30 câu Trắc nghiệm Toán 10 chân trời sáng tạo Bài tập cuối chương IX có đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có I là trọng tâm của ∆ABC.

Do đó $\{\begin{matrix}{x}_{I}=\frac{{x}_{A}+{x}_{B}+{x}_{C}}{3}=\frac{-4+2+2}{3}=0 \\ {y}_{I}=\frac{{y}_{A}+{y}_{B}+{y}_{C}}{3}=\frac{1+4-2}{3}=1\end{matrix}$

Suy ra I(0; 1).

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: B

Ta có $\overrightarrow{u}\perp \overrightarrow{v}\Leftrightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0$

⇔ 4.3 + 5.a = 0

⇔ 12 + 5a = 0

⇔ 5a = –12

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: C

Với A(–1; 1), B(1; 3), C(5; 2) và D(x$_{D}$; y$_{D}$) ta có:

$\overrightarrow{AB}=({x}_{B}-{x}_{A};{y}_{B}-{y}_{A})=(1-(-1);3-1)=(2;2)\ \overrightarrow{DC}=({x}_{C}-{x}_{D};{y}_{C}-{y}_{D})=(5-{x}_{D};2-{y}_{D})\$

Tứ giác ABCD là hình bình hành ⇔ $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix}2=5-{x}_{D} \\ 2=2-{y}_{D}\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}{x}_{D}=3 \\ {y}_{D}=0\end{matrix}$

Ta suy ra tọa độ D(3; 0).

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: D

Ta có $AB=\sqrt{{({x}_{B}-{x}_{A})}^{2}+{({y}_{B}-{y}_{A})}^{2}}\ SuyraAB=\sqrt{{(x-6)}^{2}+{(9+1)}^{2}}=\sqrt{{(x-6)}^{2}+{10}^{2}}$

Theo đề, ta có AB = $5\sqrt{5}$

$\Leftrightarrow \sqrt{{(x-6)}^{2}+{10}^{2}}=5\sqrt{5}$

⇔ x$^{2}$ – 12x + 36 + 100 = 125

⇔ x$^{2}$ – 12x + 11 = 0

⇔ x = 11 hoặc x = 1.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: D

Với $\overrightarrow{a}=(1;2),\overrightarrow{b}=(-2;3)$ ta có:

+) $3\overrightarrow{a}=(3.1;3.2)=(3;6),2\overrightarrow{b}=(2.(-2);2.3)=(-4;6)$

Suy ra $\overrightarrow{u}=3\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}=(3-4;6+6)=(-1;12)$

$\overrightarrow{a}=(3;4),5\overrightarrow{b}=(5.(-2);5.3)=(-10;15)\ Suyra\overrightarrow{v}=\overrightarrow{a}-5\overrightarrow{b}=(3-(-10);4-15)=(13;-11)$

+ Với A(–3; 0), B(3; 0), C(2; 6) và H(a; b) ta có:

$\overrightarrow{BC}=(-1;6),\ \overrightarrow{AC}=(5;6)\ \overrightarrow{AH}=(a+3;b),\ \overrightarrow{BH}=(a-3;b)$

+ Vì H là trực tâm của ∆ABC nên AH ⊥ BC.

Suy ra $\overrightarrow{AH}\perp \overrightarrow{BC}$

Do đó $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0$

Khi đó ta có (a + 3).(–1) + 6b = 0

Vì vậy –a + 6b – 3 = 0 (1).

+ Vì H là trực tâm của ∆ABC nên BH ⊥ AC.

Suy ra $\overrightarrow{BH}\perp \overrightarrow{AC}$

Do đó $\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC}=0$

Khi đó ta có (a – 3).5 + 6b = 0

Vì vậy 5a + 6b – 15 = 0 (2).

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:

$\{\begin{matrix}-a+6b-3=0 \\ 5a+6b-15=0\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}a=2 \\ b=\frac{5}{6}\end{matrix}$

Vậy ta chọn phương án C.

Vì M là trung điểm AB nên $\{\begin{matrix}{x}_{M}=\frac{{x}_{A}+{x}_{B}}{2}=\frac{3+9}{2}=6 \\ {y}_{M}=\frac{{y}_{A}+{y}_{B}}{2}=\frac{5+7}{2}=6\end{matrix}$

Suy ra M(6; 6).

Vì N là trung điểm AC nên $\{\begin{matrix}{x}_{N}=\frac{{x}_{A}+{x}_{C}}{2}=\frac{3+11}{2}=7 \\ {y}_{N}=\frac{{y}_{A}+{y}_{C}}{2}=\frac{5-1}{2}=2\end{matrix}$

Suy ra N(7; 2).

Do đó ta có $\overrightarrow{MN}=({x}_{N}-{x}_{M};{y}_{N}-{y}_{M})=(7-6;2-6)=(1;-4)$

Vậy ta chọn phương án B.

Vì ∆ABC có AM là đường trung tuyến nên M là trung điểm BC.

Ta suy ra $\{\begin{matrix}{x}_{M}=\frac{{x}_{B}+{x}_{C}}{2}=\frac{4-3}{2}=\frac{1}{2} \\ {y}_{M}=\frac{{y}_{B}+{y}_{C}}{2}=\frac{5+2}{2}=\frac{7}{2}\end{matrix}$

Khi đó ta có $M(\frac{1}{2};\frac{7}{2})$

Với A(2; –1) và $M(\frac{1}{2};\frac{7}{2})$ ta có: $\overrightarrow{AM}=(-\frac{3}{2};\frac{9}{2})\Rightarrow \frac{2}{3}\overrightarrow{AM}=(-1;3)$

Đường thẳng AM có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}=(-1;3)$ nên đường thẳng AM nhận $\overrightarrow{n}=(3;1)$ làm vectơ pháp tuyến.

Đường thẳng AM đi qua A(2; –1), có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(3;1)$

Suy ra phương trình tổng quát của đường thẳng AM là:

3.(x – 2) + 1.(y + 1) = 0

⇔ 3x + y – 5 = 0.

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng (d): $\{\begin{matrix}x=1-2t \\ y=-3+5t\end{matrix}$

(d) có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(-2;5)$

Suy ra (d) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(5;2)$

(d) đi qua A(1; –3), có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(5;2)$ nên có phương trình tổng quát là:

5(x – 1) + 2(y + 3) = 0

⇔ 5x + 2y + 1 = 0.

Ta có M là giao điểm của (d) và (d’) nên tọa độ M là nghiệm của hệ phương trình:

$\{\begin{matrix}5{x}_{M}+2{y}_{M}+1=0 \\ 3{x}_{M}-2{y}_{M}-1=0\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}{x}_{M}=0 \\ {y}_{M}=-\frac{1}{2}\end{matrix}$

Khi đó ta có $M(0;-\frac{1}{2})$

Đáp án đúng là: B

• Ta xét phương án A:

d$_{1}$ có vectơ chỉ phương ${\overrightarrow{u}}_{1}=(1;-2)$

Suy ra d$_{1}$ có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_{1}=(2;1)$

d$_{2}$ có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_{2}=(2;1)$

Do đó ${\overrightarrow{n}}_{1}.{\overrightarrow{n}}_{2}=2.2+1.1=5\ne 0$

Khi đó ta có d$_{1}$ không vuông góc với d$_{2}$.

Vậy ta loại phương án A.

• Ta xét phương án B:

d$_{1}$ có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_{1}=(1;0)$

d$_{2}$ có vectơ chỉ phương ${\overrightarrow{u}}_{2}=(1;0)$

Suy ra d$_{2}$ có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_{2}=(0;1)$

Khi đó ta có ${\overrightarrow{n}}_{1}.{\overrightarrow{n}}_{2}=1.0+0.1=0$

Do đó ${\overrightarrow{n}}_{1}\perp {\overrightarrow{n}}_{2}$

Vì vậy d$_{1}$ ⊥ d$_{2}$.

Đến đây ta có thể chọn phương án B.

• Ta thực hiện tương tự như trên, ta loại phương án C, D.

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: A

• (d): x – 2y + 5 = 0 ⇔ 2y = x + 5 ⇔ $y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$

Do đó (d) có hệ số góc $k=\frac{1}{2}$

Vì vậy phương án A đúng.

• (d) và (d’) có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n}=(1;-2)và\overrightarrow{{n}^{'}}=(1;-2)$.

Ta có $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{{n}^{'}}$

Do đó (d) và (d’) song song hoặc trùng nhau.

Vì vậy phương án B sai.

• Thay tọa độ A(1; –2) vào phương trình (d), ta được:

1 – 2.(–2) + 5 = 10 ≠ 0.

Suy ra A(1; –2) không thuộc (d) hay (d) không đi qua A(1; –2).

Do đó phương án C sai.

• (d) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(1;-2)$ .

Suy ra (d) có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(2;1)$ .

Ở phương án D, ta có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a}=(1;-2)$ .

Ta có: 2.(–2) – 1.1 = –5 ≠ 0.

Suy ra không cùng phương với .

Do đó phương trình tham số ở đáp án D không phải là phương trình tham số của (d).

Vì vậy phương án D sai.

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: A

Đường cao BH: x – y + 2 = 0 có vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_{BH}=(1;-1)$ .

Vì BH là đường cao của ∆ABC nên BH ⊥ AC.

Suy ra vectơ pháp tuyến của BH là vectơ chỉ phương của AC.

Do đó vectơ chỉ phương của AC là ${\overrightarrow{u}}_{AC}={\overrightarrow{n}}_{BH}=(1;-1)$ .

Vì vậy AC có vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_{AC}=(1;1)$ .

Đường thẳng AC đi qua C(–1; 2), có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_{AC}=(1;1)$

Suy ra phương trình AC: 1(x + 1) + 1(y – 2) = 0.

⇔ x + y – 1 = 0.

Ta có A là giao điểm của AC và AN.

Do đó tọa độ của điểm A là nghiệm của hệ phương trình:

$\{\begin{matrix}x+y-1=0 \\ 2x-y+5=0\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x=\frac{-4}{3} \\ y=\frac{7}{3}\end{matrix}$

Khi đó ta có $A(\frac{-4}{3};\frac{7}{3})$

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: C

Ta có

$2\overrightarrow{c}+\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow 2\overrightarrow{c}=3\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\ \Leftrightarrow \overrightarrow{c}=\frac{3}{2}\overrightarrow{b}-\frac{1}{2}\overrightarrow{a}\ Với\overrightarrow{a}=(1;2)và\overrightarrow{b}=(-1;3)tacó:\ \$

$\frac{3}{2}\overrightarrow{b}=(\frac{3}{2}.(-1);\frac{3}{2}.3)=(-\frac{3}{2};\frac{9}{2})\ \frac{1}{2}\overrightarrow{a}=(\frac{1}{2}.1;\frac{1}{2}.2)=(\frac{1}{2};1)\ Suyra\overrightarrow{c}=\frac{3}{2}\overrightarrow{b}-\frac{1}{2}\overrightarrow{a}=(-\frac{3}{2}-\frac{1}{2};\frac{9}{2}-1)=(-2;\frac{7}{2})$

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: D

Với A(2; 4), B(–2; 10) và D(k; k + 1) ta có:

$\overrightarrow{AB}=({x}_{B}-{x}_{A};\ {y}_{B}-{y}_{A})=(-2-2;10-4)=(-4;6)\ \overrightarrow{AD}=({x}_{D}-{x}_{A};\ {y}_{D}-{y}_{A})=(k-2;k+1-4)=(k-2;k-3)$

Theo đề, ta có điểm D(k; k + 1) thuộc đường thẳng AB.

Tức là cùng phương

⇔ –4.(k – 3) – 6.(k – 2) = 0

⇔ –4k + 12 – 6k + 12 = 0

⇔ 10k = 24

⇔ k = 12/5

Vậy ta chọn phương án D.

Với A(–1; 2). B(2; 1) ta có:

$\overrightarrow{AB}=(3;-1)\Rightarrow AB=\sqrt{{3}^{2}+{(-1)}^{2}}=\sqrt{10}$

Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}=(3;-1)$ nên đường thẳng AB nhận $\overrightarrow{n}=(1;3)$ làm vectơ pháp tuyến.

Đường thẳng AB đi qua B(2; 1), có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(1;3)$ nên có phương trình tổng quát là:

1.(x – 2) + 3.(y – 1) = 0 ⇔ x + 3y – 5 = 0.

Vì C ∈ d nên ta có x$_{C}$ + 2y$_{C}$ – 3 = 0.

Suy ra x$_{C}$ = 3 – 2y$_{C}$

Khi đó ta có C(3 – 2y$_{C}$; y$_{C}$)

Gọi CH là đường cao của ∆ABC.

Ta suy ra CH = d(C, AB) = $\frac{|3-2{y}_{C}+3{y}_{C}-5|}{\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}}=\frac{|{y}_{C}-2|}{\sqrt{10}}$

Ta có S$_{∆ABC}$ = 2.

⇔ |y$_{C}$ – 2| = 4

⇔ y$_{C}$ – 2 = 4 hoặc y$_{C}$ – 2 = –4.

⇔ y$_{C}$ = 6 hoặc y$_{C}$ = –2.

• Với y$_{C}$ = 6, ta có: x$_{C}$ = 3 – 2y$_{C}$ = 3 – 2.6 = –9.

Suy ra C(–9; 6).

• Với y$_{C}$ = –2, ta có: x$_{C}$ = 3 – 2y$_{C}$ = 3 – 2.( –2) = 7.

Suy ra C(7; –2).

Vậy có hai điểm C thỏa mãn yêu cầu bài toán là C(–9; 6), C(7; –2).

Do đó ta chọn phương án D.

Gọi A(x; y) là giao điểm của hai đường thẳng d$_{1}$ và d$_{2}$.

Khi đó tọa độ A là nghiệm của hệ phương trình:

$\{\begin{matrix}2x+y-3=0 \\ x-2y+1=0\end{matrix}\Leftrightarrow x=y=1$

Suy ra A(1; 1).

Gọi $\overrightarrow{n}=(a;b)$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆.

d$_{3}$ có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_{3}=(0;1)$ .

Theo đề, ta có (∆, d$_{3}$) = $\frac{π}{4}$ .

Suy ra $|\cos (\overrightarrow{n},{\overrightarrow{n}}_{3})|=\cos \frac{π}{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\Leftrightarrow \frac{|0.a+1.b|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}.\sqrt{{0}^{2}+{1}^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\ \Leftrightarrow \sqrt{2}.|b|=\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$

⇔ 2b$^{2}$ = a$^{2}$ + b$^{2}$

⇔ a$^{2}$ = b$^{2}$

⇔ a = b hoặc a = –b.

• Với a = b: Chọn a = b = 1, ta được .

Đường thẳng ∆ đi qua A(1; 1), có vectơ pháp tuyến nên có phương trình tổng quát là:

1(x – 1) + 1(y – 1) = 0 ⇔ x + y – 2 = 0.

• Với a = –b: Chọn b = –1, ta suy ra a = 1.

Khi đó ta có $\overrightarrow{n}=(1;-1)$ .

Đường thẳng ∆ đi qua A(1; 1), có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(1;-1)$ nên có phương trình tổng quát là:

1(x – 1) – 1(y – 1) = 0 ⇔ x – y = 0.

Vậy có hai đường thẳng ∆ thỏa mãn yêu cầu bài toán có phương trình là:

x + y – 2 = 0; x – y = 0.

Do đó ta chọn phương án C.

Đường tròn (C) có tâm I(–1; 0), bán kính R = $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ .

Vậy ta chọn phương án C.

Ta có 2x$^{2}$ + 2y$^{2}$ – 8x + 4y – 1 = 0.

Suy ra x$^{2}$ + y$^{2}$ – 4x + 2y – 1/2 = 0.

Phương trình (C) có dạng: x$^{2}$ + y$^{2}$ – 2ax – 2by + c = 0, với a = 2, b = –1, c = -1/2.

Suy ra tâm I(2; –1).

Ta có R$^{2}$ = a$^{2}$ + b$^{2}$ – c = $4+1+\frac{1}{2}=\frac{11}{2}$ .

Suy ra $R=\sqrt{\frac{11}{2}}=\frac{\sqrt{22}}{2}$

Do đó ta chọn phương án B.

Với I(–2; 3) và M(2; –3) ta có $\overrightarrow{IM}=(4;-6)$ .

Đường tròn (C) có tâm I(–2; 3) và đi qua điểm M(2; –3) nên bán kính là:

$R=IM=\sqrt{{4}^{2}+{(-6)}^{2}}=2\sqrt{13}$

Phương trình đường tròn (C) là: (x + 2)$^{2}$ + (y – 3)$^{2}$ = 52.

Û x$^{2}$ + y$^{2}$ + 4x – 6y – 39 = 0.

Vậy ta chọn phương án D.

Phương trình đã cho có dạng x$^{2}$ + y$^{2}$ – 2ax – 2by + c = 0, với a = m, b = 2(m – 2), c = 6 – m.

Ta có a$^{2}$ + b$^{2}$ – c = m$^{2}$ + 4(m$^{2}$ – 4m + 4) – 6 + m = 5m$^{2}$ – 15m + 10.

Để phương trình đã cho là phương trình đường tròn thì a$^{2}$ + b$^{2}$ – c > 0.

Nghĩa là 5m$^{2}$ – 15m + 10 > 0

⇔ m < 1 hoặc m > 2.

Vậy m ∈ (–∞; 1) ∪ (2; +∞) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Do đó ta chọn phương án B.

Gọi I(a; b) là tâm của đường tròn (C).

Ta có I ∈ d.

Suy ra a + 3b + 8 = 0 ⇔ a = –3b – 8.

Ta có đường tròn (C) đi qua điểm A(–2; 1) nên AI = R (1).

Lại có đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng ∆ nên d(I, ∆) = R (2).

Từ (1), (2), ta suy ra IA = d(I, ∆).

$\Leftrightarrow \sqrt{{(a+2)}^{2}+{(b-1)}^{2}}=\frac{|3a-4b+10|}{\sqrt{{3}^{2}+{(-4)}^{2}}}\ \Leftrightarrow \sqrt{{(-3b-8+2)}^{2}+{(b-1)}^{2}}=\frac{|3(-3b-8)-4b+10|}{\sqrt{{3}^{2}+{(-4)}^{2}}}\ \Leftrightarrow 5\sqrt{{(-3b-6)}^{2}+{(b-1)}^{2}}=|-13b-14|$

⇔ 25(9b$^{2}$ + 36b + 36 + b$^{2}$ – 2b + 1) = 169b$^{2}$ + 364b + 196

⇔ 81b$^{2}$ + 486b + 729 = 0

⇔ b = –3.

Với b = –3, ta có a = –3b – 8 = –3.(–3) – 8 = 1.

Khi đó ta có I(1; –3).

R = AI = $\sqrt{{(1+2)}^{2}+{(-3-1)}^{2}}=5$

Vậy phương trình đường tròn (C) là: (x – 1)$^{2}$ + (y + 3)$^{2}$ = 25.

Vậy ta chọn phương án D.

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC.

Vì M là trung điểm AB nên ta có $\{\begin{matrix}{x}_{M}=\frac{{x}_{A}+{x}_{B}}{2}=\frac{0+2}{2}=1 \\ {y}_{M}=\frac{{y}_{A}+{y}_{B}}{2}=\frac{4+4}{2}=4\end{matrix}$

Suy ra M(1; 4).

Tương tự, ta có N(3; 2).

Đường trung trực ∆$_{1}$ của đoạn thẳng AB đi qua điểm M(1; 4) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{AB}=(2;0)$

Suy ra phương trình ∆$_{1}$ là: 2(x – 1) + 0(y – 4) = 0 ⇔ x – 1 = 0.

Tương tự, ta có phương trình đường trung trực ∆$_{2}$ của đoạn thẳng BC đi qua điểm N(3; 2) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{BC}=(2;-4)$ là:

2(x – 3) – 4(y – 2) = 0 Û x – 2y + 1 = 0.

Vì IA = IB = IC = R nên I cách đều ba điểm A, B, C.

Do đó I nằm trên đường trung trực ∆$_{1}$ và I cũng nằm trên đường trung trực ∆$_{2}$.

Hay I là giao điểm của ∆$_{1}$ và ∆$_{2}$.

Khi đó tọa độ I là nghiệm của hệ phương trình:

$\{\begin{matrix}x-1=0 \\ x-2y+1=0\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x=1 \\ y=1\end{matrix}$

Suy ra tọa độ tâm I(1; 1).

Vậy ta chọn phương án D.

Gọi ∆ là tiếp tuyến cần tìm.

Phương trình đường tròn (C) có dạng: x$^{2}$ + y$^{2}$ – 2ax – 2by + c = 0, với a = –2, b = –2, c = –17.

Suy ra tâm I(–2; –2), bán kính R = $\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}-c}=\sqrt{{(-2)}^{2}+{(-2)}^{2}+17}=5$

Vì ∆ // d nên phương trình ∆ có dạng: 3x – 4y + d = 0 (d ≠ –2023).

Ta có ∆ là tiếp tuyến của (C).

Suy ra d(I, ∆) = R.

$\Leftrightarrow \frac{|3.(-2)-4.(-2)+d|}{\sqrt{{3}^{2}+{(-4)}^{2}}}=5$

⇔ |d + 2| = 25

⇔ d + 2 = 25 hoặc d + 2 = –25

⇔ d = 23 (nhận) hoặc d = –27 (nhận).

Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa yêu cầu bài toán có phương trình là: 3x – 4y + 23 = 0 và 3x – 4y – 27 = 0.

Do đó ta chọn phương án A.

Gọi ∆ là tiếp tuyến cần tìm.

Đường tròn (C) có tâm I(2; –4), bán kính R = 5.

Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_{d}=(3;-4)$

Theo đề, ta có ∆ ⊥ d nên ∆ nhận vectơ pháp tuyến của d làm vectơ chỉ phương.

Do đó ∆ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}={\overrightarrow{n}}_{d}=(3;-4)$

Khi đó ∆ có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_{Δ}=(4;3)$

Vì vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng ∆: 4x + 3y + c = 0.

Vì ∆ là tiếp tuyến của đường tròn (C) nên d(I, ∆) = R.

$\Leftrightarrow \frac{|4.2+3.(-4)+c|}{\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}}=5$

⇔ |c – 4| = 25

⇔ c – 4 = 25 hoặc c – 4 = –25

⇔ c = 29 hoặc c = –21.

Vậy ∆: 4x + 3y + 29 = 0 hoặc ∆: 4x + 3y – 21 = 0.

Do đó ta chọn phương án D.

Ta viết phương trình d$_{1}$:

Ta có 3$^{2}$ + 2$^{2}$ – 2.3 – 4.2 + 1 = 0 (đúng).

Do đó điểm M ∈ (C).

Phương trình đường tròn (C) có dạng: x$^{2}$ + y$^{2}$ – 2ax – 2by + c = 0, với a = 1, b = 2, c = 1.

Suy ra tâm I(1; 2), bán kính R = $\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}-c}=\sqrt{1+4-1}=2$ .

Phương trình d$_{1}$ là: (1 – 3)(x – 3) + (2 – 2)(y – 2) = 0

⇔ –2(x – 3) = 0 ⇔ x – 3 = 0.

Tương tự, ta viết phương trình d$_{2}$:

Ta có 1$^{2}$ + 0$^{2}$ – 2.1 – 4.0 + 1 = 0 (đúng).

Do đó N ∈ (C).

Phương trình d$_{2}$ là: (1 – 1)(x – 1) + (2 – 0)(y – 0) = 0

⇔ y = 0.

Gọi A là giao điểm của d$_{1}$ và d$_{2}$.

Suy ra tọa độ A là nghiệm của hệ phương trình:

$\{\begin{matrix}x-3=0 \\ y=0\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x=3 \\ y=0\end{matrix}$

Khi đó ta có tọa độ A(3; 0).

Vậy ta chọn phương án A.

Khoảng cách ngắn nhất giữa người đó và trạm viễn thông A chính là khoảng cách từ A đến đường thẳng ∆. Khi đó ta có:

$d(A,Δ)=\frac{|2-5.3+6|}{\sqrt{{1}^{2}+{(-5)}^{2}}}=\frac{7\sqrt{26}}{26}\approx 1{,}37$(km).

Vậy ta chọn phương án C.

(E): $\frac{{x}^{2}}{121}+\frac{{y}^{2}}{81}=1$ nên ta có a = 11, b = 9.

Suy ra $c=\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}=\sqrt{121-81}=2\sqrt{10}$

Ta có tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn là: $\frac{2c}{2a}=\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{10}}{11}$

Vậy ta chọn phương án C.

Hypebol $\frac{{x}^{2}}{144}-\frac{{y}^{2}}{16}=1$ nên ta có a = 12, b = 4.

Suy ra $c=\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}=\sqrt{144+16}=4\sqrt{10}$

Quan sát hình vẽ, ta thấy đỉnh gương là vị trí A$_{2}$.

Suy ra A$_{2}$(12; 0).

Vì $c=4\sqrt{10}$ nên ta có tọa độ các tiêu điểm ${F}_{1}(-4\sqrt{10};0)và{F}_{2}(4\sqrt{10};0)$ và .

Khoảng cách từ ống kính tới đỉnh gương là:

F$_{1}$A$_{2}$ = F$_{1}$O + OA$_{2}$ = $|-4\sqrt{10}|+|12|=4\sqrt{10}+12\approx 24{,}6$ (inch).

Do đó ta chọn phương án A.

Gọi r là bán kính đáy của tháp (r > 0).

Do tính đối xứng của hypebol nên ta có hai bán kính của nóc và đáy tháp đều bằng nhau.

Chọn điểm M(r; –25) nằm trên hypebol.

Ta suy ra

$\frac{{r}^{2}}{36}-\frac{{(-25)}^{2}}{49}=1\ \Leftrightarrow \frac{{r}^{2}}{36}=1+\frac{{(-25)}^{2}}{49}=\frac{674}{49}\ \Leftrightarrow {r}^{2}=\frac{674}{49}.36=\frac{24264}{49}\ Suyrar=\frac{6\sqrt{674}}{7}\approx 22{,}25$

Vậy bán kính đáy của tháp bằng khoảng 22,25 m.

Do đó ta chọn phương án B.

Phương trình parabol có dạng y$^{2}$ = 2px, với p = 10.

Suy ra $\frac{p}{2}=\frac{10}{2}=5$

Khi đó tọa độ tiêu điểm F(5; 0).

Vậy ta sẽ đặt ống thu tại điểm có tọa độ (5; 0).

Do đó ta chọn phương án D.