30 câu Trắc nghiệm Toán 9 Cánh diều Bài 3. Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có đáp án

Chọn B

Cách 1. ⦁ Thay $x = - 11$ và $y = 8$ vào hệ phương trình đã cho, ta được: $\left\{ \begin{array}{l} - 11 + 8 = - 3 \ne 3\\ - 11 + 2 \cdot 8 = 5 \ne - 5\end{array} \right.$.

Do đó cặp số $\left( { - 11;\,\,8} \right)$ không là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 3\\x + 2y = - 5\end{array} \right.$.

⦁ Tương tự, ta thay lần lượt các cặp số ở phương án B, C, D vào hệ phương trình đã cho thì thấy rằng chỉ có cặp số $\left( {11;\,\, - 8} \right)$ là nghiệm của hệ phương trình đó.

Cách 2. Bấm máy tính.

Hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 3\\x + 2y = - 5\end{array} \right.$

Sử dụng máy tính cầm tay, ta lần lượt bấm các phím theo thứ tự:

$\boxed{\text{MODE}}\ \boxed{\ 5\ }\ \boxed{\ 1\ }\ \boxed{\ 1\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{\ 1\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{\ 3\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{\ 1\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{\ 2\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{\ -5\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{\ =\ }$

Trên màn hình hiện ra kết quả $x = 11$ ấn thêm phím ta thấy màn hình hiện kết quả $y = - 8$.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là $\left( {11; - 8} \right).$

Cách 3. Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\x + 2y = - 5\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$

Từ phương trình (1) ta có $x = 3 - y$.

Thế $x = 3 - y$ vào phương trình (2) ta được phương trình $3 - y + 2y = - 5$ hay $y = - 8$

Thay $y = - 8$ vào phương trình $x = 3 - y$, ta được $x = 3 - \left( { - 8} \right) = 3 + 8 = 11$.

Như vậy, hệ phương trình đã cho có nghiệm là $\left( {11; - 8} \right).$

Chọn B

Từ hệ phương trình đã cho, cách đơn giản nhất để thu được phương trình bậc nhất một ẩn bằng phương pháp cộng đại số là trừ từng vế của phương trình (1) cho phương trình (2).

Khi đó ta thu được $x + y - 2x - y = 5 - \left( { - 3} \right)$

Tức là $- x = 8$, đây là phương trình bậc nhất một ẩn.

Vậy ta chọn phương án B.

Chọn B

Xét phương trình $\left\{ \begin{array}{l} - 2x + 2y = - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\3x + y = 7\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$

Từ phương trình (2), ta có: $y = 7 - 3x.$

Chọn D

Từ hệ phương trình đã cho, cách đơn giản nhất để thu được phương trình bậc nhất một ẩn bằng phương pháp cộng đại số là nhân phương trình (2) với 4, ta được phương trình mới là $- 4x - 20y = 0,$ rồi cộng từng vế của phương trình này với phương trình (1).

Khi đó ta thu được $4x + \left( { - 4x} \right) + 7y + \left( { - 20y} \right) = 1 + 0$, tức là $- 13y = 1.$

Vậy ta chọn phương án D.

Chọn B

Khi tìm nghiệm (đúng hoặc gần đúng) của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng cách sử dụng máy tính cầm tay, trước tiên, ta cần mở chương trình giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

Khi đó ta ấn liên tiếp các phím: $\boxed{\text{MODE}}\ \boxed{\ 5\ }\ \boxed{\ 1\ }.$

Vậy ta chọn phương án B.

Chọn B

Vì hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}ax - 3y = 1\\x + by = - 5\end{array} \right.$ nhận cặp số $\left( {2;\,\, - 3} \right)$ là nghiệm nên ta thay $x = 2$ và $y = - 3$ vào hai phương trình của hệ đã cho, ta được: $\left\{ \begin{array}{l}a \cdot 2 - 3 \cdot \left( { - 3} \right) = 1\\2 + b \cdot \left( { - 3} \right) = - 5\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}2a = - 8\\ - 3b = - 7\end{array} \right.$ nên $\left\{ \begin{array}{l}a = - 4\\b = \frac{7}{3}\end{array} \right.$.

Vậy $a = - 4;$ $b = \frac{7}{3}$.

Chọn A

Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có: $3x + 3y + 2x - 2y = 6$ hay $5x + y = 6.$

Từ phương trình thứ hai của hệ ta có: $x + y + 3x - 3y = 4$ hay $4x - 2y = 4$ suy ra $2x - y = 2$.

Từ đó, ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}5x + y = 6\\2x - y = 2\end{array} \right..$

Sử dụng máy tính cầm tay, ta lần lượt bấm các phím theo thứ tự:

$\boxed{\text{MODE}}\ \boxed{\ 5\ }\ \boxed{\ 1\ }\ \boxed{\ 5\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{\ 1\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{\ 6\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{\ 2\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{\ -\ }\ \boxed{\ 1\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{\ 2\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{\ =\ }$

Trên màn hình hiện ra kết quả $x = \frac{8}{7},$ ấn thêm phím ta thấy màn hình hiện kết quả $y = \frac{2}{7}.$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là $\left( {\frac{8}{7};\,\,\frac{2}{7}} \right)$.

Chọn D

Cách 1. Sử dụng máy tính cầm tay, ta lần lượt bấm các phím theo thứ tự:

$\boxed{\text{MODE}}\ \boxed{\ 5\ }\ \boxed{\ 1\ }\ \boxed{\ 1\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{\ 1\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{\ 2\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{\ 2\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{\ -\ }\ \boxed{\ 5\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{\ 1\ }\ \boxed{\ 1\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{\ =\ }$

Trên màn hình hiện ra kết quả $x = 3,$ ấn thêm phím $\boxed{\ =\ }$ ta thấy màn hình hiện kết quả $y = - 1.$

Như vậy, hệ phương trình đã cho có nghiệm là $\left( {3;\,\, - 1} \right)$.

Khi đó, $x + y = 3 + \left( { - 1} \right) = 2$.

Cách 2. Xét hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\2x - 5y = 11\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$

Từ phương trình (1) ta có $x = 2 - y$.

Thế $x = 2 - y$ vào phương trình (2) ta được phương trình $2\left( {2 - y} \right) - 5y = 11$.

Giải phương trình:

$2\left( {2 - y} \right) - 5y = 11$

$4 - 2y - 5y = 11$

$- 7y = 7$

$y = - 1$

Thay $y = - 1$ vào phương trình $x = 2 - y$, ta được $x = 2 - \left( { - 1} \right) = 3$.

Như vậy, hệ phương trình đã cho có nghiệm là $\left( {3;\,\, - 1} \right).$

Khi đó, $x + y = 3 + \left( { - 1} \right) = 2$.

Chọn B

Cách 1. Sử dụng máy tính cầm tay, ta lần lượt bấm các phím theo thứ tự:

$\boxed{\text{MODE}}\ \boxed{\ 5\ }\ \boxed{\ 1\ }\ \boxed{\ 1\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{\ 3\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{\ 1\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{\ 2\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{\ -\ }\ \boxed{\ 1\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{\ -\ }\ \boxed{\ 5\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{\ =\ }$

Trên màn hình hiện ra kết quả $x = - 2,$ ấn thêm phím $\boxed{\ =\ }$ ta thấy màn hình hiện kết quả $y = 1.$

Như vậy, hệ phương trình đã cho có nghiệm là $\left( { - 2;\,\,1} \right)$.

Khi đó, ${x^3} + {y^3} = {\left( { - 2} \right)^3} + {1^3} = - 7$.

Cách 2. Xét hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + 3y = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\2x - y = - 5\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$

Từ (1) suy ra $x = 1 - 3y$. Thế $x = 1 - 3y$ vào (2) ta được phương trình $2\left( {1 - 3y} \right) - y = - 5$.

Giải phương trình:

$2\left( {1 - 3y} \right) - y = - 5$

$2 - 6y - y = - 5$

$- 7y = - 7$

$y = 1$.

Thay $y = 1$ vào phương trình $x = 1 - 3y$, ta được: $x = 1 - 3 \cdot 1 = - 2.$

Như vậy, hệ phương trình đã cho có nghiệm là $\left( { - 2;\,\,1} \right)$.

Khi đó, ${x^3} + {y^3} = {\left( { - 2} \right)^3} + {1^3} = - 7$.

Chọn A

Cách 1. Sử dụng máy tính cầm tay, ta lần lượt bấm các phím theo thứ tự:

$\boxed{\text{MODE}}\ \boxed{\ 5\ }\ \boxed{\ 1\ }\ \boxed{\ 3\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{\ 1\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{\ 1\ }\ \boxed{\ 9\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{\ 1\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{\ -\ }\ \boxed{\ 2\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{\ 4\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{\ =\ }$

Trên màn hình hiện ra kết quả $x = 6,$ ấn thêm phím $\boxed{\ =\ }$ ta thấy màn hình hiện kết quả $y = 1.$

Như vậy, hệ phương trình đã cho có nghiệm là $\left( {6;\,\,1} \right)$.

Khi đó, ${\left( {x - y} \right)^2} = {\left( {6 - 1} \right)^2} = {5^2} = 25.$

Cách 2. Xét hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}3x + y = 19\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\x - 2y = 4\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$

Từ phương trình (2) ta có $x = 4 + 2y$.

Thế $x = 4 + 2y$ vào phương trình (1) ta được phương trình $3\left( {4 + 2y} \right) + y = 19$.

Giải phương trình:

$3\left( {4 + 2y} \right) + y = 19$

$12 + 6y + y = 19$

$7y = 7$

$y = 1$

Thay $y = 1$ vào phương trình $x = 4 + 2y$, ta được: $x = 2 + 4 \cdot 1 = 6$.

Như vậy, hệ phương trình đã cho có nghiệm là $\left( {6;\,\,1} \right)$.

Khi đó, ${\left( {x - y} \right)^2} = {\left( {6 - 1} \right)^2} = {5^2} = 25.$

Chọn B

Từ phương trình thứ nhất của hệ, ta có $xy + x - y - 1 = xy - 2$ suy ra $x - y = - 1.$

Từ phương trình thứ nhất của hệ, ta có $xy - x + 2y - 2 = xy + 6$ suy ra $- x + 2y = 8.$

Khi đó, ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x - y = - 1\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\ - x + 2y = 8\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$

Sử dụng máy tính cầm tay, ta lần lượt bấm các phím theo thứ tự:

$\boxed{\text{MODE}}\ \boxed{\ 5\ }\ \boxed{\ 1\ }\ \boxed{\ 1\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{\ -\ }\ \boxed{\ 1\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{\ -\ }\ \boxed{\ 1\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{\ -\ }\ \boxed{\ 1\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{\ 2\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{\ 8\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{\ =\ }$

Trên màn hình hiện ra kết quả $x = 6,$ ấn thêm phím $\boxed{\ =\ }$ ta thấy màn hình hiện kết quả $y = 7.$

Như vậy, hệ phương trình đã cho có nghiệm là $\left( {6;\,\,7} \right)$.

Khi đó, ${x^2} + {y^2} = {6^2} + {7^2} = 85.$

Chọn C

Vì đồ thị hàm số $y = ax + b$ đi qua điểm $A\left( {1;\,\,13} \right)$ nên ta có $13 = a \cdot 1 + b$ hay $a + b = 13$.

Vì đồ thị hàm số $y = ax + b$ đi qua điểm $B\left( { - 5;\,\,1} \right)$ nên ta có $1 = a \cdot \left( { - 5} \right) + b$ hay $- 5a + b = 1$.

Khi đó, ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}a + b = 13\\ - 5a + b = 1\end{array} \right.$

Trừ từng vế của phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:

$6a = 12,$ suy ra $a = 2.$

Thay $a = 2$ vào phương trình $a + b = 13,$ ta được: $2 + b = 13$ nên $b = 11.$

Vậy $a = 2$ và $b = 11.$

Chọn B

Hệ phương trình cho điều kiện xác định là $x \ne 0$ và $y \ne 0.$

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ với 2 và nhân hai vế của phương trình thứ hai của hệ với 3, ta được hệ mới: $\left\{ \begin{array}{l}\frac{6}{x} + \frac{4}{y} = 14\\\frac{6}{x} - \frac{{15}}{y} = - 81\end{array} \right.$

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ mới, ta được:

$\frac{{19}}{y} = 95,$ suy ra $\frac{1}{y} = 5$ nên $y = \frac{1}{5}$ (thỏa mãn).

Thay $\frac{1}{y} = 5$ vào phương trình $\frac{3}{x} + \frac{2}{y} = 7$, ta được:

$\frac{3}{x} + 2 \cdot 5 = 7$ suy ra $\frac{3}{x} = - 3$ nên $x = - 1$ (thỏa mãn).

Như vậy, hệ phương trình đã cho có nghiệm là $\left( { - 1;\,\,\frac{1}{5}} \right)$.

Tổng bình phương của $x$ và $y$ là: ${\left( { - 1} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{5}} \right)^2} = \frac{{26}}{{25}} < 20$.

Vậy chỉ có 1 khẳng định đúng là (i). Ta chọn phương án B.

Chọn B

Cách 1. ⦁ Thay $m = 1$ vào hệ phương trình đã cho, ta được hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 3\\3x + 2y = 7\end{array} \right.$

Sử dụng máy tính cầm tay, ta lần lượt bấm các phím theo thứ tự:

$\boxed{\text{MODE}}\ \boxed{\ 5\ }\ \boxed{\ 1\ }\ \boxed{\ 2\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{\ 1\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{\ 3\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{\ 3\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{\ 2\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{\ 7\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{\ =\ }$

Trên màn hình hiện ra kết quả $x = - 1,$ ấn thêm phím $\boxed{\ =\ }$ ta thấy màn hình hiện kết quả $y = 5.$

Như vậy, hệ phương trình đã cho có nghiệm là $\left( { - 1;\,\,5} \right)$ và ta thấy $x \ne y$. Do đó trường hợp $m = 1$ không thỏa mãn yêu cầu đề bài.

⦁ Tương tự như trên, ta thay lần lượt các giá trị $m$ vào hệ phương trình đã cho, sau đó sử dụng máy tính cầm tay để tìm nghiệm của hệ phương trình nhận được, thì thấy rằng chỉ có $m = 2$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Vậy $m = 2.$

Cách 2. Thay $x = y$ vào hệ phương trình đã cho, ta được: $\left\{ \begin{array}{l}2y + y = 3\\\left( {2m + 1} \right)y + 2y = 7\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}3y = 3\\\left( {2m + 3} \right)y = 7\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array} \right.$

Với $3y = 3,$ ta có: $y = 1.$

Thay $y = 1$ vào phương trình (1), ta được:

$$\left( {2m + 3} \right) \cdot 1 = 7$$

$$2m + 3 = 7$$

$$2m = 4$$

$$m = 2.$$

Vậy $m = 2$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Cách 3. Xét hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\left( {2m + 1} \right)x + 2y = 7\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$

Từ phương trình (1) ta có: $y = 3 - 2x$.

Thế $y = 3 - 2x$ vào phương trình (2), ta được:

$$\left( {2m + 1} \right)x + 2\left( {3 - 2x} \right) = 7$$

$\left( {2m + 1} \right)x + 6 - 4x = 7$

$\left( {2m - 3} \right)x = 1\,\,\,\left( * \right)$

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì phương trình $\left( * \right)$ phải có nghiệm duy nhất, điều này xảy ra khi và chỉ khi $2m - 3 \ne 0$ hay $m \ne \frac{3}{2}$.

Khi đó giải phương trình $\left( * \right)$ ta được: $x = \frac{1}{{2m - 3}}$.

Thay $x = \frac{1}{{2m - 3}}$ vào phương trình $y = 3 - 2x$ ta được:

$y = 3 - 2 \cdot \frac{1}{{2m - 3}} = \frac{{6m - 9}}{{2m - 3}} - \frac{2}{{2m - 3}} = \frac{{6m - 11}}{{2m - 3}}$.

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất $x = y$ thì $\frac{1}{{2m - 3}} = \frac{{6m - 11}}{{2m - 3}}$.

Giải phương trình chứa ẩn $m$ ở mẫu:

$$\frac{1}{{2m - 3}} = \frac{{6m - 11}}{{2m - 3}}$$

$1 = 6m - 11$

$6m = 12$

$m = 2$ (thỏa mãn $m \ne \frac{3}{2})$

Vậy $m = 2$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Chọn C

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}mx + 2my = m + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\x + \left( {m + 1} \right)y = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$

Từ phương trình (2), ta có: $x = 2 - \left( {m + 1} \right)y.$

Thay $x = 2 - \left( {m + 1} \right)y$ vào phương trình (1), ta được:

$$m\left[ {2 - \left( {m + 1} \right)y} \right] + 2my = m + 1$$

$$2m - \left( {{m^2} + m} \right)y + 2my = m + 1$$

$$\left( { - {m^2} + m} \right)y = - m + 1$$

$$- m\left( {m - 1} \right)y = - \left( {m - 1} \right)$$

Để phương trình có nghiệm duy nhất thì $m \ne 0$ và $m \ne 1.$

Khi đó ta có $y = \frac{{ - \left( {m - 1} \right)}}{{ - m\left( {m - 1} \right)}} = \frac{1}{m}.$

Suy ra $x = 2 - \left( {m + 1} \right) \cdot \frac{1}{m} = \frac{{2m - m - 1}}{m} = \frac{{m - 1}}{m}.$

Vì vậy $A = x - y = \frac{{m - 1}}{m} - \frac{1}{m} = 1 - \frac{1}{m} - \frac{1}{m} = 1 - \frac{2}{m}.$

Với $m \in \mathbb{Z},$ để biểu thức $A$ nhận giá trị nguyên thì $\frac{2}{m}$ nhận giá trị nguyên.

Suy ra $m \in$Ư$\left( 2 \right) = \left\{ { - 2; - 1;1;2} \right\}.$

So với điều kiện $m \ne 0$ và $m \ne 1,$ ta nhận $m \in \left\{ { - 2; - 1;2} \right\}.$

Vậy có 3 giá trị của $m$ thỏa mãn yêu cầu đề bài, ta chọn phương án C

Chọn B

Để giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình, ta thực hiện như sau:

Bước 1. Lập hệ phương trình:

– Chọn ẩn số (thường chọn hai ẩn số) và đặt điều kiện thích hợp cho các ẩn số.

– Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

– Lập hệ phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2. Giải hệ phương trình vừa tìm được ở Bước 1.

Bước 3. Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm vừa tìm được của hệ phương trình, nghiệm nào thỏa mãn, nghiệm nào không thỏa mãn điều kiện của ẩn.

Bước 4. Kết luận.

Vậy để giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình, ta thực hiện các bước đã cho theo thứ tự (1), (3), (2), (4).

Chọn C

Khi lập hệ phương trình để giải bài toán cách lập hệ phương trình, ta thực hiện như sau:

– Chọn ẩn số (thường chọn hai ẩn số).

– Đặt điều kiện thích hợp cho các ẩn số.

– Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

– Lập hệ phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Vậy khi lập hệ phương trình để giải bài toán cách lập hệ phương trình, ta thực hiện các bước đã cho theo thứ tự (4), (2), (1), (3).

Chọn A

Khi giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình, kiểm tra điều kiện của nghiệm là kiểm tra xem trong các nghiệm vừa tìm được của hệ phương trình, nghiệm nào thỏa mãn, nghiệm nào không thỏa mãn điều kiện của ẩn.

Chọn B

Vì số cốc trà sữa và hồng trà nhóm học sinh đó đã mua là số tự nhiên nên ta có $x,y \in \mathbb{N}$ (1)

Vì nhóm học sinh đó mua tổng cộng 15 cốc trà sữa và hồng trà nên $x \le 15,y \le 15$ (2)

Từ (1), (2), ta thu được điều kiện của hai ẩn $x,y$ là $x,y \in \mathbb{N}$ và $x \le 15,y \le 15.$

Chọn D

Nửa chu vi của mảnh vườn hình chữ nhật là: $50:2 = 25{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$

Vì mảnh vườn hình chữ nhật có nửa chu vi $25{\rm{\;m}}$ nên ta có phương trình $x + y = 25.$

Chọn A

Xếp mỗi xe $15$ tấn thì còn thừa lại $5$ tấn, suy ra số hàng chở được là $15x$ tấn.

Do đó ta có phương trình $15x = y - 5$ hay $15x - y = - 5$ (1)

Xếp mỗi xe $16$ tấn thì chở được thêm $3$ tấn nữa, suy ra số hàng chở được là $16x$ tấn.

Do đó ta có phương trình $16x = y + 3$ hay $16x - y = 3$ (2)

Từ (1), (2), ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}15x - y = - 5\\16x - y = 3.\end{array} \right.$

Chọn B

Quãng đường $AB$ là $xy$ (km).

⦁ Nếu ô tô tăng vận tốc thêm $15$ km/h thì vận tốc của ô tô là $x + 15$ (km/h).

Khi đó ô tô đến $B$ sớm hơn dự định là $2$ giờ nên thời gian ô tô đi từ $A$ đến $B$ là $y - 2$ (giờ).

Vì vậy ta có phương trình $\left( {x + 15} \right)\left( {y - 2} \right) = xy$ hay $xy - 2x + 15y - 30 = xy.$

Tức là, $- 2x + 15y = 30$ (1)

⦁ Nếu ô tô giảm vận tốc đi $5$ km/h thì vận tốc của ô tô là $x - 5$ (km/h).

Khi đó ô đến $B$ muộn hơn dự định là $1$ giờ nên thời gian ô tô đi là $y + 1$ (giờ).

Vì vậy ta có phương trình $\left( {x - 5} \right)\left( {y + 1} \right) = xy$ hay $xy + x - 5y - 5 = xy.$

Tức là, $x - 5y = 5$ (2)

Từ (1), (2), ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} - 2x + 15y = 30\\x - 5y = 5.\end{array} \right.$

Chọn A

Nửa chu vi của sàn phòng hội trường là: $330:2 = 165$ (m)

Vì nửa chu vi của sàn phòng hội trường là $165$ m nên ta có phương trình $x + y = 165$ (1)

Vì sàn phòng hội trường có chiều dài hơn chiều rộng $3$ m nên ta có phương trình $x - y = 3$ (2)

Từ (1), (2), ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 165\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\x - y = 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$

Chọn B

Gọi chiều dài, chiều rộng của khu đất lần lượt là $x$ (m), $y$ (m).

Điều kiện: $x > y > 0.$

Nửa chu vi của khu đất là: $270:2 = 135$ (m)

Vì nửa chu vi của khu đất là $135$ m nên ta có phương trình $x + y = 135$ (1)

Vì khu đất có chiều dài gấp $5$ lần chiều rộng nên ta có phương trình $x = 5y$ (2)

Từ (1), (2), ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 135\\x = 5y.\end{array} \right.$

Như vậy chỉ có khẳng định (ii) là đúng.

Chọn D

Trong một ngày, người thứ nhất làm một mình được $\frac{1}{x}$ (công việc).

Trong một ngày, người thứ hai làm một mình được $\frac{1}{y}$ (công việc).

Trong một ngày, cả hai người làm được $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ (công việc).

Vì hai người cùng làm trong $6$ ngày thì xong công việc nên trong một ngày, cả hai người hoàn thành được $\frac{1}{6}$ công việc.

Do đó ta có phương trình $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}$ (1)

Vì người thứ nhất làm trong $3$ ngày và người hai làm trong $3 + 4 = 7$ ngày thì hoàn thành công việc nên ta có phương trình $\frac{3}{x} + \frac{7}{y} = 1$ (2)

Từ (1), (2), ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}\\\frac{3}{x} + \frac{7}{y} = 1.\end{array} \right.$

Chọn B

Theo kế hoạch hai tổ phải sản xuất $700$ sản phẩm, nên ta có phương trình $x + y = 700$ (1)

Vì tổ một vượt mức $15\%$ và tổ hai vượt mức $20\%$ nên cả hai tổ làm được $820$ sản phẩm nên ta có phương trình $\left( {100\% + 15\% } \right)x + \left( {100\% + 20\% } \right)y = 820$ hay $\frac{{23}}{{20}}x + \frac{6}{5}y = 820$ (2)

Từ (1), (2), ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 700\\\frac{{23}}{{20}}x + \frac{6}{5}y = 820.\end{array} \right.$

Chọn D

Gọi giá gốc của quyển từ điển và món đồ chơi lần lượt là $x,y$ (nghìn đồng).

Điều kiện: $0 < x,y < 750.$

Tổng số tiền của quyển từ điển và món đồ chơi là $750$ nghìn đồng, nên ta có phương trình $x + y = 750$ (1)

Do quyển từ điển được giảm $20\%$ và món đồ chơi được giảm $10\%$ nên Bình chỉ trả $630$ nghìn đồng. Khi đó ta có phương trình $\left( {100\% - 20\% } \right)x + \left( {100\% - 10\% } \right)y = 630$ hay $\frac{4}{5}x + \frac{9}{{10}}y = 630$ (2)

Từ (1), (2) ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 750\\\frac{4}{5}x + \frac{9}{{10}}y = 630.\end{array} \right.$

⦁ Khi nhân hai vế của phương trình thứ hai với 10, ta được hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 750\\8x + 9y = 6\,\,300.\end{array} \right.$

⦁ Khi nhân hai vế của phương trình thứ nhất với $\frac{4}{5}$, ta được hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\frac{4}{5}x + \frac{4}{5}y = 600\\\frac{4}{5}x + \frac{9}{{10}}y = 630.\end{array} \right.$

Do đó cả A, B, C đều đúng.

Chọn D

Gọi $x,y$ lần lượt là số dãy và số ghế trong một dãy $\left( {x \in {\mathbb{N}^*},\,\,y \in {\mathbb{N}^*}} \right).$

Vì phòng học có tất cả $200$ ghế nên ta có $xy = 200$ (1)

Nếu kê thêm $2$ dãy và mỗi dãy tăng thêm $1$ ghế thì kê được $242$ ghế nên ta có phương trình

$\left( {x + 2} \right)\left( {y + 1} \right) = 242$ hay $xy + x + 2y + 2 = 242$

Tức là, $xy + x + 2y = 240$ (2)

Thế $xy = 200$ vào phương trình (2), ta được $200 + x + 2y = 240$ hay $x + 2y = 40$ (3)

Từ (1), (3), ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}xy = 200\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\x + 2y = 40\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.$

Từ phương trình (3), ta có $x = 40 - 2y$ (*)

Thế (*) vào phương trình (1), ta được $\left( {40 - 2y} \right)y = 200$ hay $2{y^2} - 40y + 200 = 0.$

Giải phương trình:

$$2{y^2} - 40y + 200 = 0$$

$${y^2} - 20y + 100 = 0.$$

$${\left( {y - 10} \right)^2} = 0.$$

$$y - 10 = 0.$$

$y = 10$ (thỏa mãn điều kiện)

Với $y = 10$, ta có $x = 40 - 2y = 40 - 2.10 = 20$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy phòng học ban đầu có $20$ dãy ghế, mỗi dãy có $10$ ghế.

Chọn D

Gọi $x$ (triệu đồng) là giá niêm yết của máy hút ẩm và $y$ (triệu đồng) là giá niêm yết của quạt cây $\left( {0 < x < 9,\,\,0 < y < 9} \right).$

Tổng số tiền của máy hút ẩm và quạt cây là $9$ triệu đồng nên ta có phương trình $x + y = 9$ (1)

Khi máy hút ẩm được giảm $20\%$ so với giá niêm yết và quạt cây được giảm $10\%$ so với giá niêm yết thì số tiền được giảm giá là 1,6 triệu đồng nên ta có phương trình:

$20\% .x + 10\% .y = 1{,}6$ hay $\frac{1}{5}x + \frac{1}{{10}}y = 1{,}6$ (2)

Từ (1), (2), ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 9\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\frac{1}{5}x + \frac{1}{{10}}y = 1{,}6\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$

Từ phương trình (1), ta có $x = 9 - y$ (*)

Thế (*) vào phương trình (2), ta được $\frac{1}{5}\left( {9 - y} \right) + \frac{1}{{10}}y = 1{,}6$.

Giải phương trình:

$$\frac{1}{5}\left( {9 - y} \right) + \frac{1}{{10}}y = 1{,}6$$

$\frac{9}{5} - \frac{1}{5}y + \frac{1}{{10}}y = 1{,}6$.

$$- \frac{1}{{10}}y = - \frac{1}{5}$$

$y = 2$ (thỏa mãn điều kiện).

Thế $y = 2$ vào phương trình (*), ta được $x = 9 - y = 9 - 2 = 7$ (thỏa mãn điều kiện).

Vì vậy giá niêm yết của máy hút ẩm là $7$ triệu đồng và quạt cây là $2$ triệu đồng.

Do đó số tiền theo giá niêm yết bác Xuân phải trả cho siêu thị khi mua hai máy hút ẩm và ba cái quạt cây là: $2.7 + 3.2 = 20$ (triệu đồng).

Chọn B

Gọi chiều dài, chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật lần lượt là $x{\rm{\;(m)}},\,\,y{\rm{\;(m)}}$$\left( {x > y > 0,\,\,x > 1} \right).$

Vì chu vi của mảnh đất là $56{\rm{\;m}}$ nên ta có phương trình $2\left( {x + y} \right) = 56$ hay $x + y = 28$ (1)

Diện tích của mảnh đất ban đầu là $xy{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}$

Nếu tăng chiều rộng thêm $2{\rm{\;m}}$ và giảm chiều dài đi $1{\rm{\;m}}$ thì lúc này, chiều dài mảnh đất là $x - 1{\rm{\;(m)}}$ và chiều rộng mảnh đất là $y + 2{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$

Khi đó diện tích mảnh đất tăng thêm $18{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}$ nên ta có phương trình $\left( {x - 1} \right)\left( {y + 2} \right) = xy + 18$ hay $xy + 2x - y - 2 = xy + 18$.

Tức là, $2x - y = 20$ (2)

Từ (1), (2), ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 28\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\2x - y = 20\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$

Từ phương trình (2), ta có $y = 2x - 20$ (*)

Thế (*) vào phương trình (1), ta được:

$x + 2x - 20 = 28$ hay $3x = 48$, tức là, $x = 16$ (thỏa mãn điều kiện).

Thế $x = 16$ vào (*), ta được $y = 2 \cdot 16 - 20 = 12$ (thỏa mãn điều kiện).

Do đó chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đó lần lượt là $16{\rm{\;m}}$ và $12{\rm{\;m}}$.

Như vậy, diện tích mảnh đất đó bằng $16 \cdot 12 = 192{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}$