26 bài tập Toán 9 Kết nối tri thức Bài 3. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình có đáp án

Gọi chữ số hàng chục là $x$, chữ số hàng đơn vị là $y$

Điều kiện: $0 < x,y \le 9;\,x,y \in \mathbb{N}$

Theo Câu ra ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}10y + x = 10x + y + 45\\10x + y + 10y + x = 77\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 6\end{array} \right.$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy số đã cho là $16$

Gọi số tự nhiên cần tìm có dạng là $\overline {ab}$

Tổng chữ số đó bằng $12$ nên $a + b = 12$

Viết hai chữ số đó theo thứ tự ngược lại thì được số lớn hơn $N$ là $36$ đơn vị nên $10b + a - 10a - b = 36$ hay $- 9a + 9b = 36$

Ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}a + b = 12\\ - 9a + 9b = 36\end{array} \right.$ suy ra $\left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = 8\end{array} \right.$

Vậy số tự nhiên cần tìm là $48$

Gọi thời gian người thứ nhất làm một mình hoàn thành công việc là $x$ (giờ, $x > 0$); người thứ hai làm một mình hoàn thành công việc là $y$ (giờ, $y > 0$)

Theo Câu ra ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{16}}\\\frac{{15}}{x} + \frac{6}{y} = 75\% \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 24\\y = 48\end{array} \right.$(thỏa mãn điều kiện)

Vậy nếu làm riêng thì người thứ nhất hoàn thành công việc trong $24$ giờ, người thứ hai hoàn thành công việc trong $48$ giờ

Gọi số sản phẩm tổ I được giao là $x$ (sản phẩm, $x \in \mathbb{N}$) và số sản phẩm tổ II được giao là $y$ (sản phẩm; $y \in \mathbb{N}$)

Theo Câu ra ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 600\\\frac{{180x}}{{100}} + \frac{{21y}}{{100}} = 120\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 200\\y = 400\end{array} \right.$(thỏa mãn điều kiện)

Vậy sản phẩm tổ I được giao là $200$ sản phẩm; tổ II được giao là $400$ sản phẩm

Gọi $a$(km/h) là tốc độ dòng nước và $b$(km/h) là tốc độ của ca nô khi nước yên lặng ($x,y > 0$)

Khi đó, tốc độ đi xuôi dòng là $a + b$ và tốc độ đi ngược dòng là $b - a$

Thời gian đi xuôi dòng là $1$giờ $30$phút, nên

$1{,}5.(a + b) = 42$ hay $a + b = 28$ (1)

Thời gian đi ngược dòng quãng đường đó hết $2$giờ $6$phút, nên

$2{,}1.(b - a) = 42$ hay $- a + b = 20$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}a + b = 28\\ - a + b = 20\end{array} \right.$

Giải hệ phương trình, ta được $\left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 24\end{array} \right.$

Vậy tốc độ của dòng nước là $4$km/h và tốc độ của ca nô khi nước yên lặng là $24$ km/h

Gọi $x$,$y$(km/h) lần lượt là vận tốc riêng của ca nô và vận tốc của dòng nước ($x > y > 0)$

Theo đề bài ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{81}}{{x + y}} + \frac{{42}}{{x - y}} = 5\\\frac{9}{{x + y}} + \frac{7}{{x - y}} = \frac{2}{3}\end{array} \right.$

Đặt $u = \frac{1}{{x + y}};v = \frac{1}{{x - y}}$ ta có: $\left\{ \begin{array}{l}81u + 42v = 5\\9u + 7v = \frac{2}{3}\end{array} \right.$

Giải hệ ta được $\left\{ \begin{array}{l}u = \frac{1}{{27}}\\v = \frac{1}{{21}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 27\\x - y = 21\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 24\\y = 3\end{array} \right.$( thỏa mãn điều kiện)

Gọi số học sinh đi tham quan là $x$(người; $x \in {\mathbb{N}^*}$) và số ô tô là $y$ (ô tô; $y \in {\mathbb{N}^*}$)

Theo Câu ra ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x = 40y + 5\\y = 41y - 3\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 325\\y = 8\end{array} \right.$( thỏa mãn điều kiện)

Vậy số hóc inh đi tham quan là $325$ học sinh và số ô tô là $8$

Gọi chiều dài của hình chữ nhật là $x$(cm, $x > 0$) và chiều rộng là $y$(cm, $y > 0$)

Theo đề bài, ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}(x + 1).(y + 1) = xy + 13\\(x - 2).(y - 1) = xy - 15\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 7\\y = 5\end{array} \right.$( thỏa mãn điều kiện)

Vậy chiều dài của hình chữ nhật là $7$ cm, chiều rộng là $5$ cm

Gọi $x,y$ lần lượt là số lần bắn được $8$ điểm và $6$ điểm

Vạn động viên thực hiện $100$ lần bắn nên $25 + 42 + x + 15 + y = 100$, tức là $x + y = 18$

Điểm trung bình sau $100$ lần bắn là $8{,}68$ điểm nên

$$\frac{{25.10 + 42.9 + x.8 + 15.7 + y.6}}{{100}} = 8{,}69$$

Suy ra $8x + 6y = 136$

Ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 18\\8x + 6y = 136\end{array} \right.$ suy ra $\left\{ \begin{array}{l}x = 14\\y = 4\end{array} \right.$

Vậy số lần bắn được $8$ điểm là $14$ lần và số lần bắn được $6$ điểm là $4$ lần

Gọi $x,y$ lần lượt là số thóc mỗi đơn vị thu hoạch được trong năm nay

Năm nay, hai đơn vị thu hoạch được $4095$ tấn thóc nên $x + y = 4095$

Vì năm nay, đơn vị thứ nhất làm vượt mức $15\%$ đơn vị thứ hai và làm vượt mức $12\%$ so với năm ngoái nên lượng thóc thu hoạch được ở năm ngoái của mỗi đơn vị lần lượt là $\frac{x}{{115\% }}$ và $\frac{y}{{112\% }}$

Do đó $\frac{x}{{115\% }} + \frac{y}{{112\% }} = 3600$

Ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 4095\\\frac{x}{{115\% }} + \frac{y}{{112\% }} = 3600\end{array} \right.$ suy ra $\left\{ \begin{array}{l}x = 2415\\y = 1680\end{array} \right.$

Vậy năm nay đơn vị thứ nhất thu hoạch được $2415$ tấn thóc và đơn vị thứ hai thu hoạch được $1680$ tấn thóc

Gọi $x,y$ là giá trị của tủ lạnh và máy giặt khi chưa giảm giá ($x,y > 0$)

Tổng số tiền của một chiếc tủ lạnh và một chiếc máy giặt là $25{,}4$ triệu đồng, nên ta có phương trình

$x + y = 25{,}4$ (1)

Tổng số tiền của một chiếc tủ lạnh và một chiếc máy giặt sau khi được giảm là $16{,}77$ triệu đồng, nên ta có phương trình

$0{,}6.x + 0{,}75.y = 16{,}77$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 25{,}4\\0{,}6.x + 0{,}75.y = 16{,}77\end{array} \right.$

Giải hệ phương trình ta được $\left\{ \begin{array}{l}x = 12{,}5\\y = 10{,}2\end{array} \right.$(thỏa mãn)

Gọi $x,y$ lần lượt là năng suất lúa giống mới và lúa giống cũ trên $1$ ha($x \in {\mathbb{N}^*},\,y \in {\mathbb{N}^*}$)

Người ta cấy $60$ ha lúa giống mới và $40$ha lúa giống cũ, thu được tất cả $660$ tấn thóc, nên ta có phương trình

$60x + 40y = 660$ (1)

Người ta thấy$3$ ha trồng lúa giống mới thu hoạch được ít hơn $4$ ha trồng lúa giống cũ là $3$ tấn, ta có phương trình

$4y - 3x = 3$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}60x + 40y = 660\\ - 3x + 4y = 3\end{array} \right.$

Giải hệ phương trình ta được $\left\{ \begin{array}{l}x = 11\\y = 9\end{array} \right.$(thỏa mãn)

Vậy năng suất lúa giống mới là $11$ ha và lúa giống cũ là $9$ ha

a) Gọi $x,y$ lần lượt là hệ số của $Fe$ và $C{l_2}$ thỏa mãn cân bằng phương trình hóa học

$$2Fe + 3C{l_2} \to 2FeC{l_3}$$

Cân bằng số nguyên tử $Fe$ và số nguyên tử $C{l_2}$ ở hai vế ta được hệ

$$\left\{ \begin{array}{l}2 = x\\2y = 3x\end{array} \right.$$

Giải hệ phương trình ta được $x = 2$ và $y = 3$

Đưa các hệ số tìm được vào phương trình hóa học, ta có

$$2Fe + 3C{l_2} \to 2FeC{l_3}$$

b) Gọi $x,y$ lần lượt là hệ số của $Fe$ và $Cl$ thỏa mãn cân bằng phương trình hóa học

$$xFeC{l_3} + Fe \to yFeC{l_2}$$

Cân bằng số nguyên tử $Fe$ và số nguyên tử $Cl$ ở hai vế ta được hệ

$$\left\{ \begin{array}{l}x + 1 = y\\3x = 2y\end{array} \right.$$

Giải hệ phương trình ta được $x = 2$ và $y = 3$

Đưa các hệ số tìm được vào phương trình hóa học, ta có

$$2FeC{l_3} + Fe \to 3FeC{l_2}$$

a) Gọi $x,y$ lần lượt là hệ số của $Ag$ và $C{l_2}$ trong phương trình hóa học ($x,y \in \mathbb{R}$)

$$xAg + yC{l_2} \to AgCl$$

Cân bằng số nguyên tử $Ag$ và số nguyên tử $C{l_2}$ ở hai vế ta được hệ

$$\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\2y = 1\end{array} \right.$$

Giải hệ phương trình ta được $x = 1$ và $y = \frac{1}{2}$

Đưa các hệ số tìm được vào phương trình hóa học, ta có

$$2Ag + \frac{1}{2}C{l_2} \to AgCl$$

Nhân hai vế của phương trình hóa học với $2$, ta được

$$4Ag + C{l_2} \to 2AgCl$$

b) Gọi $x,y$ lần lượt là hệ số của $C{O_2}$ và $C$ trong phương trình hóa học ($x,y \in \mathbb{R}$) $xC{O_2} + yC \to CO$

Cân bằng số nguyên tử $C$ và số nguyên tử $O$ ở hai vế ta được hệ

$$\left\{ \begin{array}{l}x + y = 1\\2x = 1\end{array} \right.$$

Giải hệ phương trình ta được $x = \frac{1}{2}$ và $y = \frac{1}{2}$

Đưa các hệ số tìm được vào phương trình hóa học, ta có

$$\frac{1}{2}C{O_2} + \frac{1}{2}C \to CO$$

Nhân hai vế của phương trình hóa học với $2$, ta được:

$$C{O_2} + C \to 2CO$$

Gọi số có hai chữ số là: $\overline {ab}$

Ta có hệ: $\left\{ \begin{array}{l}a + b = 11\\10b + a - (10a + b) = 27\end{array} \right.\,\,\, \Rightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = 7\end{array} \right.$

Số cần tìm là $47$.

Số cần tìm có dạng $\overline {x4y} \,$ta có hệ

$\left\{ \begin{array}{l}x + y = 13\\100x + 40 + y - (100y + 40 + x) = 99\end{array} \right.\, \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y = 7\end{array} \right.$

Gọi vận tốc của ô tô là $x\,(km/h)$ và thời gian đi của ô tô là $y\,\,(h)$$(x,y > 0)$.

Ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}(x + 20)(y - 1) = xy\\(x - 10)(y + 1) = xy\,\,\end{array} \right.\, \Rightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 40\\y = 3\end{array} \right.$

Gọi vận tốc thật của ca nô đi xuôi dòng là $x\,\,(km/h)$ và vận tốc thật của ca nô đi ngược dòng là $y\,\,(km/h)\,(x,y > 3)$

Ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x + 3 - (y - 3) = 9\\\frac{5}{3}(x + 3) + \frac{5}{3}(y - 3) = 85\end{array} \right.\,\, \Rightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 27\\y = 24\end{array} \right.$

Gọi vận tốc của xe máy là $x\,\,(km/h)$ và vận tốc của ô tô là $y\,\,(km/h)\,(x,y > 0)$

Ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{120}}{x} = \frac{{80}}{y}\\\frac{{104}}{y} - \frac{{96}}{x} = 1\end{array} \right.\,\, \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 60\\y = 40\end{array} \right.$

Gọi số cần tìm là $\overline {xyz}$, ta có:

$\begin{array}{l}100x + 10y + z = 11\left( {x + y + z} \right)\\89x = 10z + y = \overline {zy} \end{array}$

$\Rightarrow x = 1,y = 9,z = 8$ ta có số 198.

Gọi số sách trong mỗi giá là $x,y$ (x,y nguyên dương).

Ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 450\\y + 50 = \frac{4}{5}\left( {x - 50} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 300\\y = 150\end{array} \right.$

Gọi $x,y$ theo thứ tự là số lít dung dịch loại 1 và 2 $\left( {x,y > 0} \right)$.

Lượng axit nitơric chứa trong dung dịch loại 1 là $\frac{{30}}{{100}}x$ và loại 2 là $\frac{{55}}{{100}}y$.

Ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}x + y = 100\\\frac{{30}}{{100}}x + \frac{{55}}{{100}}y = 50.\end{array} \right.$

Giải hệ này ta được: $x = 20$ và $y = 80$.

Vậy lượng dung dịch loại 1 là 20 lít và loại 2 là 80 lít.

Gọi số sách ở giá thứ nhất là $x$ và số sách giá thứ hai là $y$ ($x,y$ nguyên dương).

Hai giá sách có 450 cuốn nên ta có phương trình $x + y = 450.$

Khi chuyển 50 cuốn từ giá thứ nhất sang giá thứ hai thì số sách ở giá thứ hai bằng $\frac{4}{5}$ số sách giá thứ nhất nên ta có: $y + 50 = \frac{4}{5}\left( {x - 50} \right).$

Ta có hệ phương trình

$\left\{ \begin{array}{l}x + y = 450\\y + 50 = \frac{4}{5}\left( {x - 50} \right).\end{array} \right.$

Giải hệ phương trình ta được $x = 300$ và $y = 150.$

Vậy số sách ở giá thứ nhất là 300 cuốn, ở giá thứ hai là 150 cuốn.

Gọi số lãi anh Quang và anh Bình được hưởng lần lượt là $x,y$ (triệu đồng, $x,y > 0$).

Vì số lãi của cả hai anh là 7 triệu đồng nên ta có phương trình $x + y = 7$.

Vì lãi tỉ lệ với vốn đã góp nên $\frac{x}{{15}} = \frac{y}{{13}}.$

Ta có hệ phương trình

$\left\{ \begin{array}{l}x + y = 7\\\frac{x}{{15}} = \frac{y}{{13}}.\end{array} \right.$

Giải hệ phương trình ta được $x = 3{,}75$ và $3{,}25$.

Vậy anh Quang được lãi 3750000 đồng và anh Bình được lãi 3250000 đồng.