26 câu trắc nghiệm Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 2. Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes có đáp án

Chọn B

Ta có: ${\rm{P}}\left( {\overline B } \right) = 1 - {\rm{P}}\left( B \right) = 1 - 0{,}6 = 0{,}4$.

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

${\rm{P}}\left( A \right) = {\rm{P}}\left( B \right)\,.\,{\rm{P}}\left( {A|B} \right) + {\rm{P}}\left( {\overline B } \right)\,.\,{\rm{P}}\left( {A|\overline B } \right) = 0{,}6\,.\,0{,}7 + 0{,}4\,.\,0{,}4 = 0{,}58$

Chọn A

Theo công thức Bayes, ta có: ${\rm{P}}\left( {B|A} \right) = \frac{{{\rm{P}}\left( B \right)\,.\,{\rm{P}}\left( {A|B} \right)}}{{{\rm{P}}\left( A \right)}} = \frac{{0{,}3\,.\,0{,}25}}{{0{,}4}} = 0{,}1875$.

Chọn D

Gọi A là biến cố: “Học sinh tự học tiếng anh bằng hình thức học trực tuyến”

=> P(A) = 0,7; P(Ā) = 0,3.

B là biến cố: “học sinh giỏi tiếng anh bằng hình thức trực tuyến” => P(B) = 0,8.

C là biến cố: “học sinh giỏi tiếng anh không tự học bằng hình thức trực tuyến” => P(C) = 0,3.

D là biến cố: “học sinh giỏi tiếng anh”

ðP(D) = P(A).P(B) + P(Ā).P(C) = 0,7.0,8 + 0,3.0,3 = 0,65.

Chọn B

Gọi A là biến cố “ Van I hoạt động tốt”

Vậy P(A) = 0,9

Gọi B là biến cố “ Van II hoạt động tốt”

Vậy P(B) = 0,72

Theo công thức Bayes ta có

$$P(A/B) = \frac{{P(B/A).P(A)}}{{P(B)}} \Leftrightarrow P(B/A) = \frac{{P(A/B).P(B)}}{{P(A)}} = \frac{{0{,}92.0{,}96}}{{0{,}9}} = 0{,}768$$

Chọn B

$$P\left( {\bar B} \right) = 1 - P\left( B \right) = 1 - 0{,}8 = 0{,}2$$

Công thức xác suất toàn phần

$$P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\bar B} \right).P\left( {A|\bar B} \right) = 0{,}8.0{,}7 + 0{,}2.0{,}45 = 0{,}65$$

Chọn C

Công thức Bayes

$$P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0{,}8.0{,}7}}{{0{,}65}} = \frac{{56}}{{65}}$$

Chọn D

Gọi $A$ là biến cố “người nghiện thuốc lá”, suy ra $\bar A$ là biến cố “người không nghiện thuốc lá”

Gọi $B$ là biến cố “người bị bệnh phổi”

Để người mà ta gặp bị bệnh phổi thì người đó nghiện thuốc lá hoặc không nghiện thuốc lá

Ta cần tính $P\left( B \right)$

Với $P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\bar A} \right).P\left( {B|\bar A} \right)$

Ta có

$$\begin{array}{l}P\left( A \right) = 0{,}2\\P\left( {B|A} \right) = 0{,}7\\P\left( {\bar A} \right) = 0{,}8\\P\left( {B|\bar A} \right) = 0{,}15\end{array}$$

Vậy $P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\bar A} \right).P\left( {B|\bar A} \right) = 0{,}2.0{,}7 + 0{,}8.0{,}15 = 0{,}26$

Do đó, tỉ lệ người mắc bệnh phổi của tỉnh Khánh Hòa là $26\%$

Chọn A

xác suất mà người đó là nghiện huốc lá khi biết bị bệnh phổi là $P\left( {A|B} \right)$

Theo công thức Bayes, ta có

$$P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0{,}2.0{,}7}}{{0{,}26}} = \frac{7}{{13}}$$

Như vậy trong số người bị beenjhj phổi của tỉnh Khánh Hòa, có khoảng $\frac{7}{{13}}$ số người nghiện thuốc lá.

Chọn C

Gọi $A$ là biến cố “Phát tín hiệu $A$”

Gọi $B$ là biến cố “Phát tín hiệu $A$”

Gọi ${T_A}$ là biến cố “Phát được tín hiệu $A$”

Gọi ${T_B}$ là biến cố “Phát được tín hiệu $B$”

Ta cần tính $P\left( {{T_A}} \right)$

Với $P\left( {{T_A}} \right) = P\left( A \right).P\left( {{T_A}|A} \right) + P\left( B \right).P\left( {{T_A}|B} \right)$

Ta có

$$\begin{array}{l}P\left( A \right) = 0{,}85\\P\left( {{T_B}|A} \right) = \frac{1}{7} \Rightarrow P\left( {{T_A}|A} \right) = 1 - \frac{1}{7} = \frac{6}{7}\\P\left( B \right) = 0{,}15\\P\left( {{T_A}|B} \right) = \frac{1}{8}\end{array}$$

Đo đó $P\left( {{T_A}} \right) = P\left( A \right).P\left( {{T_A}|A} \right) + P\left( B \right).P\left( {{T_A}|B} \right) = 0{,}85.\frac{6}{7} + 0{,}15.\frac{1}{8} = \frac{{837}}{{1120}}$

Chọn D

Theo công thức Bayes, ta có

$$P\left( {A|{T_A}} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {{T_A}|A} \right)}}{{P\left( {{T_A}} \right)}} = \frac{{0{,}85.\frac{6}{7}}}{{\frac{{837}}{{1120}}}} = \frac{{272}}{{279}}$$

Chọn C

Gọi $A$ là biến cố “người đó mắc bệnh”

Gọi $B$ là biến cố “kết quả kiểm tra người đó là dương tính (bị bệnh)”

Ta cần tính $P\left( {A|B} \right)$

Với $P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\bar A} \right).P\left( {B|\bar A} \right)}}$

Ta có:

Xác suất để người đó mắc bệnh khi chưa kiểm tra:$P\left( A \right) = 1\% = 0{,}01$

Do đó xác suất để người đó không mắc bệnh khi chưa kiểm tra: $P\left( {\bar A} \right) = 1 - 0{,}01 = 0{,}99$

Xác suất kết quả dương tính nếu người đó mắc bệnh là: $P\left( {B|A} \right) = 99\% = 0{,}99$

Xác suất kết quả dương tính nếu người đó không mắc bệnh là: $P\left( {B|\bar A} \right) = 1 - 0{,}99 = 0{,}01$

$$P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\bar A} \right).P\left( {B|\bar A} \right)}} = \frac{{0{,}01.0{,}99}}{{0{,}01.0{,}99 + 0{,}99.0{,}01}} = 0{,}5$$

Xác suất kết để người đó mắc bệnh nếu kết quả kiểm tra người đó là dương tính là $0{,}5$

Chọn C

Gọi:- A là biến cố "Viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ";

- $B$ là biến cố "Viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi đỏ";

- $\bar B$ là biến cố "Viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi xanh".

Ta có: $P(B) = \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2};P(\bar B) = \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2}$.

Nếu viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi đỏ thì sau khi chuyển, hộp thứ hai có 7 bi đỏ và 4 bi xanh. Do đó $P(A\mid B) = \frac{7}{{11}}$.

Nếu viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi xanh thì sau khi chuyển, hộp thứ hai có 6 bi đỏ và 5 bi xanh. Do đó $P(A\mid \bar B) = \frac{6}{{11}}$.

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

$P(A) = P(B) \cdot P(A\mid B) + P(\bar B) \cdot P(A\mid \bar B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{{11}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{{11}} = \frac{{13}}{{22}}.$

Vậy xác suất để viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ bằng $\frac{{13}}{{22}}$.

Chọn C.

Theo công thức xác suất toàn phần ta có: $P(B) = P(A) \times P(B\mid A) + P(\bar A) \times P(B\mid \bar A)$.

Chọn. A.

Ta có: $P(\overline A ) = 1 - P(A) = 1 - 0{,}6 = 0{,}4$.

Ta lại có: $P(B) = P(A) \times P(B\mid A) + P(\overline A ) \times P(B\mid \bar A) = 0{,}6 \times \frac{1}{3} + 0{,}4 \times \frac{1}{4} = 0{,}3$.

Chọn C.

Gọi A là biến cố chọn được hộp (I)

B là biến cố chon được hộp (II)

H là biến cố chọn được bi đỏ ở hộp (I) hoặc hộp (II)

Cần tính:$P(C) = P((AH) \cup (BH))$

Suy ra: $P(C) = P(AH) + P(BH) = P(A).P(H/A) + P(B).P(H/B)$

Trong đó: $\left\{ \begin{array}{l}P(A) = \frac{1}{2};\,\,P(B) = \frac{1}{2}\\P(H/A) = \frac{4}{9};\,\,P(H/B) = \frac{6}{{10}}\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,P(C) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{9} + \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{{10}} = \frac{{47}}{{90}}$

Vậy xác suất cần tìm là $\frac{{47}}{{90}}$

Chọn D

Công thức đúng là $P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right)$.

Chọn A

$$\frac{{P\left( A \right).P\left( {\left. B \right|A} \right)}}{{P\left( B \right)}}$$

Chọn C

Ta có: ${\rm{P}}\left( {\overline B } \right) = 1 - {\rm{P}}\left( B \right) = 1 - 0{,}6 = 0{,}4$.

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

${\rm{P}}\left( A \right) = {\rm{P}}\left( B \right)\,.\,{\rm{P}}\left( {A|B} \right) + {\rm{P}}\left( {\overline B } \right)\,.\,{\rm{P}}\left( {A|\overline B } \right) = 0{,}6\,.\,0{,}7 + 0{,}4\,.\,0{,}4 = 0{,}58$

Chọn A

Theo công thức Bayes, ta có: ${\rm{P}}\left( {B|A} \right) = \frac{{{\rm{P}}\left( B \right)\,.\,{\rm{P}}\left( {A|B} \right)}}{{{\rm{P}}\left( A \right)}} = \frac{{0{,}3\,.\,0{,}25}}{{0{,}4}} = 0{,}1875$.

Chọn C

A: sản phẩm tốt, B: sản phẩm được đưa ra thị trường.

Tỷ lệ sản phẩm được đưa ra thị trường là

$P(B) = P(A) \times P(B\mid A) + P(\bar A) \times P(B\mid \bar A) = 0{,}8 \times 0{,}95 + 0{,}2 \times 0{,}01 = 0{,}762$.

Chọn C

Gọi $A$ là biến cố “Phát tín hiệu $A$”

Gọi $B$ là biến cố “Phát tín hiệu $A$”

Gọi ${T_A}$ là biến cố “Phát được tín hiệu $A$”

Gọi ${T_B}$ là biến cố “Phát được tín hiệu $B$”

Ta cần tính $P\left( {{T_A}} \right)$

Với $P\left( {{T_A}} \right) = P\left( A \right).P\left( {{T_A}|A} \right) + P\left( B \right).P\left( {{T_A}|B} \right)$

Ta có

$$\begin{array}{l}P\left( A \right) = 0{,}85\\P\left( {{T_B}|A} \right) = \frac{1}{7} \Rightarrow P\left( {{T_A}|A} \right) = 1 - \frac{1}{7} = \frac{6}{7}\\P\left( B \right) = 0{,}15\\P\left( {{T_A}|B} \right) = \frac{1}{8}\end{array}$$

Do đó $P\left( {{T_A}} \right) = P\left( A \right).P\left( {{T_A}|A} \right) + P\left( B \right).P\left( {{T_A}|B} \right) = 0{,}85.\frac{6}{7} + 0{,}15.\frac{1}{8} = \frac{{837}}{{1120}}$.