3 bài tập Chứng minh đẳng thức (có lời giải)

ta có: ${\rm{VT}} = \frac{3}{2}\sqrt 6 + 2\sqrt {\frac{2}{3}} - 4\sqrt {\frac{3}{2}} = \frac{3}{2}\sqrt 6 + 2\sqrt {\frac{6}{9}} - 4\sqrt {\frac{6}{4}}$

$= \frac{3}{2}\sqrt 6 + \frac{2}{3}\sqrt 6 - 2\sqrt 6 = \left( {\frac{3}{2} + \frac{2}{3} - 2} \right)\sqrt 6 = \frac{{\sqrt 6 }}{6} = {\rm{VP}}$ (đpcm).

b) b) Ta có ${\rm{VT}} = \left( {x\sqrt {\frac{6}{x}} + \sqrt {\frac{{2x}}{3}} + \sqrt {6x} } \right):\sqrt {6x} = \left( {\sqrt {6x} + \frac{{\sqrt {6x} }}{3} + \sqrt {6x} } \right):\sqrt {6x} {\rm{ }}$

$= \frac{7}{3}\sqrt {6x} :\sqrt {6x} = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} = {\rm{VP}}$ (đpcm).

ta có: $\frac{{1 - a\sqrt a }}{{1 - \sqrt a }} + \sqrt a = \frac{{1 - {{\left( {\sqrt a } \right)}^3}}}{{1 - \sqrt a }} + \sqrt a = 1 + \sqrt a + a + \sqrt a$$= 1 + 2\sqrt a + a = {\left( {1 + \sqrt a } \right)^2}$

và $\frac{{1 - \sqrt a }}{{1 - a}} = \frac{{1 - \sqrt a }}{{\left( {1 - \sqrt a } \right)\left( {1 + \sqrt a } \right)}} = \frac{1}{{1 + \sqrt a }}$

Do đó: ${\rm{VT}} = \left( {\frac{{1 - a\sqrt a }}{{1 - \sqrt a }} + \sqrt a } \right){\left( {\frac{{1 - \sqrt a }}{{1 - a}}} \right)^2} = {\left( {1 + \sqrt a } \right)^2} \cdot \frac{1}{{{{\left( {1 + \sqrt a } \right)}^2}}} = 1 = {\rm{VP}}$ (đpcm).

b) Ta có: ${\rm{VT}} = \frac{{a + b}}{{{b^2}}}\sqrt {\frac{{{a^2}{b^4}}}{{{a^2} + 2ab + {b^2}}}} = \frac{{a + b}}{{{b^2}}}\sqrt {\frac{{{a^2}{b^4}}}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}} = \frac{{a + b}}{{{b^2}}}.\frac{{\left| a \right|.{b^2}}}{{a + b}} = \left| a \right| = {\rm{VP}}$ (đpcm).

(do $a + b > 0$ và $b \ne 0$).

Ta có: $\frac{1}{{2 + 2\sqrt a }} + \frac{1}{{2 - 2\sqrt a }} = \frac{1}{{2(1 + \sqrt a )}} + \frac{1}{{2(1 - \sqrt a )}}$

$= \frac{{1 - \sqrt a + 1 + \sqrt a }}{{2(1 + \sqrt a )(1 - \sqrt a )}} = \frac{2}{{2(1 - a)}} = \frac{1}{{1 - a}}$

Do đó biểu thức đã cho bằng:$\left( {\frac{1}{{1 - a}} - \frac{{{a^2} + 1}}{{\left( {1 - a} \right)\left( {1 + a} \right)}}} \right) \cdot \frac{{a + 1}}{a} =$$\frac{{1 + a - {a^2} - 1}}{{1 - {a^2}}} \cdot \frac{{a + 1}}{a}$

$= \frac{{a\left( {1 - a} \right)}}{{1 - {a^2}}} \cdot \frac{{a + 1}}{a} = 1$.

Vậy biểu thức đã cho không phụ thuộc vào biến $a$.