$

Chọn A

Theo định nghĩa tỉ số lượng giác trong tam giác vuông, ta có các tỉ số lượng giác của góc nhọn $\alpha$ luôn dương và $\sin \alpha < 1\,;\,\,\cos \alpha < 1.$

Do đó $0 < \sin \alpha < 1\,;\,\,0 < \cos \alpha < 1.$

Chọn C

Theo định nghĩa tỉ số lượng giác trong tam giác vuông, ta có $\cot \beta = \frac{1}{{\tan \beta }}.$

Chọn C

Phương án A, B, D đúng.

Phương án C sai. Sửa lại: Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối được gọi là côtang của góc $\alpha ,$ kí hiệu $\cot \alpha .$

Chọn C

Vì $\alpha ,\beta$ là hai góc phụ nhau nên $\beta = 90^\circ - \alpha .$

Theo định lí tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau, ta có:

$$\sin \alpha = \cos \left( {90^\circ - \alpha } \right) = \cos \beta ;$$

$$\tan \alpha = \cot \left( {90^\circ - \alpha } \right) = \cot \beta .$$

Chọn C

Cách 1. Do tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên

⦁ $\sin B = \frac{{AC}}{{BC}}$ và $\tan C = \frac{{AB}}{{AC}}.$ Suy ra $\sin B \ne \tan C.$ Do đó phương án A sai.

⦁ $\tan B = \frac{{AC}}{{AB}}$ và $\cos C = \frac{{AC}}{{BC}}.$ Suy ra $\tan B \ne \cos C.$ Do đó phương án B sai.

⦁ $\sin C = \frac{{AB}}{{BC}}$ và $\cos B = \frac{{AB}}{{BC}}.$ Suy ra $\sin C = \cos B.$ Do đó phương án C đúng.

⦁ $\cos B = \frac{{AB}}{{BC}}$ và $\cos C = \frac{{AC}}{{BC}}.$

Suy ra $\frac{{\cos C}}{{\cos B}} = \frac{{AC}}{{BC}}:\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{AC}}{{BC}} \cdot \frac{{BC}}{{AB}} = \frac{{AC}}{{AB}} \ne \frac{{AB}}{{AC}}.$ Do đó phương án D sai.

Vậy ta chọn phương án C.

Cách 2. Vì tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $\widehat {B\,} + \widehat {C\,} = 90^\circ ,$ do đó hai góc $B$ và $C$ là hai góc phụ nhau.

Do đó $\sin B = \cos C;\,\,\cos B = \sin C;\,\,\tan B = \cot C;\,\,\cot B = \tan C.$

Chọn A

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác $ABC$ vuông tại $C$, ta được:

$A{B^2} = A{C^2} + B{C^2} = {1^2} + {2^2} = 5.$ Suy ra $AB = \sqrt 5 {\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Vì tam giác $ABC$ vuông tại $C$ nên $\sin B = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{1}{{\sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt 5 }}{5};\,\,\cos B = \frac{{BC}}{{AB}} = \frac{2}{{\sqrt 5 }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}.$

Chọn B

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác $ABC$ vuông tại $C$, ta được:

$$B{C^2} = A{B^2} - A{C^2} = {1{,}5^2} - {1{,}2^2} = 0{,}81.$$

Suy ra $BC = 0{,}9{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Vì tam giác $ABC$ vuông tại $C$ nên $\tan B = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{1{,}2}}{{0{,}9}} = \frac{4}{3}.$

Chọn A

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác $DEF$ vuông tại $D$, ta được:

$D{F^2} = E{F^2} - D{E^2} = {\left( {\sqrt {10} } \right)^2} - {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} = 8.$ Suy ra $DF = 2\sqrt 2 {\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Vì tam giác $DEF$ vuông tại $D$ nên $\cot E = \frac{{DE}}{{DF}} = \frac{{\sqrt 2 }}{{2\sqrt 2 }} = \frac{1}{2}.$

Chọn D

⦁ Cách 1: Ta có: $I = \frac{{\sin 32^\circ }}{{\cos 58^\circ }} = \frac{{\sin \left( {90^\circ - 58^\circ } \right)}}{{\cos 58^\circ }} = \frac{{\cos 58^\circ }}{{\cos 58^\circ }} = 1.$

⦁ Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay:

Đầu tiên, ta đưa máy tính về chế độ “độ”, sau đó ấn liên tiếp các phím

$\boxed{\ \sin \ }\ \boxed{\ 3\ }\ \boxed{\ 2\ }\ \boxed{^{\circ}\ '\ "}\ \boxed{\ )\ }\ \boxed{\ \div \ }\ \boxed{\ \cos \ }\ \boxed{\ 5\ }\ \boxed{\ 8\ }\ \boxed{^{\circ}\ '\ "}\ \boxed{\ )\ }\ \boxed{\ =\ }$

Màn hình hiện lên kết quả: $1.$ Nghĩa là, $I = 1.$

Chọn C

⦁ Cách 1: Ta có: $J = \tan 76^\circ - \cot 14^\circ = \tan 76^\circ - \cot \left( {90^\circ - 76^\circ } \right) = \tan 76^\circ - \tan 76^\circ = 0.$

⦁ Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay:

Ta có: $\cot 14^\circ = \frac{1}{{\tan 14^\circ }}.$

Đầu tiên, ta đưa máy tính về chế độ “độ”, sau đó ấn liên tiếp các phím

$\boxed{\ \tan \ }\ \boxed{\ 7\ }\ \boxed{\ 6\ }\ \boxed{^{\circ}\ '\ "}\ \boxed{\ )\ }\ \boxed{\ -\ }\ \boxed{\ 1\ }\ \boxed{\ \div \ }\ \boxed{\ \tan \ }\ \boxed{\ 1\ }\ \boxed{\ 4\ }\ \boxed{^{\circ}\ '\ "}\ \boxed{\ )\ }\ \boxed{\ =\ }$

Màn hình hiện lên kết quả: $0.$ Nghĩa là, $J = 0.$

Chọn B

Đầu tiên, ta đưa máy tính về chế độ “độ”, sau đó ấn liên tiếp các phím

$\boxed{\text{SHIFT}}\ \boxed{\ \sin \ }\ \boxed{\ 0\ }\ \boxed{\ \cdot \ }\ \boxed{\ 7\ }\ \boxed{\ 5\ }\ \boxed{\ =\ }$

Màn hình hiện lên kết quả $48^\circ 35'25.36'',$ làm tròn đến độ ta được kết quả $49^\circ .$

Chọn A

Gọi $MNPQ$ là mảnh vườn hình chữ nhật và $\alpha$ là góc giữa đường chéo $NQ$ và chiều dài $MN$ của mảnh vườn hình chữ nhật.

Vì tam giác $MNQ$ vuông tại $M$ nên $\tan \alpha = \tan \widehat {MNQ} = \frac{{MQ}}{{MN}} = \frac{{10\sqrt 3 }}{{30}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}.$

Sử dụng máy tính cầm tay, chuyển máy tính về chế độ “độ”, sau đó ấn liên tiếp các phím

$\boxed{\text{SHIFT}}\ \boxed{\ \tan \ }\ \boxed{\ \sqrt{}}\ \boxed{\ 3\ }\ \boxed{\ ⊳\ }\ \boxed{\ \div \ }\ \boxed{\ 3\ }\ \boxed{\ =\ }$

Màn hình hiện lên kết quả: $30.$ Nghĩa là, $\alpha = 30^\circ .$

Do đó góc giữa đường chéo và chiều dài của mảnh vườn bằng $30^\circ .$

Chọn A

Ta mô hình hóa bài toán như hình vẽ trên.

Theo bài, máy bay đang ở độ cao $12$ km nên $AH = 12$ (km); đường bay từ $A$ đến $B$ của máy bay dài $320$ km nên $AB = 320$ (km).

Vì tam giác $AHB$ vuông tại $H$ nên $\sin \alpha = \sin \widehat {ABH} = \frac{{AH}}{{AB}} = \frac{{12}}{{320}} = \frac{3}{{80}}.$

Sử dụng máy tính cầm tay, chuyển máy tính về chế độ “độ”, sau đó ấn liên tiếp các phím

$\boxed{\text{SHIFT}}\ \boxed{\ \sin \ }\ \boxed{\ 3\ }\ \boxed{\ \div \ }\ \boxed{\ 8\ }\ \boxed{\ 0\ }\ \boxed{\ =\ }$

Ấn tiếp phím $\boxed{^{\circ}\ '\ "}$, ta thấy màn hình hiện lên kết quả: $2^\circ 8'56.74''.$

Khi làm tròn đến phút, ta được kết quả $\alpha = 2^\circ 9'.$

Chọn C

Giả sử bóng trên mặt đất của cột đèn và tia nắng mặt trời tạo nên một góc nghiêng $\alpha .$

Suy ra cùng lúc đó, bóng trên mặt đất của tòa nhà và tia nắng mặt trời cũng tạo nên một góc nghiêng $\alpha .$

Vì tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $\tan \alpha = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{7}{4}$ (1)

Vì tam giác $DEF$ vuông tại $E$ nên $\tan \alpha = \frac{{DE}}{{EF}} = \frac{{DE}}{{80}}$ (2)

Từ (1), (2), ta thu được $\frac{{DE}}{{80}} = \frac{7}{4}.$

Do đó $DE = \frac{7}{4} \cdot 80 = 140$ (m).

Như vậy, chiều cao của tòa nhà là $140$ m.

Vậy tòa nhà đó cao $140:2 = 70$ (tầng).

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có $\tan \alpha = \frac{{AC}}{{AB}}$ hay $\frac{5}{{12}} = \frac{{AC}}{6}$ nên $AC = \frac{5}{2}\;\left( {cm} \right)$

Áp dụng định lý Pythagore vào $\Delta ABC$ vuông tại $A$ ta có $A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}$

$\Rightarrow BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \frac{{13}}{2}\;\left( {cm} \right)$

a) Ta có $32^\circ + 58^\circ = 90^\circ$

$\Rightarrow \sin 32^\circ = \cos 58^\circ$

$\Rightarrow A = 1.$

b) $B = \tan 76^\circ - \cot 14^\circ$

$\Rightarrow \tan 76^\circ = \cot 14^\circ$

$\Rightarrow B = 0.$

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$, ta có:

$\sin B = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$ (tỉ số lượng giác của góc nhọn)

$$\Rightarrow \widehat B \approx 48^\circ 35'$$

Vậy góc giữa thang tre với mặt đất là $48^\circ 35'$.

Ta có $A{C^2} = B{C^2} - A{B^2} = {3{,}5^2} - {1{,}5^2} = 10 \Rightarrow AC = \sqrt {10}$.

Do đó $\cos B = \sin C = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{1{,}5}}{{3{,}5}} \approx 0{,}4286$

$$\begin{array}{l}\sin B = \cos C = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{\sqrt {10} }}{{3{,}5}} \approx 0{,}9035\\\cot B = \tan C = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{1{,}5}}{{\sqrt {10} }} \approx 0{,}4743\\\tan B = \cot C = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{\sqrt {10} }}{{1{,}5}} \approx 2{,}1082\end{array}$$

Xét$\Delta ABC$vuông tại$A$có

$\sin B = \frac{{AC}}{{BC}}$; $sinC = \frac{{AB}}{{BC}}$

$\frac{{\sin B}}{{\sin C}} = \frac{{AC}}{{BC}}:\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{AC}}{{AB}}$

Ta đặt $AB = m$ thì $BC = 2m$, suy ra

$A{C^2} = B{C^2} - A{B^2} = 4{m^2} - {m^2} = 3{m^2} \Rightarrow AC = m\sqrt 3$.

Ta có $\sin C = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{m}{{2m}} = \frac{1}{2};\cos C = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{m\sqrt 3 }}{{2m}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2};$

$\tan C = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{m}{{m\sqrt 3 }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }};\cot C = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{m\sqrt 3 }}{m} = \sqrt 3$.

Ta có $BH = HC = \frac{{BC}}{2} = 6:2 = 3$;

Xét tam giác AHB vuông tại H có

$\begin{array}{l}\quad A{B^2} = A{H^2} + H{B^2}\\ = > AB = \sqrt {{4^2} + {3^2}} = 5\end{array}$.

Do đó: O10-2024-GV154 $\sin B = \frac{{AH}}{{AB}} = \frac{4}{5} = 0{,}8$; $\cos B = \frac{{BH}}{{AB}} = \frac{3}{5} = 0{,}6;$

$\tan B = \frac{{AH}}{{AB}} = \frac{4}{3};$ $\cot B = \frac{{BH}}{{AH}} = \frac{3}{4} = 0{,}75.$

Kẻ đường cao $BH$ của $\Delta ABC$.

Khi đó ta có $H{C^2} = {(AC - AH)^2}$.

Áp dụng định lý Pythagore ta có

$\begin{array}{l}B{C^2} = B{H^2} + H{C^2} = B{H^2} + {(AC - AH)^2}\\ = B{H^2} + A{H^2} + A{C^2} - 2AC \cdot AH\\ = A{B^2} + A{C^2} - 2AC \cdot AH\end{array}$

Lại có $\widehat {BAC} = 60^\circ$

$\Rightarrow \cos 60^\circ = \frac{{AH}}{{AB}} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{{AH}}{{AB}}$ hay $AH = \frac{{AB}}{2}$

Vậy $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - AB \cdot AC.$

Ta có $A{C^2} = B{C^2} - A{B^2} = {3{,}5^2} - {1{,}5^2} = 10 \Rightarrow AC = \sqrt {10}$.

Do đó $\cos B = \sin C = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{1{,}5}}{{3{,}5}} \approx 0{,}4286$

$$\begin{array}{l}\sin B = \cos C = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{\sqrt {10} }}{{3{,}5}} \approx 0{,}9035\\\cot B = \tan C = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{1{,}5}}{{\sqrt {10} }} \approx 0{,}4743\\\tan B = \cot C = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{\sqrt {10} }}{{1{,}5}} \approx 2{,}1082\end{array}$$

Ta đặt $AB = m$ thì $BC = 2m$, suy ra

$A{C^2} = B{C^2} - A{B^2} = 4{m^2} - {m^2} = 3{m^2} \Rightarrow AC = m\sqrt 3$.

Ta có $\sin C = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{m}{{2m}} = \frac{1}{2};\cos C = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{m\sqrt 3 }}{{2m}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2};$

$\tan C = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{m}{{m\sqrt 3 }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }};\cot C = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{m\sqrt 3 }}{m} = \sqrt 3$.

Ta có $BH = HC = \frac{{BC}}{2} = 6:2 = 3$;

Xét tam giác AHB vuông tại H có

$\begin{array}{l}\quad A{B^2} = A{H^2} + H{B^2}\\ = > AB = \sqrt {{4^2} + {3^2}} = 5\end{array}$.

Do đó: O10-2024-GV154 $\sin B = \frac{{AH}}{{AB}} = \frac{4}{5} = 0{,}8$; $\cos B = \frac{{BH}}{{AB}} = \frac{3}{5} = 0{,}6;$

$\tan B = \frac{{AH}}{{AB}} = \frac{4}{3};$ $\cot B = \frac{{BH}}{{AH}} = \frac{3}{4} = 0{,}75.$

Kẻ đường cao AH và trung tuyến AM thì $AH \le AM = \frac{1}{2}BC \Rightarrow BC \ge 2AH;$

$\cot B = \frac{{BH}}{{AH}};\cot C = \frac{{CH}}{{AH}} \Rightarrow \cot B + \cot C = \frac{{BH}}{{AH}} + \frac{{CH}}{{AH}} = \frac{{BC}}{{AH}} \ge 2$

Kẻ AH$\bot BC\,(H \in BC)$. Khi đó:

$\sin B = \frac{{AH}}{c} \Rightarrow \sin B.\,c\, = \,AH\,v\`a \,\sin C\, = \,\frac{{AH}}{b} \Rightarrow \,\sin C\,.b\, = \,AH$

Từ đó ta có: O10-2024-GV154 $\sin B.c{\rm{ }} = {\rm{ }}\sin C.b$$\Rightarrow \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}.$

Tương tự kẻ đường cao BD của tam giác ABC (D$\in AC)$sẽ chứng minh được:

$\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} \Rightarrow \frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}$

Giả sử hai đường chéo $AC,BD$cắt nhau tại $I,\widehat {AIB} = \alpha$ là góc nhọn. Kẻ đường cao $AH$ của $\Delta ABD$và đường cao $CK$ của

Ta có $AH = AI\sin \alpha ,CK = CI\sin \alpha$.

Diện tích $\Delta ABD{\rm{ l\`a }}{S_{\Delta ABD}} = \frac{1}{2}BD \cdot AH$

Diện tích ${\rm{ }}\Delta CBD{\rm{ l\`a }}{S_{\Delta CBD}} = \frac{1}{2}BD \cdot CK$

Khi đó

${S_{ABCD}} = {S_{\Delta ABD}} + {S_{\Delta CBD}} = \frac{1}{2}BD(AH + CK)$

$\begin{array}{l} = \frac{1}{2}BD(AI + CI)\sin \alpha \\ = \frac{1}{2}BD.AC.\sin \alpha \end{array}$

a) Kẻ đường cao $AH$

$\Delta ABH$ vuông tại $H$, ta có: $\sin B = \frac{{AH}}{{AB}} \Rightarrow AH = c.\sin B$

$\Delta AHC$ vuông tại $H$, ta có: $\sin C = \frac{{AH}}{{AC}} \Rightarrow AH = b.\sin C$

Khi đó: $c.\sin B = b.\sin C \Rightarrow \frac{c}{{\sin C}} = \frac{b}{{\sin B}}$ $\left( 1 \right)$

Kẻ đường cao $BK$

Chứng minh tương tự, ta có: $c.\sin a = a.\sin C \Rightarrow \frac{c}{{\sin C}} = \frac{a}{{\sin A}}$ $\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$, ta có: $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}$ (đpcm).

b) Áp dụng tính chất tỉ lệ thức, ta có:$\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} \Rightarrow \frac{a}{{\sin A}} = \frac{{b + c}}{{\sin B + \sin C}}$

Đẳng thức $\sin A = \sin B + \sin C$ sảy ra khi $a = b + c$( vô lý)

Vậy đẳng thức: $\sin A = \sin B + \sin C$ không xảy ra.

$\Delta ABH \sim \Delta ACK\left( {g - g} \right) \Rightarrow \frac{{AH}}{{AK}} = \frac{{AB}}{{AC}} \Rightarrow \frac{{AH}}{{AB}} = \frac{{AK}}{{AC}}$

$\Rightarrow \Delta AHK \sim \Delta ABC\left( {c - g - c} \right)$

$\Rightarrow \frac{{{S_{AHK}}}}{{{S_{ABC}}}} = {\left( {\frac{{AH}}{{AB}}} \right)^2} = {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}A \Rightarrow {S_{AHK}} = {S_{ABC}}.{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}A = {S_{ABC}}.{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} = \frac{3}{4}{S_{ABC}}$ $\left( 1 \right)$

${S_{BCHK}} = {S_{ABC}} - {S_{AHK}} = {S_{ABC}} - \frac{3}{4}{S_{ABC}} = \frac{1}{4}{S_{ABC}}$ $\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$, ta có: ${S_{AHK}} = 3{S_{BCHK}}$ (đpcm).