30 câu Trắc nghiệm Toán 10 Cánh Diều Ôn tập chương 4 có đáp án

Đáp án đúng là: C

Theo định lí hàm cosin, ta có: $\cos \widehat{A}=\frac{A{B}^{2}+A{C}^{2}-B{C}^{2}}{2AB.AC}=\frac{{5}^{2}+{8}^{2}-{7}^{2}}{2.5.8}=\frac{1}{2}$ .

Do đó,$\widehat{A}=60^{\circ}$ .

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\widehat{ABC}={180}^{0}-(\widehat{BAC}+\ \widehat{ACB})=75^{\circ}=\ \widehat{ACB}\text{.}$

Suy ra tam giác ABC cân tại A nên $AB=AC=4$

Diện tích tam giác ABC là ${S}_{ΔABC}=\frac{1}{2}AB.AC\sin \widehat{BAC}=4$ (đơn vị diện tích)

Đáp án đúng là: B

Đó là các vectơ: $\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{BA},\ \overrightarrow{BC},\ \overrightarrow{CB},\ \overrightarrow{CA},\ \overrightarrow{AC}.$

Đáp án đúng là: B

Đó là các vectơ: $\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{BA},\ \overrightarrow{DE},\ \overrightarrow{ED},\ \overrightarrow{FC},\ \overrightarrow{CF}$ .

Đáp án đúng là: B

Theo định lí hàm cosin, ta có:

$A{B}^{2}=A{C}^{2}+B{C}^{2}-2.AC.BC.\cos \widehat{C}$

$\Rightarrow {(\sqrt{2})}^{2}={(\sqrt{3})}^{2}+B{C}^{2}-2.\sqrt{3}.BC.\cos 45^{\circ}$

- $\Rightarrow B{C}^{2}-\sqrt{6}$.BC + 1 = 0

$\Rightarrow BC=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$.

Đáp án đúng là: C

Vì $AB=BC\Leftrightarrow |\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{BC}|.$

Đáp án đúng là: C

Áp dụng định lý hàm số cosin, ta có:

$B{C}^{2}=A{B}^{2}+A{C}^{2}-2AB.AC\cos A=27\Rightarrow BC=3\sqrt{3}$ (đơn vị độ dài).

Ta có: ${S}_{ΔABC}=\frac{1}{2}.AB.AC.\sin \widehat{A}=\frac{1}{2}.3.6.\sin {60}^{0}=\frac{9\sqrt{3}}{2}$ (đơn vị diện tích).

Lại có ${S}_{ΔABC}=\frac{1}{2}.BC.{h}_{a}\Rightarrow {h}_{a}=\frac{2S}{BC}=3$ (đơn vị độ dài).

Đáp án đúng là: D

Ta có : $\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{b}$ . Do đó, $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng phương, cùng độ dài và ngược hướng nhau.

Đáp án đúng là : A

Ta có:

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\Rightarrow \{\begin{matrix}AB\parallel CD \\ AB=CD\end{matrix}\Rightarrow ABDC$ là hình bình hành.

Mặt khác, ABCD là hình bình hành $\Rightarrow \{\begin{matrix}AB\parallel CD \\ AB=CD\end{matrix}$ và $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{DC}$ cùng hướng $\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ .

Do đó, điều kiện cần và đủ để $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ là ABCD là hình bình hành.

Đáp án đúng là: A

Do ABCD là hình thoi, có $\widehat{BAD}=60^{\circ}\Rightarrow \widehat{ABC}=120^{\circ}$ .

Theo định lí hàm cosin, ta có:

$A{C}^{2}=A{B}^{2}+B{C}^{2}-2.AB.BC.\cos \widehat{ABC}$

$\Rightarrow {1}^{2}+{1}^{2}-2.1.1.\cos 120^{\circ}=3\Rightarrow AC=\sqrt{3}$

Đáp án đúng là: C

Dựa vào các đáp án, ta có nhận xét sau:

- Gọi C nằm trên tia đối của tia AO sao cho

$OC=3\ OA$$\Rightarrow 3\ \overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OC}.$

Và D nằm trên tia đối của tia BO sao cho

$OD=4\ OB$$\Rightarrow 4\ \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OD}.$

Dựng hình chữ nhật OCED suy ra $\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OE}$ (quy tắc hình bình hành).

Ta có: $|3\overrightarrow{OA}+4\overrightarrow{OB}|=|\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}|=|\overrightarrow{OE}|=OE=CD=\sqrt{O{C}^{2}+O{D}^{2}}=5a.$

Do đó, A đúng

- B đúng, vì $|2\ \overrightarrow{OA}|+|3\ \overrightarrow{OB}|=2|\overrightarrow{OA}|+3|\overrightarrow{OB}|=2a+3a=5a.$

- D đúng, vì $|11\ \overrightarrow{OA}|-|6\ \overrightarrow{OB}|=11|\overrightarrow{OA}|-6|\overrightarrow{OB}|=11a-6a=5a.$

Vậy chỉ còn đáp án C.

Đáp án đúng là : A

Tam giác ABC cân ở A, đường cao AH. Do đó, H là trung điểm BC (tính chất tam giác cân).

Ta có:

- $AB=AC\Rightarrow |\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AC}|$ . Do đó, B đúng.

- H là trung điểm $BC\Rightarrow \{\begin{matrix}\overrightarrow{HC}=-\overrightarrow{HB} \\ \overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{HC}\end{matrix}$ . Do đó, C, D đúng.

Đáp án đúng là: C

Ta có : $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN}$ và $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CN}.$

Suy ra $3\ \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN}+2(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CN})$

$=(\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB})+\overrightarrow{AD}+2\overrightarrow{BC}+(\overrightarrow{DN}+2\overrightarrow{CN}).$

Theo bài ra, ta có: $\overrightarrow{MA}+2\ \overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{DN}+2\ \overrightarrow{CN}=\overrightarrow{0}.$ Thật vậy:

$3\ \overrightarrow{AM}=2\ \overrightarrow{AB}\Leftrightarrow 3\overrightarrow{AM}=2(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB})$

$\Leftrightarrow 3\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AM}+2\overrightarrow{MB}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MB}$

$\Leftrightarrow 2\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{AM}=0$

$\Leftrightarrow 2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MA}=0$

$3\ \overrightarrow{DN}=2\ \overrightarrow{DC}\Leftrightarrow 3\ \overrightarrow{DN}=2(\overrightarrow{DN}+\overrightarrow{NC})$

$\Leftrightarrow 3\ \overrightarrow{DN}=2\overrightarrow{DN}+2\overrightarrow{NC}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{DN}=2\overrightarrow{NC}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{DN}-2\overrightarrow{NC}=0$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{DN}+2\overrightarrow{CN}=0$

Vậy $3\ \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AD}+2\ \overrightarrow{BC}\Leftrightarrow \overrightarrow{MN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}.$

Đáp án đúng là: D

Áp dụng quy tắc 3 điểm cho A, B, D ta có: $\overrightarrow{AD}$ - $\overrightarrow{AB}$ = $\overrightarrow{BD}$ .

Đáp án đúng là: C

Theo định lí hàm cosin, ta có:

$\cos \widehat{BAC}=\frac{A{B}^{2}+A{C}^{2}-B{C}^{2}}{2.AB.AC}=-\frac{1}{2}$

$\Rightarrow \widehat{BAC}=120^{\circ}\Rightarrow \widehat{BAD}=60^{\circ}$

$\cos \widehat{ABC}=\frac{A{B}^{2}+B{C}^{2}-A{C}^{2}}{2.AB.BC}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \widehat{ABC}=45^{\circ}$

Trong $ΔABD$ có $\widehat{BAD}=60^{\circ},\ \widehat{ABD}=45^{\circ}\Rightarrow \widehat{ADB}=75^{\circ}$ .

Đáp án đúng là: C

Xét các đáp án ta thấy cần phân tích vectơ $\overrightarrow{DM}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{DC}$ và $\overrightarrow{BC}.$

Vì ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}.$

Và M là trung điểm AB nên $2\ \overrightarrow{DM}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}$

$\Leftrightarrow 2\ \overrightarrow{DM}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}$

$\Leftrightarrow 2\ \overrightarrow{DM}=2\ \overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}.$

$\Leftrightarrow 2\ \overrightarrow{DM}=-\ 2\ \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DC}$ suy ra $\overrightarrow{DM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{BC}.$

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\{\begin{matrix}MN\parallel PQ \\ MN=PQ\end{matrix}$ (do cùng song song và bằng $\frac{1}{2}AC$ ).

Do đó MNPQ là hình bình hành.

Vì MNPQ là hình bình hành nên $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{QP};$$|\overrightarrow{QP}|=|\overrightarrow{MN}|;$$\overrightarrow{MQ}=\overrightarrow{NP}.$

Đáp án đúng là: C

Vì F là trung điểm của AC $FC=\frac{1}{2}AC=15\ cm.$

Đường thẳng BF cắt CE tại G suy ra G là trọng tâm tam giác ABC.

Khi đó:$\frac{d(B;(AC))}{d(G;(AC))}=\frac{BF}{GF}=3\Rightarrow d(G;(AC))=\frac{1}{3}d(B;(AC))=\frac{AB}{3}=10\ cm.$

Vậy diện tích tam giác GFC là: ${S}_{ΔGFC}=\frac{1}{2}.d(G;(AC)).FC=\frac{1}{2}.10.15=75\ c{m}^{2}.$

Đáp án đúng là: A

Gọi H là trung điểm của $BC\Rightarrow AH\perp BC.$

Xét tam giác vuông AHC ta có:

$A{H}^{2}+H{C}^{2}=A{C}^{2}$

$\Leftrightarrow AH=\sqrt{A{C}^{2}-H{C}^{2}}$

$\Leftrightarrow AH=\sqrt{{a}^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}}$

Suy ra

$AH=\frac{BC\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$

Ta lại có $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HC}|=|2\overrightarrow{AH}|$

Suy ra : $|2\overrightarrow{AH}|=2.\frac{a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$

Đáp án đúng là: C

Ta có : $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{AM}-\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}.$

Đáp án đúng là: D

Theo định lí hàm sin, ta có:

$\frac{OB}{\sin \widehat{OAB}}=\frac{AB}{\sin \widehat{AOB}}\Leftrightarrow OB=\frac{AB}{\sin \widehat{AOB}}.\sin \widehat{OAB}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{\sin 30^{\circ}}.\sin \widehat{OAB}=2\sin \widehat{OAB}$

Do đó, độ dài OB lớn nhất khi và chỉ khi

$\sin \widehat{OAB}=1\Leftrightarrow \widehat{OAB}=90^{\circ}$.

Khi đó OB = 2.

Đáp án đúng là: C

Vì K là trung điểm của MN nên ta có :

Ta có : $\overrightarrow{AK}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN})$ .

Mà M là trung điểm của AB và N là điểm thuộc cạnh AC sao cho NC = 2AN nên ta có :

$\{\begin{matrix}\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} \\ \overrightarrow{AN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\end{matrix}$

Do đó, $\overrightarrow{AK}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC})=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}$

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\overrightarrow{u}\perp \overrightarrow{v}\Rightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0\Leftrightarrow (\frac{2}{5}\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b})(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=0\Leftrightarrow \frac{2}{5}{\overrightarrow{a}}^{2}-\frac{13}{5}\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}-3{\overrightarrow{b}}^{2}=0$

$\overset{|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=1}{\rightarrow }\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=-1.$

Suy ra $cos(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|}=-1\Rightarrow (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})={180}^{0}.$

Đáp án đúng là: C

Xác định được góc $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC})$ là góc ngoài của góc $\widehat{B}$ nên $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC})={120}^{0}$ (do tam giác ABC là tam giác đều nên góc $\widehat{B}=60^{\circ}$ , do đó, góc ngoài của góc B có số đo là 120$^{o}$).

Do đó $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=AB.BC.cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC})=a.a.cos{120}^{0}=-\frac{{a}^{2}}{2}.$

Đáp án đúng là: D

Ta có: $|\overrightarrow{BA}|=|\overrightarrow{AB}|=AB$ và $\overrightarrow{BA}$ ngược hướng với $\overrightarrow{AB}\Rightarrow$ $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}+(-\overrightarrow{AB})=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CA}$

Đáp án đúng là: C

Xét tam giác ABC đều, có độ dài cạnh bằng a.

Theo định lí sin, ta có: $\frac{BC}{\sin \widehat{BAC}}=2R\Leftrightarrow \frac{a}{\sin {60}^{0}}=2.4\Leftrightarrow a=8.\sin {60}^{0}=4\sqrt{3}$ (đơn vị độ dài).

Vậy diện tích cần tính là:

${S}_{ΔABC}=\frac{1}{2}.AB.AC.\sin \widehat{BAC}=\frac{1}{2}.{(4\sqrt{3})}^{2}.\sin {60}^{0}=12\sqrt{3}\ c{m}^{2}.$

Đáp án đúng là: C

- Xác định được góc $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ là góc $\widehat{A}$ nên $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})={60}^{0}.$ (do tam giác ABC đều)

Do đó $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB.AC.cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=a.a.cos{60}^{0}=\frac{{a}^{2}}{2}\text{⇒}$ A đúng

- Xác định được góc $(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB})$ là góc ngoài của góc $\widehat{C}$ nên $(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB})={120}^{0}.$

Do đó $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB}=AC.CB.cos(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB})=a.a.cos{120}^{0}=-\frac{{a}^{2}}{2}\ \Rightarrow$ B đúng.

Xác định được góc $(\overrightarrow{GA},\overrightarrow{GB})$ là góc $\widehat{AGB}$ nên $(\overrightarrow{GA},\overrightarrow{GB})={120}^{0}.$

Ta có: AG nằm trên đường trung tuyến cũng chính là đường cao của tam giác đều ABC, ta tính được đường cao, suy ra: AG = $\frac{2}{3}$ .a.$\frac{\sqrt{3}}{2}$ = $\frac{a}{\sqrt{3}}$ .

Tương tự, GB = $\frac{a}{\sqrt{3}}$ .

Do đó $\overrightarrow{GA}.\overrightarrow{GB}=GA.GB.cos(\overrightarrow{GA},\overrightarrow{GB})=\frac{a}{\sqrt{3}}.\frac{a}{\sqrt{3}}.cos{120}^{0}=-\frac{{a}^{2}}{6}\ \Rightarrow \$ C sai.

Xác định được góc $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AG})$ là góc $\widehat{GAB}$ nên $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AG})={30}^{0}.$

Do đó $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AG}=AB.AG.cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AG})=a.\frac{a}{\sqrt{3}}.cos{30}^{0}=\frac{{a}^{2}}{2}\ \Rightarrow \$ D đúng.

Đáp án đúng là: B

Áp dung định lý Py – ta – go ta có:

$A{B}^{2}+A{C}^{2}=B{C}^{2}$

$\Leftrightarrow BC=\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}=\sqrt{{c}^{2}+{b}^{2}}$

Cos B = $\frac{AB}{BC}=\frac{c}{\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}}$

Lại có: cos B chính là cos $(\overrightarrow{BA};\overrightarrow{BC})$

Ta có:

$\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=BA.BC.cos(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC})=BA.BC.cos\widehat{B}=c.\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}.\frac{c}{\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}}={c}^{2}.$

Đáp án đúng là: C

Nửa chu vi là:

Ta có:$p=\frac{AB+BC+CA}{2}=\frac{2\sqrt{3}+3AB}{2}$ .

Suy ra $S=\sqrt{(\frac{3AB+2\sqrt{3}}{2})(\frac{3AB-2\sqrt{3}}{2})(\frac{2\sqrt{3}-AB}{2})(\frac{2\sqrt{3}+AB}{2})}$ .

Lại có $S=\frac{1}{2}BC.AH=2\sqrt{3}$(đơn vị diện tích).

Từ đó ta có: $2\sqrt{3}=(\frac{3AB+2\sqrt{3}}{2})(\frac{3AB-2\sqrt{3}}{2})(\frac{2\sqrt{3}-AB}{2})(\frac{2\sqrt{3}+AB}{2})$

$\Leftrightarrow 12=\frac{(9A{B}^{2}-12)(12-A{B}^{2})}{16}\Leftrightarrow [\begin{matrix}AB=2 \\ AB=\frac{2\sqrt{21}}{3}\end{matrix}.$

Đáp án đúng là: A

Vì M là trung điểm của BC suy ra $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\ \overrightarrow{AM}.$

Khi đó $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}).\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}).(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC})$

$=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}).(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=\frac{1}{2}({\overrightarrow{AC}}^{2}-{\overrightarrow{AB}}^{2})=\frac{1}{2}(A{C}^{2}-A{B}^{2})=\frac{{b}^{2}-{c}^{2}}{2}.$