26 bài tập Toán 9 Kết nối tri thức Bài 5. Bất đẳng thức và tính chất có đáp án

a) $a - 1 < a; - 2b < - 2b + 1$.

b) $2a < 2b + 1; - 3a > - 3b - 1$.

a) ta có: $\frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{1}{4} = \frac{5}{{20}}$

Mà $\frac{4}{5} = \frac{{16}}{{20}}$ nên $\frac{5}{{20}} < \frac{{16}}{{20}}$

Do đó: $\frac{1}{4} < \frac{4}{5} < {a^2} + \frac{4}{5}$ với $a \ne 0$

Vậy $\frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} < {a^2} + \frac{4}{5}$ với $a \ne 0$

b) $2m + 4 > 2n + 3$ với $m > n$

Ta có: $m > n$

Nhân $2$ vào hai vế

Ta được $2m > 2n$

Cộng $4$ vào hai vế

Ta được $2m + 4 < 2n + 3$

a) Cho $a > b > 0$. Chứng minh $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$. Ta có $a > b > 0$ do đó $\frac{1}{{ab}} > 0$

Nhân hai vế của bất đẳng thức $a > b$ cho $\frac{1}{{ab}}$

Ta được $a.\frac{1}{{ab}} > b.\frac{1}{{ab}}$ hay $\frac{1}{b} > \frac{1}{a}$

Do đó $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$

b) Áp dụng kết quả trên, so sánh $\frac{{2022}}{{2023}}$ và $\frac{{2023}}{{2024}}$

Ta có:

$$\begin{array}{l}\frac{{2022}}{{2023}} = 1 - \frac{1}{{2023}}\\\frac{{2023}}{{2024}} = 1 - \frac{1}{{2024}}\end{array}$$

Vì $\frac{1}{{2023}} > \frac{1}{{2024}}$ nên $1 - \frac{1}{{2023}} > 1 - \frac{1}{{2024}}$ hay $\frac{{2022}}{{2023}} < \frac{{2023}}{{2024}}$

Ta có: ${(x - y)^2} \ge 2xy$ với mọi số thực $x,y$

Suy ra ${x^2} + {y^2} \ge 2xy$

Suy ra ${x^2} + {y^2} - 2xy \ge 0$

Dấu “=” xảy ra khi ${(x - y)^2} = 0$ suy ra $x = y$

Ta có $a < b + c$( bất đẳng thức tam giác)

$$\Rightarrow 2a < a + b + c \Rightarrow a < \frac{{a + b + c}}{2}$$

Ta có: $A = 2{x^2} + 28x + 98 + 3 = 2{(x + 7)^2} + 3 \ge 3$.

Do đó min $A = 3$ khi và chỉ khi $x = - 7$

Ta có: $C = - {x^2} + 5x = - ({x^2} - 5x)$

$$\begin{array}{l} = - \left( {{x^2} - 2.\frac{5}{2}x + \frac{{25}}{4} - \frac{{25}}{4}} \right)\\ = - \left[ {{{\left( {x - \frac{5}{2}} \right)}^2} - \frac{{25}}{4}} \right]\\ = - {\left( {x - \frac{5}{2}} \right)^2} + \frac{{25}}{4} \le \frac{{25}}{4}\end{array}$$

Vậy max $C = \frac{{24}}{5}$ khi và chỉ khi $x = \frac{5}{2}$.

a) $ab \le \frac{{{{(a + b)}^2}}}{4} \Leftrightarrow 4ab \le {a^2} + 2ab + {b^2}$.$\Leftrightarrow {a^2} - 2ab + {b^2} \ge 0 \Leftrightarrow {(a - b)^2} \ge 0$

b) Ta có $\quad {a^2} + 1 \ge 2a;{b^2} + 1 \ge 2b;{c^2} + 1 \ge 2c$. Do đó $\quad {a^2} + {b^2} + {c^2} + 3 \ge 2(a + b + c)$ (dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi ${\rm{a}} = {\rm{b}} = {\rm{c}} = 1$ ).

a) $A = 2{x^2} + 28x + 98 + 3 = 2{(x + 7)^2} + 3 \ge 3$. Do đó $\min A = 3$ khi và chỉ khi ${\rm{x}} = - 7$.

b) $B = \frac{{{{(x + 1)}^2}}}{x} = \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{x} = x + \frac{1}{x} + 2$. Vì $x > 0$ nên $x + \frac{1}{x} \ge 2$, do đó $B \ge 4$.

Vậy $\min B = 4$ khi và chỉ khi $x = \frac{1}{x} \Leftrightarrow x = 1$.

a) $C = - {x^2} + 5x = - \left( {{x^2} - 5x} \right)$ $= - \left( {{x^2} - 2 \cdot \frac{5}{2}x + \frac{{25}}{4} - \frac{{25}}{4}} \right)$$= - \left[ {{{\left( {x - \frac{5}{2}} \right)}^2} - \frac{{25}}{4}} \right] = - {\left( {x - \frac{5}{2}} \right)^2} + \frac{{25}}{4} \le \frac{{25}}{4}$

Do đó $\max {\rm{C}} = \frac{{25}}{4}$ khi và chỉ khi $x = \frac{5}{2}$.

b) $D = (2 - 2x)(2x - 1) \le \frac{{{{[(2 - 2x) + (2x - 1)]}^2}}}{4}$$\Leftrightarrow {\rm{D}} \le \frac{1}{4}{\rm{. }}$$

Do đó $\max D = \frac{1}{4}$ khi và chỉ khi $2 - 2x = 2x - 1 \Leftrightarrow x = \frac{3}{4}$.

a) ${(x + y)^2} \le 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \Leftrightarrow 0 \le {(x - y)^2}$.

b) ${x^2} + {y^2} + {z^3} + 3 \ge 2(x + y + z) \Leftrightarrow {(x - 1)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 1)^2} \ge 0$.

${\rm{ c) }}\frac{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}{3} \ge {\left( {\frac{{x + y + z}}{3}} \right)^2}$$\Leftrightarrow 2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - 2xy - 2yz - 2zx \ge 0$$\Leftrightarrow {(x - y)^2} + {(y - z)^2} + {(z - x)^2} \ge 0.$

Giả sử ${\rm{x}},{\rm{y}} > 0$ và ${\rm{x}} + {\rm{y}} = {\rm{k}}$ (không đổi).Ta có $:(x - y) + 4xy = {(x + y)^2} = {k^2} \Rightarrow xy \le \frac{{{k^2}}}{4}$.

$A = \frac{1}{2}(2 - 2x)(2x - 1):\max A = \frac{1}{8}$

a)$B = x + \frac{1}{x} + 2 \ge 4;\min B = 4 \Leftrightarrow x = \frac{1}{x} \Leftrightarrow x = 1$.

b)$C = x - 1 + \frac{1}{{x - 1}} + 1 \ge 3;\min C = 3 \Leftrightarrow x = 2$.

${\rm{D}} = \frac{{{{\rm{x}}^2} + 4x + 4 - {{\rm{x}}^2} - 1}}{{{{\rm{x}}^2} + 1}} = \frac{{{{(x + 2)}^2}}}{{{{\rm{x}}^2} + 1}} - 1 \ge - 1$.

${\rm{D}} = \frac{{4\left( {{{\rm{x}}^2} + 1} \right) - \left( {4{{\rm{x}}^2} - 4x + 1} \right)}}{{{x^2} + 1}} = 4 - \frac{{{{(2x - 1)}^2}}}{{{x^2} + 1}} \le 4$.

$\min D = - 1,\max D = 4$