30 câu Trắc nghiệm Toán 10 Bài tập cuối chương 4 có đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có:

tan89° = tan(90° ‒ 1°) = cot1°;

tan88° = tan(90° ‒ 2°) = cot2°;

…

tan46° = tan(90° ‒ 44°) = cot44°.

Do đó: M = tan1°.tan2°.tan3°….tan89°

M = tan1°.tan2°….tan44°.tan45°.cot44°….cot2°.cot1°

M = (tan1°.cot1°).(tan2°.cot2°)…(tan44°.cot44°).tan45°

M = 1.1….1.1

M = 1.

Vậy M = 1.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: $M=\frac{\sin 60^{\circ}+\tan 30^{\circ}}{\cot 120^{\circ}+cos30^{\circ}}$

$M=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}}{-\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}}$

$M=\frac{3\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{6}:\frac{-2\sqrt{3}+3\sqrt{3}}{6}$

$M=\frac{5\sqrt{3}}{6}:\frac{\sqrt{3}}{6}$

$M=\frac{5\sqrt{3}}{6}.\frac{6}{\sqrt{3}}=5.$

Vậy M = 5.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Áp dụng hệ quả định lí côsin trong tam giác ABC ta có: $\cos A=\frac{A{C}^{2}+A{B}^{2}-B{C}^{2}}{2.AC.AB}$

$\Rightarrow \cos A=\frac{{9}^{2}+{8}^{2}-{10}^{2}}{2.9.8}=\frac{5}{16}>0$

Suy ra $\widehat{A}$ là góc nhọn.

Tam giác ABC có cạnh BC lớn nhất đối diện với $\widehat{A}$ nên $\widehat{A}$ là góc lớn nhất.

Do đó $\widehat{B},\widehat{C}$ cũng là góc nhọn.

Vậy tam giác ABC là tam giác nhọn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét tam giác ABC có $\widehat{A}=75^{\circ},\widehat{B}=45^{\circ}$ ta có:

$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ}$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \widehat{C}=180^{\circ}-\widehat{A}-\widehat{B}$

$\Rightarrow \widehat{C}=180^{\circ}-75^{\circ}-45^{\circ}=60^{\circ}$

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}$

$\Rightarrow \frac{AB}{AC}=\frac{\sin C}{\sin B}=\frac{\sin 60^{\circ}}{\sin 45^{\circ}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}.$

Vậy $\frac{AB}{AC}=\frac{\sqrt{6}}{2}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

a$^{2}$ = b$^{2}$ + c$^{2}$ ‒ 2.bc.cosA

Þ a$^{2}$ = b$^{2}$ + c$^{2}$ ‒ 2.bc.cos120°

$\Rightarrow {a}^{2}=\ {b}^{2}+\ {c}^{2}-2.bc.(-\frac{1}{2})$

Þ a$^{2}$ = b$^{2}$ + c$^{2}$ + bc.

Vậy a$^{2}$ = b$^{2}$ + c$^{2}$ + bc.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vì ABCD là hình thoi nên BC // AD (tính chất hình thoi)

Do đó $\widehat{BAD}+\widehat{ABC}=180^{\circ}$ (hai góc trong cùng phía)

Mà $\widehat{BAD}=60^{\circ}\Rightarrow \widehat{ABC}=120^{\circ}$

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có:

AC$^{2}$ = AB$^{2}$ + BC$^{2}$ – 2.AB.BC.$cos\widehat{ABC}$

Þ AC$^{2}$ = 1$^{2}$ + 1$^{2}$ – 2.1.1.cos120° = 3

$\Rightarrow AC=\sqrt{3}(cm).$

Vậy $AC=\sqrt{3}(cm).$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Áp dụng hệ quả định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

+) $\cos \widehat{ABC}=\frac{A{B}^{2}+B{C}^{2}-A{C}^{2}}{2.AB.BC}$

$\Rightarrow \cos \widehat{BAC}=\frac{{(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2})}^{2}+{(\sqrt{3})}^{2}-{(\sqrt{2})}^{2}}{2.(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}).\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow \widehat{ABC}=45^{\circ}$

+) $\cos \widehat{BAC}=\frac{A{B}^{2}+A{C}^{2}-B{C}^{2}}{2.AB.AC}$

$\Rightarrow \cos \widehat{BAC}=\frac{{(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2})}^{2}+{(\sqrt{2})}^{2}-{(\sqrt{3})}^{2}}{2.(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}).\sqrt{2}}=-\frac{1}{2}$

$\Rightarrow \widehat{BAC}=120^{\circ}\Rightarrow \widehat{BAD}=60^{\circ}$ ( vì AD là tia phân giác của $\widehat{BAC}$)

Xét tam giác ABD có $\widehat{BAD}=60^{\circ}$ và $\widehat{ABD}=\widehat{ABC}=45^{\circ}$ ta có:

$\widehat{BAD}+\widehat{ABD}+\widehat{ADB}=180^{\circ}$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \widehat{ADB}=180^{\circ}-\widehat{BAD}-\widehat{ABD}$

$\Rightarrow \widehat{ADB}=180^{\circ}-60^{\circ}-45^{\circ}=75^{\circ}$

Vậy $\widehat{ADB}=75^{\circ}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Nửa chu vi tam giác là: $p=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}+1}{2}$

Diện tích tam giác theo công thức Heron là:

$S=\sqrt{p.(p-\sqrt{3}).(p-\sqrt{2}).(p-1)}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ (đơn vị diện tích)

Mặt khác $S=\frac{1}{2}h.đáy$

Do đó đường cao ứng với cạnh lớn nhất $\sqrt{3}$ là: $h=\frac{2S}{đáy}=\frac{2.\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}.$

Vậy độ dài đường cao ứng với cạnh lớn nhất của tam giác là $\frac{\sqrt{6}}{3}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Tam giác ABC có góc B tù nên suy ra góc A là góc nhọn.

Diện tích tam giác ABC là:

$S=\frac{1}{2}AB.AC.\sin A\Rightarrow \sin A=\frac{2S}{AB.AC}=\frac{2.3\sqrt{3}}{3.4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Mà góc A là góc nhọn

$\Rightarrow \widehat{A}=60^{\circ}$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác ABC vuông cân tại A, giả sử AB = AC = a, theo định lí Py – ta – go ta có:

BC$^{2}$ = AB$^{2}$ + AC$^{2}$ = a$^{2}$ + a$^{2}$ = 2a$^{2}$

$\Rightarrow BC=a\sqrt{2}.$

Do đó nửa chu vi tam giác ABC là $p=\frac{AB+AC+BC}{2}=\frac{a+a+a\sqrt{2}}{2}=a.(\frac{2+\sqrt{2}}{2})$

Tam giác ABC vuông tại A nên diện tích tam giác ABC là:

$S=\frac{1}{2}.AB.AC=\frac{1}{2}.a.a=\frac{{a}^{2}}{2}$

Mặt khác $S=pr=\frac{AB.AC.BC}{4R}$

$\Rightarrow r=\frac{S}{p}=\frac{\frac{{a}^{2}}{2}}{a.(\frac{2+\sqrt{2}}{2})}=\frac{a}{2+\sqrt{2}}$ và $R=\frac{AB.AC.BC}{4S}=\frac{a.a.a\sqrt{2}}{4.\frac{{a}^{2}}{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Do đó $\frac{R}{r}=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\frac{a}{2+\sqrt{2}}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}:\frac{a}{2+\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.\frac{2+\sqrt{2}}{a}=1+\sqrt{2}$

Vậy $\frac{R}{r}=1+\sqrt{2}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì M là trung điểm của BC nên BM = MC = 3.

Vì ND = 3NC nên NC = 1 và ND = 3.

Tam giác CMN vuông tại C theo định lí Py – ta – go có:

MN$^{2}$ = MC$^{2}$ + NC$^{2}$ = 3$^{2}$ + 1$^{2}$ = 10 $\Rightarrow MN=\sqrt{10}.$

Tam giác AND vuông tại D theo định lí Py – ta – go có:

AN$^{2}$ = AD$^{2}$ + DN$^{2}$ = 6$^{2}$ + 3$^{2}$ = 45 $\Rightarrow AN=3\sqrt{5}.$

Tam giác ABM vuông tại B theo định lí Py – ta – go ta có:

AM$^{2}$ = AB$^{2}$ + BM$^{2}$ = 4$^{2}$ + 3$^{2}$ = 25 Þ AM = 5.

Nửa chu vi của tam giác AMN là: $p=\frac{AM+AN+MN}{2}=\frac{5+3\sqrt{5}+\sqrt{10}}{2}$

Diện tích tam giác AMN theo công thức Heron là:

$S=\sqrt{p(p-AM)(p-AN)(p-MN)}=7{,}5$ (đơn vị diện tích)

Mặt khác $S=\frac{AM.AN.MN}{4R}\Rightarrow R=\frac{AM.AN.MN}{4S}$

$\Rightarrow R=\frac{5.3\sqrt{5}.\sqrt{10}}{4.7{,}5}=\frac{5\sqrt{2}}{2}.$

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN bằng $\frac{5\sqrt{2}}{2}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Giả sử tam giác có độ dài ba cạnh là a = 52, b = 56, c = 60.

Nửa chu vi tam giác là: $p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{52+56+60}{2}=84$

Ta có diện tích tam giác là: $S=\frac{abc}{4R}=pr$

$\Rightarrow S=\frac{52.56.60}{4R}=84.r$

Þ 52.56.60 = 84r.4R

Þ R.r = 520.

Vậy R.r = 520.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có: c$^{2}$ = a$^{2}$ + b$^{2}$ – 2.a.b.cosC

Þ a$^{2}$ + b$^{2}$ ‒ c$^{2}$ = 2.a.b.cosC

+) Nếu a$^{2}$ + b$^{2}$ – c$^{2}$ < 0 thì 2.a.b.cosC < 0 nên cosC < 0 Þ $\widehat{C}$ là góc tù;

+) Nếu a$^{2}$ + b$^{2}$ – c$^{2}$ > 0 thì 2.a.b.cosC > 0 nên cosC > 0 Þ $\widehat{C}$ là góc nhọn.

Vậy ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

- Tam giác ABC là tam giác đều nên $\widehat{BAC}=60^{\circ}$

Diện tích tam giác ABC là:

${S}_{ABC}=\frac{1}{2}.AB.AC.\sin \widehat{BAC}=\frac{1}{2}.1.1.\sin 60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{4}$ (đơn vị diện tích).

- Hình vuông ABDE có cạnh AB = 1 nên có diện tích là: S$_{ABDE}$ = 1$^{2}$ = 1 (đơn vị diện tích).

Tương tự S$_{BCMN}$ = 1 (đơn vị diện tích) và S$_{CAHK}$ = 1 (đơn vị diện tích).

- Tam giác AEH có:

$\widehat{EAH}=360^{\circ}-\widehat{EAB}-\widehat{BAC}-\widehat{CAF}=360^{\circ}-90^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}=120^{\circ}.$

Diện tích tam giác AEH là:

${S}_{AEH}=\frac{1}{2}.AE.AH.\sin \widehat{EAH}=\frac{1}{2}.1.1.\sin 120^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{4}$ (đơn vị diện tích).

Tương tự ta có: ${S}_{BDN}=\frac{\sqrt{3}}{4}$ (đơn vị diện tích) và ${S}_{CKM}=\frac{\sqrt{3}}{4}$ (đơn vị diện tích)

Do đó diện tích của lục giác DEHKMN là:

S$_{DEHKMN}$ = S$_{ABC}$ + 3.S$_{ABDE}$ + 3.S$_{AEH}$

$\Rightarrow {S}_{DEHKMN}=\frac{\sqrt{3}}{4}+3.1+3.\frac{\sqrt{3}}{4}=3+\sqrt{3}$ (đơn vị diện tích).

Vậy ${S}_{DEHKMN}=3+\sqrt{3}$ (đơn vị diện tích).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là:

Áp dụng hệ quả định lí sin cho tam giác ABC ta có:

BC = 2R.sinA; AC = 2R.sinB; AB = 2R.sinC.

Theo bất đẳng thức trong tam giác ta có: AB + AC > BC

Þ 2R.sinC + 2R.sinB > 2R.sinA

Þ sinC + sinB > sinA.

Chứng minh tương tự ta cũng có: sinA + sinB > sinC và sinA + sinC > sinB.

Do đó phương án D là sai.

Vậy ta chọn phương án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét tam giác ABC ta có: $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ}$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ}-\widehat{A}$

Þ cos(B + C) = cos(180° ‒ A) = ‒cosA;

Và sin(B + C) = sin(180° ‒ A)= sinA.

Do đó:

sinA.cos(B + C) + cosA.sin(B + C)

= sinA.(‒cosA) + cosA.sinA

= ‒sinA.cosA + cosA.sinA

= 0

Vậy sinA.cos(B + C) + cosA.sin(B + C) = 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có:

+) sin0° + cos0° = 0 + 1 = 1. Do đó phương án A là mệnh đề sai.

+) sin90° + cos90° = 1 + 0 = 1. Do đó phương án B là mệnh đề đúng.

+) sin180° + cos180° = 0 + (‒1) = ‒1. Do đó phương án C là mệnh đề đúng.

+) $sin60^{\circ}+cos60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}.$ Do đó phương án D là mệnh đề đúng.

Vậy ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì tanα = ‒3 nên $\frac{\sin α}{cosα}=-3$ do đó cosα ≠ 0

Ta có: $P=\frac{6\sin α-7\cos α}{7\sin α+6\cos α}$

$P=\frac{\frac{6\sin α-7\cos α}{cosα}}{\frac{7\sin α+6\cos α}{cosα}}$ (do cosα ≠ 0)

$P=\frac{6\frac{\sin α}{\cos α}-7}{7\frac{\sin α}{\cos α}+6}$

$P=\frac{6\tan α-7}{7\tan α+6}$

$P=\frac{6.(-3)-7}{7(-3)+6}=\frac{-25}{-15}=\frac{5}{3}$

Vậy $P=\frac{5}{3}$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Với mỗi góc α (0° ≤ α ≤ 180°) ta xác định được một điểm M duy nhất trên nửa đường tròn đơn vị sao cho . Gọi (x$_{0}$; y$_{0}$) là toạ độ điểm M, ta có:

- Tung độ y$_{0}$ của M là sin của góc α, kí hiệu là sinα = y$_{0}$;

- Hoành độ x$_{0}$ của M là côsin của góc α, kí hiệu là cosα = x$_{0}$;

- Tỉ số $\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$(x$_{0}$ ≠ 0) là tang của góc α, kí hiệu là $\tan α=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}};$

- Tỉ số $\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$ (y$_{0}$ ≠ 0) là côtang của góc α, kí hiệu là $\cot α=\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}.$

Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của M lên Ox và Oy.

Khi đó ta có: OH = x$_{0}$ = cosα, MH = OK = y$_{0}$ = sinα, OM = 1.

Tam giác OMH vuông tại H, áp dụng định lí Pythagore ta có:

MH$^{2}$ + OH$^{2}$ = OM$^{2}$

Hay sin$^{2}$α + cos$^{2}$α = 1.

Do đó phương án A là mệnh đề đúng.

Với 0° < α < 180° và α ≠ 90° ta có: $\tan α=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}};$$\cot α=\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}.$

$\Rightarrow \tan α.\cot α=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}.\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}=1.$ Do đó phương án B là mệnh đề đúng.

Với α ≠ 90° ta có: $1+{\tan }^{2}α=1+\frac{{\sin }^{2}α}{{\text{cos}}^{2}α}=\frac{{\text{cos}}^{2}α+{\sin }^{2}α}{{\text{cos}}^{2}α}=\frac{1}{co{s}^{2}α}$ (do sin$^{2}$α + cos$^{2}$α = 1).

Do đó phương án C là mệnh đề đúng.

Với 0° < α < 180° và α ≠ 90° ta có:

$1+{\cot }^{2}α=1+\frac{{\cot }^{2}α}{{\sin }^{2}α}=\frac{{\sin }^{2}α+{\cos }^{2}α}{{\sin }^{2}α}=\frac{1}{{\sin }^{2}α}$(do sin$^{2}$α + cos$^{2}$α = 1).

Do đó phương án D là mệnh đề sai.

Vậy ta chọn phương án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Để tìm α khi biết tanα = 1,607 thì ta sử dụng máy tính cầm tay và tính được: α ≈ 58°.

Vậy α ≈ 58°.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\cos A.\sin \frac{B-C}{2}=0\Rightarrow [\begin{matrix}\cos A=0 \\ sin\frac{B-C}{2}=0\end{matrix}$

$\Rightarrow [\begin{matrix}A=90^{\circ} \\ \frac{B-C}{2}=0^{\circ}(vì\frac{B-C}{2}=180^{\circ}\ là\ vô\ lí)\end{matrix}$

Þ $\Rightarrow [\begin{matrix}\widehat{A}=90^{\circ} \\ \widehat{B}=\widehat{C}\end{matrix}$

Þ DABC vuông tại A hoặc DABC cân tại A.

Vậy DABC vuông tại A hoặc DABC cân tại A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Trong tam giác ABC có $\overset{⏞}{A}$ là góc tù nên $\widehat{B},\widehat{C}$ là góc nhọn.

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}=2R$

$\Rightarrow \frac{R\sqrt{2}}{\sin B}=\frac{R}{\sin C}=2R$

$\Rightarrow \{\begin{matrix}\sin B=\frac{R\sqrt{2}}{2R}=\frac{\sqrt{2}}{2} \\ sinC=\frac{R}{2R}=\frac{1}{2}\end{matrix}$ $\Rightarrow \{\begin{matrix}\widehat{B}=45^{\circ} \\ \widehat{C}=30^{\circ}\end{matrix}$ (vì $\widehat{B},\widehat{C}$ là góc nhọn)

Xét tam giác ABC có $\widehat{B}=45^{\circ},\widehat{C}=30^{\circ}$ ta có:

$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ}$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \widehat{A}=180^{\circ}-\widehat{B}-\widehat{C}$

$\Rightarrow \widehat{A}=180^{\circ}-45^{\circ}-35^{\circ}=105^{\circ}$

Vậy $\widehat{A}=105^{\circ}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Góc nhỏ nhất ứng với cạnh đối diện có độ dài nhỏ nhất.

Giả sử tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, BC = 4. Khi đó góc nhỏ nhất là góc C ứng với cạnh đối diện AB.

Áp dụng hệ quả định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

$\cos C=\frac{A{C}^{2}+B{C}^{2}-A{B}^{2}}{2.AC.BC}=\frac{{3}^{2}+{4}^{2}-{2}^{2}}{2.3.4}=\frac{7}{8}.$

Vậy côsin của góc nhỏ nhất trong tam giác bằng $\frac{7}{8}$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Diện tích tam giác ABC là: $S=\frac{1}{2}.AB.AC.\sin A$

$\Rightarrow \sin A=\frac{2S}{AB.AC}=\frac{2.120}{10.24}=1$

Mà $0^{\circ}<\widehat{A}<180^{\circ}$

$\Rightarrow \widehat{A}=90^{\circ}$

Þ DABC vuông tại A

Xét tam giác ABC vuông tại A, theo định lí Py – ta – go ta có:

BC$^{2}$ = AB$^{2}$ + AC$^{2}$ Þ BC$^{2}$ = 10$^{2}$ + 24$^{2}$ = 676

Þ BC = 26.

Do đó trung tuyến AM ứng với cạnh huyền BC có độ dài là: $AM=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}.26=13.$

Vậy độ dài đường trung tuyến AM bằng 13.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Vì BE là trung tuyến của tam giác ABC nên E là trung điểm của AC.

Do đó $EC=\frac{1}{2}.AC=\frac{1}{2}.30=15(cm)$

Hai đường trung tuyến BE và CF cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

Khi đó $GE=\frac{1}{3}BE$ (tính chất trọng tâm của tam giác)

Hay $\frac{GE}{BE}=\frac{1}{3}.$

Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ G xuống AC.

Suy ra GH // AB.

Do đó $\frac{GH}{BA}=\frac{GE}{BE}$ (định lí Ta – let trong tam giác ABE)

Hay $\frac{GH}{BA}=\frac{1}{3}\Rightarrow GH=\frac{1}{3}.BA=\frac{1}{3}.30=10(cm)$

Diện tích tam giác GEC là: ${S}_{GEC}=\frac{1}{2}.GH.EC=\frac{1}{2}.10.15=75(c{m}^{2})$

Vậy diện tích tam giác GEC là 75 cm$^{2}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có diện tích ban đầu của tam giác ABC là: $S=\frac{1}{2}.BC.AC.\sin C$.

Diện tích của tam giác mới sau khi thay đổi kích thước là:

${S}^{'}=\frac{1}{2}.2BC.3AC.\sin C=6.(\frac{1}{2}.BC.AC.\sin C)=6S$.

Vậy diện tích của tam giác mới được tạo thành là 6S.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có $\widehat{CAB}=180^{\circ}-51^{\circ}40'=128^{\circ}20'$

Xét tam giác ABC ta có: $\widehat{CAB}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180^{\circ}$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \widehat{ACB}=180^{\circ}-\widehat{CAB}-\widehat{ABC}$

$\Rightarrow \widehat{ACB}=180^{\circ}-128^{\circ}20'-45^{\circ}39'=6^{\circ}1'.$

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{AC}{\sin \widehat{ABC}}=\frac{AB}{\sin \widehat{ACB}}$

$\Rightarrow \frac{AC}{\sin 45^{\circ}39'}=\frac{10}{\sin 6^{\circ}1'}$ $\Rightarrow AC=\frac{10.\sin 45^{\circ}39'}{\sin 6^{\circ}1'}$

Xét tam giác ACH vuông tại H có: $CH=AC.\sin \widehat{CAH}$

$\Rightarrow CH=\frac{10.\sin 45^{\circ}39'}{\sin 6^{\circ}1'}.\sin 51^{\circ}40'$ ≈ 53,51 (m)

Chiều cao của cột cờ là khoảng: 1,5 + 53,51 = 55,01 (m)

Vậy cột cờ cao khoảng 55,01 m.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Bán kính R của chiếc đĩa bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Nửa chu vi của tam giác ABC là: $p=\frac{AB+AC+BC}{2}=\frac{4{,}3+7{,}5+3{,}7}{2}=\frac{31}{4}(cm)$

Diện tích tam giác ABC theo công thức Heron là:

$S=\sqrt{p(p-AB)(p-AC)(p-BC)}\approx 5{,}2(c{m}^{2})$

Mặt khác: $S=\frac{AB.AC.BC}{4R}\Rightarrow R=\frac{AB.AC.BC}{4S}\approx \frac{4{,}3.7{,}5.3{,}7}{4.5{,}2}\approx 5{,}73(cm)$

Vậy bán kính của chiếc đĩa là khoảng 5,73 cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Gọi x giờ (x > 0) là khoảng thời gian kể từ khi bắt đầu chạy từ điểm O đến khi hai vận động viên cách nhau 10 km.

Khi đó đoạn đường mà vận động viên A chạy được là 13x (km);

Đoạn đường mà vận động viên B chạy được là 12x (km).

Theo hình vẽ trên ta có: AB = 10, OA = 13x, OB = 12x và $\widehat{AOB}=135^{\circ}-15^{\circ}=120^{\circ}$

Áp dụng định lí côsin trong tam giác OAB ta có:

AB$^{2}$ = OA$^{2}$ + OB$^{2}$ – 2.OA.OB.$\sin \widehat{AOB}$

Þ 10$^{2}$ = (13x)$^{2}$ + (12x)$^{2}$ – 2.13x.12x.sin120°

$\Rightarrow {10}^{2}=169{x}^{2}+144{x}^{2}-312{x}^{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow {10}^{2}=(313-156\sqrt{3}){x}^{2}$

$\Rightarrow {x}^{2}=\frac{10}{313-156\sqrt{3}}$ Þ x ≈ 0,483 (giờ) (vì x > 0) ≈ 29 phút.

Do đó thời điểm mà hai vận động viên cách nhau 10 km là khoảng: 9 giờ 29 phút.

Vậy vào khoảng 9 giờ 29 phút thì hai vận động viên sẽ cách nhau 10 km.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\widehat{SQB}=\widehat{PQT}=α,\widehat{TPO}=β$

Áp dụng định lí côsin trong tam giác OPQ ta có:

PQ$^{2}$ = OP$^{2}$ + OQ$^{2}$ – 2.OP.OQ.cos $\widehat{POQ}$

$\Rightarrow P{Q}^{2}={2}^{2}+{(\sqrt{2}+\sqrt{6})}^{2}-\ 2.2.(\sqrt{2}+\sqrt{6}).cos45^{\circ}$ Þ PQ$^{2}$ = 8 $\Rightarrow PQ=2\sqrt{2}(m)$

Áp dụng hệ quả định lí côsin trong tam giác OPQ ta có:

$cosα=cos\widehat{OQP}=\frac{O{Q}^{2}+P{Q}^{2}-O{P}^{2}}{2.OQ.PQ}=\frac{{(\sqrt{2}+\sqrt{6})}^{2}+8-{2}^{2}}{2.(\sqrt{2}+\sqrt{+6}).2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Þ α = 30°

Xét tam giác POQ có: β = 45° + α (tính chất góc ngoài của tam giác)

Þ β = 45° + 30° = 75° $\Rightarrow \widehat{TPO}=75^{\circ}$

Xét tam giác OTP ta có: $\widehat{OTP}+\widehat{TOP}+\widehat{TPO}=180^{\circ}$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

Hay $\widehat{OTP}+45^{\circ}+75^{\circ}=180^{\circ}$

$\Rightarrow \widehat{OTP}=180^{\circ}-45^{\circ}-75^{\circ}=60^{\circ}$

Áp dụng định lí sin cho tam giác OTP ta có: $\frac{OP}{\sin \widehat{OTP}}=\frac{PT}{\sin \widehat{TOP}}$

$\Rightarrow \frac{2}{\sin 60^{\circ}}=\frac{PT}{\sin 45^{\circ}}$ $\Rightarrow PT=\frac{2.\sin 45^{\circ}}{\sin 60^{\circ}}=\frac{2.\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}.$

Vậy $PT=\frac{2\sqrt{6}}{3}.$