3 bài tập Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức (có lời giải)

Chứng minh:

a) $(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})$(2−3)(2+3)
Áp dụng hằng đẳng thức $(a-b)(a+b)={a}^{2}-{b}^{2}$

$$(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})={2}^{2}-(\sqrt{3}{)}^{2}=4-3=1$$

Vậy $(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=1$(2−3)(2+3)=1.

b) $(\sqrt{2006}-\sqrt{2005})$(2006−2005) và $(\sqrt{2006}+\sqrt{2005})$

Nhân hai số:

$$(\sqrt{2006}-\sqrt{2005})(\sqrt{2006}+\sqrt{2005})$$

Áp dụng hằng đẳng thức:

$$=2006-2005=1$$

Vì tích của hai số bằng 1 nên chúng là hai số nghịch đảo.

a) Ta có $\sqrt {25 - 16} = \sqrt 9 = 3;\,\,\,\sqrt {25} - \sqrt {16 = 5 - 4 = 1}$

Mà $1 < 3$ do đó $\sqrt {25} - \sqrt {16} < \sqrt {25 - 16} .$

b) Với $a > b > 0$ thì $a - b > 0.$

Ta có: $\sqrt a - \sqrt b < \sqrt {a - b}$

$\begin{array}{l}\sqrt a < \sqrt {a - b} + \sqrt b \\{\left( {\sqrt a } \right)^2} < {\left( {\sqrt {a - b} + \sqrt b } \right)^2}\end{array}$

$a < a - b + 2\sqrt {b\left( {a - b} \right)} + b$

$2\sqrt {b\left( {a - b} \right)} > 0$ (luôn đúng).

Vậy $\sqrt a - \sqrt b < \sqrt {a - b} .$

a) Đúng, vì $0,\,{01^2} = 0{,}0001.$

b) Sai, vì $\sqrt { - 0{,}25}$ không có nghĩa.

c) Đúng, vì ${\left( {\sqrt {39} } \right)^2} < {7^2}$ và ${\left( {\sqrt {39} } \right)^2} > {6^2}.$

d) Đúng, vì nhân hai vế của bất phương trình với cùng một số dương $\frac{1}{{4 - \sqrt {13} }}$ thì không đổi chiều bất đẳng thức.