3 bài tập Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn (có lời giải)

a) Chứng minh $ADHE$ là tứ giác nội tiếp.

Vì $BD,CE$ là các đường cao của $\Delta ABC$ nên $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{BD \bot AC}\\{CE \bot AB}\end{array}} \right. \Rightarrow \widehat {AEH} = \widehat {ADH} = {90^ \circ }$.

Xét tứ giác $ADHE$ có $\widehat {AEH} + \widehat {ADH} = {90^ \circ } + {90^ \circ } = {180^ \circ }$.

$\Rightarrow ADHE$ là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng 2 góc đối bằng ${180^0}$).

b) Chứng minh $BCDE$ là tứ giác nội tiếp.

Gọi $O$ là trung điểm$BC$.

Vì $BD,CE$ là các đường cao của $\Delta ABC$ nên$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{BD \bot AC}\\{CE \bot AB}\end{array} \Rightarrow \widehat {BDC} = \widehat {BEC} = {{90}^ \circ }} \right.$

Xét tam giác $BDC$ có $\widehat {BDC} = {90^0}$ và $DO$ là đường trung tuyến nên $OD = OC = OB = \frac{1}{2}BC$ $\left( 1 \right)$

Xét tam giác $BEC$ có $\widehat {BEC} = {90^0}$ và $EO$ là đường trung tuyến nên $OE = OC = OB = \frac{1}{2}BC$ $\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$và $\left( 2 \right)$ suy ra $OD = OE = OC = OB$

Vậy tứ giác $BCDE$ nội tiếp được đường tròn có tâm $O$ là trung điểm$BC$.

a) Chứng minh tứ giác $BFHD$ nội tiếp.

- Xét đường tròn $\left( I \right)$

$\widehat {CFB} = {90^0}$(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) $\Rightarrow CF \bot AB$

$\widehat {CFB} = {90^0}$(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) $\Rightarrow BE \bot AC$

Suy ra $H$ là trực tâm của tam giác$ABC$ hay $AH \bot BC \Rightarrow$$\widehat {HDB} = {90^0}$

- Xét tứ giác $BFHD$

$\widehat {CFB} = \widehat {HDB} = {90^0}$(chứng minh trên)

$\Rightarrow \widehat {CFB} + \widehat {HDB} = {180^0}$

tứ giác $BFHD$ có tổng hai góc đối $\widehat {CFB},\widehat {HDB}$ bằng ${180^0}$ nên tứ giác $BFHD$ nội tiếp.

b) Chứng minh tứ giác $ABDE$ nội tiếp.

Gọi $O$ là trung điểm$AB$.

Xét tam giác $ADB$ có $\widehat {ADB} = {90^0}$ và $DO$ là đường trung tuyến nên $OD = OA = OB = \frac{1}{2}AB$ $\left( 1 \right)$

Xét tam giác $AEB$ có $\widehat {AEB} = {90^0}$ và $EO$ là đường trung tuyến nên $OE = OA = OB = \frac{1}{2}AB$ $\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$và $\left( 2 \right)$ suy ra $OD = OE = OA = OB$

Vậy tứ giác $ABDE$ nội tiếp được đường tròn có tâm $O$ là trung điểm$AB$.

a) Chứng minh $\widehat {ABC} = \widehat {CHM}$.

Vì $AM,CN$ là các đường cao của $\Delta ABC$ nên $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{AM \bot BC}\\{CN \bot AB}\end{array}} \right. \Rightarrow \widehat {BMH} = \widehat {BNH} = {90^ \circ }$.

Xét tứ giác $BNHM$ có $\widehat {BMH} + \widehat {BNH} = {90^ \circ } + {90^ \circ } = {180^ \circ }$.

$\Rightarrow BNHM$ là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng 2 góc đối bằng ${180^0}$).

Tứ giác $BNHM$ nội tiếp nên: $\widehat {MBN} + \widehat {NHM} = {180^ \circ }$ hay $\widehat {CBA} + \widehat {NHM} = {180^ \circ }$

mà $\widehat {MBN} + \widehat {NHM} = {180^ \circ }$ (hai góc kề bù)

do đó $\widehat {CBA} = \widehat {MBN}$

b) Chứng minh $\widehat {ADC} = \widehat {AHC}$.

Tứ giác $BNHM$ nội tiếp nên: $\widehat {MBN} + \widehat {NHM} = {180^ \circ }$

mà$\widehat {AHC} = \widehat {NHM}$ (đối đỉnh)

nên $\widehat {MBN} + \widehat {AHC} = {180^ \circ }$

hay $\widehat {ABC} + \widehat {AHC} = {180^ \circ }$

Mặc khác tứ giác $BNHM$ nội tiếp đường tròn tâm $\left( O \right)$ nên $\widehat {ADC} + \widehat {ABC} = {180^0}$

Do đó $\widehat {ADC} = \widehat {AHC}$

c) Chứng minh $\widehat {MAC} = \widehat {MNC}$.

Ta chứng minh $ACMN$ là tứ giác nội tiếp.

Gọi $E$ là trung điểm$AC$.

Xét tam giác $AMC$ có $\widehat {AMC} = {90^0}$ và $ME$ là đường trung tuyến nên $EM = EC = EA = \frac{1}{2}AC$ $\left( 1 \right)$

Xét tam giác $ANC$ có $\widehat {ANC} = {90^0}$ và $NE$ là đường trung tuyến nên $EN = EC = EA = \frac{1}{2}AC$ $\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$và $\left( 2 \right)$ suy ra $EM = EN = EC = EA$

Vậy tứ giác $ACMN$ nội tiếp được đường tròn có tâm $E$ là trung điểm$AC$.

Suy ra $\widehat {MAC} = \widehat {MNC}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung $MC$ của đường tròn tâm $E$)

d) Chứng minh $\widehat {MAC} + {90^0} = \widehat {ANM}$.

Ta có $\widehat {MAC} + \widehat {ACM} = {90^0}$ (hai góc phụ nhau)

Hay $\widehat {ACM} = {90^0} - \widehat {MAC}$

Mà $\widehat {ACM} + \widehat {ANM} = {180^0}$ ( tứ giác $ACMN$ nội tiếp được đường tròn, câu c))

Nên ${90^0} - \widehat {MAC} + \widehat {ANM} = {180^0}$

Suy ra $\widehat {MAC} + {90^0} = \widehat {ANM}$