26 bài tập Toán 9 Kết nối tri thức Bài 1. Khái niệm phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có đáp án

a. Thay $x = 1$ và $y = 1$ vào phương trình, ta có $2.1 - 1 - 1 = 0$. Vậy $(1\,;1)$ là nghiệm của phương trình.

b. Thay $x = 0{,}5$ và $y = 3$ vào phương trình, ta có $2.0{,}5 - 3 - 1 = - 3 \ne 0$. Vậy $(0{,}5\,;3)$ không là nghiệm của phương trình.

Với $(2\,;1\,)$, ta có $2 + 2 \cdot 1 - 4 = 0$ $\Rightarrow (\,2\,;\,1\,)$là nghiệm.

Với $(\,3\,; - 1)$, ta có $3 + 2 \cdot ( - 1) - 4 = - 3 \ne 0$$\Rightarrow (3; - 1)$ không là nghiệm.

Với $(\,0\,;\,5\,)$, ta có $0 + 2 \cdot 5 - 4 = 6 \ne 0$$\Rightarrow (\,0\,;\,5\,)$ không là nghiệm.

a) $\left\{ \begin{array}{l}y = - 2x + 6\\x \in \mathbb{R}\end{array} \right.$;

b) $\left\{ \begin{array}{l}y = - 3x + 2\\y \in \mathbb{R}\end{array} \right.$

c) $\left\{ \begin{array}{l}y = \frac{3}{2}x - \frac{1}{2}\\x \in \mathbb{R}\end{array} \right.$

d) $\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y \in \mathbb{R}\end{array} \right.$

e) $\left\{ \begin{array}{l}y = - 1\\x \in \mathbb{R}\end{array} \right.$

a) $3x - y - 2 = 0$$\Leftrightarrow y = 3x - 2$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \in \mathbb{R}\\y = 3x - 2\end{array} \right.$; b) $0x + 2y = 3$$\Leftrightarrow y = \frac{3}{2}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \in \mathbb{R}\\y = \frac{3}{2}\end{array} \right.$.

a) $(x;\, - 2x),\,x \in \mathbb{Z}$ b) $( - 3y;\,y),\,y \in \mathbb{Z}$

c) Từ $3x - 2y = 1 \Rightarrow y = \frac{{3x - 1}}{2} = x + \frac{{x - 1}}{2}$

Vì $y \in \mathbb{Z}$nên $\frac{{x - 1}}{2} = t \in \mathbb{Z} \Rightarrow \,x = 2t + 1$

Khi đó: $y = 3t + 1\,$.Vậy $\left\{ \begin{array}{l}x = 2t + 1\\y = 3t + 1\end{array} \right.;\,t \in \mathbb{Z}$

a) i) $a = 1$;

ii) Không tồn tại;

iii) $a = - 1.$

b) $A\left( {1;\,\frac{1}{2}} \right)$.

a) $A( - 1;\,1);\,B(3;1);\,C(3;\, - 3);\,D( - 1;\, - 3)$

b) $BD:y = x - 2$; $AC:y = - x\,$

c) $S = 2$.

1. Thay $x = 1,y = 2$ vào phương trình ta có $m.1 + 2 - 5 = 0$$\Leftrightarrow m = 3$.

2. Thay $x = 0,y = 3$ vào đường thẳng, ta có $4.0 + m.3 = 6$$\Leftrightarrow m = 2$.

a) Cặp số $\left( {1;2} \right)$ không phải là nghiệm của phương trình (1) vì:

$3 \cdot 1 + 2 \cdot 2 = 7 \ne 4$

Cặp số $\left( {2; - 1} \right)$ là nghiệm của phương trình (1) vì:

$3 \cdot 2 + 2 \cdot \left( { - 1} \right) = 4$

b) Vì cặp số $\left( {4;{y_0}} \right)$ là nghiệm của phương trình (1) nên:

$3 \cdot 4 + 2{y_0} = 4$

$12 + 2{y_0} = 4$

$2{y_0} = - 8$

${y_0} = - 4$

Vậy ${y_0} = - 4$.

c) Cặp số $\left( {0;2} \right)$ là nghiệm của phương trình (1) vì: $3 \cdot 0 + 2 \cdot 2 = 4$

Cặp số $\left( { - 2;5} \right)$ là nghiệm của phương trình (1) vì: $3 \cdot \left( { - 2} \right) + 2 \cdot 5 = 4$

a) Ta có:

Vậy 5 nghiệm của phương trình đã cho là: $\left( { - 2;\frac{7}{2}} \right),\left( { - 1;3} \right),\left( {0;\frac{5}{2}} \right),\left( {3;1} \right),\left( {1;2} \right)$.

b) Ta có: $y = \frac{{5 - x}}{2}$. Với mỗi giá trị $x$ tùy ý cho trước, ta luôn tìm được một giá trị $y$ tương ứng. Do đó phương trình đã cho vô số nghiệm.

Gọi $x$ (triệu đồng) là khoản đầu tư với lãi suất là 8% mỗi năm ($x > 0$). Khi đó, tiền lãi thu

được mỗi năm từ khoản đầu tư này là:

$8\% \cdot x = \frac{{2x}}{{25}}$ (triệu đồng)

Gọi $y$ (triệu đồng) là khoản đầu tư với lãi suất là 10% mỗi năm ($y > 0$). Khi đó, tiền lãi

thu được mỗi năm từ khoản đầu tư này là:

$10\% \cdot y = \frac{y}{{10}}$ (triệu đồng)

Ta có phương trình bậc nhất hai ẩn $x,y$ cho hai khoản đầu tư của cô Hạnh là:

$\frac{{2x}}{{25}} + \frac{y}{{10}} = 160$ hay $4x + 5y = 8000$

Ba nghiệm của phương trình trên là $\left( {100;1520} \right),\,\left( {5000;1200} \right),\,\left( {1000;800} \right)$

a) Hai phương trình tương ứng là: $5x + 3y = 39000$ và $6x + 2y = 42000$

b) Vì $x,y$ đồng thời thỏa mãn cả hai phương trình nói trên nên ta nói cặp

$\left( {x;y} \right) = \left( {6000;3000} \right)$ là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}5x + 3y = 39000\\6x + 2y = 42000\end{array} \right.$

a) Giả sử $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là điểm cố định mà đường thẳng luôn đi qua. Khi đó ta có:

$3{x_0} + m\left( {{y_0} - 1} \right) - 2 = 0$ với mọi $m$

$\left\{ \begin{array}{l}3{x_0} - 2 = 0\\{y_0} - 1 = 0\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = \frac{2}{3}\\{y_0} = 2\end{array} \right.$

Vậy $M\left( {\frac{2}{3};2} \right)$ là điểm cố định mà đường thẳng luôn đi qua khi $m$ thay đổi.

b) Giả sử Giả sử $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là điểm cố định mà đường thẳng luôn đi qua. Khi đó ta có:

$m{x_0} + \left( {m - 2} \right){y_0} = m$ với mọi $m$

$\left( {{x_0} + {y_0} - 1} \right)m - 2{y_0} = 0$

$\left\{ \begin{array}{l}{x_0} + {y_0} - 1 = 0\\ - 2{y_0} = 0\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 1\\{y_0} = 0\end{array} \right.$

Vậy $M\left( {1;0} \right)$ là điểm cố định mà đường thẳng luôn đi qua khi $m$ thay đổi.

* Ta thấy khi $x = 10$ và $y = 7$ thì:

$10x + 3y = 10 \cdot 10 + 3 \cdot 7 = 121 \ne 100$ nên $\left( {10;7} \right)$ không là nghiệm của phương trình thứ hai.

Vậy $\left( {10;7} \right)$ không là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

* Ta thấy khi $x = 7$ và $y = 10$ thì:

$x + y = 7 + 10 = 17$ nên $\left( {7;10} \right)$ là nghiệm của phương trình thứ nhất.

$10x + 3y = 10 \cdot 7 + 3 \cdot 10 = 100$ nên $\left( {7;10} \right)$ là nghiệm của phương trình thứ hai.

Vậy $\left( {7;10} \right)$ là nghiệm chung của hai phương trình, nghĩa là $\left( {7;10} \right)$ là một nghiệm của hệ phương trình đã cho. Vậy nen chia 7 quả cam mỗi quả thành 10 phần bằng nhau và chia 10 quả quýt mỗi quả thành 3 phần bằng nhau thì thỏa mãn yêu cầu Câu toán.

Gọi $x$ là số em nhỏ, $y$ là số quả hồng.

Vì mỗi người 5 quả thì thừa 5 quả nên ta có: $5x + 5 = y$ (1)

Vì mỗi người 6 quả thì một người không có nên ta có: $6\left( {x - 1} \right) = y$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình sau: $\left\{ \begin{array}{l}5x + 5 = y\\6\left( {x - 1} \right) = y\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}5x - y = 5\\6x - y = 6\end{array} \right.$

a) Với $m = 1$, ta có phương trình $2x + 3y = 3$

i) Thay $x = 3;\,y = 2$ vào phương trình, ta có: $2 \cdot 3 + 3 \cdot \left( { - 2} \right) = 6 \ne 3$

nên $\left( {3; - 2} \right)$ không là nghiệm của phương trình

ii) Thay $x = 0;\,y = 1$ vào phương trình ta có: $2 \cdot 0 + 3 \cdot 1 = 3$ nên $\left( {0;1} \right)$ là nghiệm của phương trình đã cho

iii) Thay $x = - 1;y = 0$ vào phương trình ta có: $2 \cdot \left( { - 1} \right) + 3 \cdot 0 = - 2 \ne 3$ nên $\left( { - 1;0} \right)$ không là nghiệm của phương trình.

b) Tìm nghiệm tổng quát

i. Với $m = - 1$ ta có phương trình $- 1 \cdot x + \left( { - 1 + 1} \right)y = 3 \Leftrightarrow x = - 3$

Vậy phương trình có nghiệm tổng quát $\left\{ \begin{array}{l}x = - 3\\y \in \mathbb{R}\end{array} \right.$

ii. Với $m = 2$ ta có phương trình $2x + 3y = 3 \Leftrightarrow y = \frac{{ - 2}}{3}x + 1$

Vậy phương trình có nghiệm tổng quát $\left\{ \begin{array}{l}x = - 3\\y = - \frac{2}{3}x + 1\end{array} \right.$

Hoặc $2x + 3y = 3 \Leftrightarrow x = - \frac{3}{2}y + \frac{3}{2}$

Vậy phương trình có nghiệm tổng quát $\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{3}{2}y + \frac{3}{2}\\y \in \mathbb{R}\end{array} \right.$

c) Tìm giá trị $m$ tương ứng khi phương trình nhận các cặp số sau làm nghiệm

i) Thay $x = 3;y = 1$ vào phương trình ta có $3m + \left( {m + 1} \right) \cdot 1 = 3 \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}$

ii) Thay $x = 2;y = 3$ vào phương trình ta có $2m + \left( {m + 1} \right) \cdot 3 = 3 \Leftrightarrow m = 0$

a) Cặp số $\left( {0;2} \right)$ là nghiệm của phương trình (1) vì $5 \cdot 0 + 4 \cdot 2 = 8$

Cặp số $\left( {4; - 3} \right)$ là nghiệm của phương trình (1) vì $5 \cdot 4 + 4 \cdot \left( { - 3} \right) = 8$

b) Cặp số $\left( {4; - 3} \right)$ là nghiệm của phương trình (2) vì $3 \cdot 4 + 5 \cdot \left( { - 3} \right) = - 3$

Do đó cặp số $\left( {4; - 3} \right)$ là nghiệm của hệ hai phương trình gồm (1) và (2).

c) Để vẽ đường thẳng $5x + 4y = 8$, ta chỉ cần xác định hai điểm tùy ý của nó, chẳng hạn $A\left( {0;2} \right)$ và $B\left( { - 4;7} \right)$ rồi vẽ đường thẳng đi qua hai điểm đó.

Để vẽ đường thẳng $3x + 5y = - 3$, ta chỉ cần xác định hai điểm tùy ý của nó, chẳng hạn $C\left( {4; - 3} \right)$ và $D\left( { - 1;0} \right)$ rồi vẽ đường thẳng đi qua hai điểm đó.

Thay $x = y = - 1$ vào phương trình $\left( {m - 1} \right)x - \left( {2m - 1} \right)y = - 1 - m$ ta được:

$\begin{array}{l}\left( {m - 1} \right)\left( { - 1} \right) - \left( {2m - 1} \right)\left( { - 1} \right) = - 1 - m\\ - m + 1 + 2m - 1 = - 1 - m\\2m = - 1\\m = - \frac{1}{2}\end{array}$

a) Tập nghiệm của phương trình $3x + 2y = 6$ được biểu diễn bởi hình vẽ bên

b) Diện tích tam giác tạo bởi $\left( d \right)$ với trục $Ox$ và $Oy$ là:

$S = \frac{1}{2}OA \cdot OB = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 = 3$ (đvdt).

Ta có: $500$kg = $500\,000$g

Lượng đường để doanh nghiệp sản xuất $x$ cái bánh nướng là $60x$ (g)

Lượng đường để doanh nghiệp sản xuất $y$ cái bánh nướng là $50y$ (g)

Lượng đường để doanh nghiệp sản xuất cả hai bánh là $500\,\,000$ (g)

Do đó ta có phương trình:

$60x + 50y = 500\,\,000$ hay $6x + 5y = 50\,\,000$ (1)

+ Thay $x = 5\,\,000,y = 4\,\,000$ vào phương trình (1) ta có: $6 \cdot 5\,\,000 + 5 \cdot 4\,\,000 = 50\,\,000$

$\Rightarrow \left( {5000;4000} \right)$ là một nghiệm của phương trình (1).

+ Thay $x = 4\,\,000,y = 5\,\,200$ vào phương trình (1) ta có: $6 \cdot 4\,\,000 + 5 \cdot 5\,\,200 = 50\,\,000$

$\Rightarrow \left( {4000;5000} \right)$ là một nghiệm của phương trình (1).

+ Thay $x = 2\,\,500,y = 7\,\,000$ vào phương trình (1) ta có: $6 \cdot 2\,\,500 + 5 \cdot 7\,\,000 = 50\,\,000$

$\Rightarrow \left( {2\,\,500;\,7\,\,000} \right)$ là một nghiệm của phương trình (1).

a) Gọi $x$ và $y$ lần lượt là số sticker loại I và loại II mà năm bạn đã mua

Do đó ta có phương trình $x + y = 5$ (1)

Số tiền trả cho sticker loại I là $2x$ nghìn đồng

Số tiền trả cho sticker loại II là $3y$ nghìn đồng

Do tổng số tiền mà năm bạn phải trả là 12 nghìn đồng nên ta có phương trình: $2x + 3y = 12$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 5\\2x + 3y = 12\end{array} \right.$

b) Thay giá trị $x = 3;y = 2$ vào hai phương trình trong hệ, ta có:

+ $3 + 2 = 5$

+ $2 \cdot 3 + 3 \cdot 2 = 12$

Suy ra cặp số $\left( {3;2} \right)$ là nghiệm của cả hai phương trình trong hệ

Do đó cặp số $\left( {3;2} \right)$ là nghiệm của hệ phương trình trên.

a) Gọi $x$ và $y$ lần lượt là số kilôgam thịt lợn và cá chép mà bác Ngọc đã mua

Do bán Ngọc mua $3{,}5$kg cả hai loại thịt lợn và cá chép nên ta có:

$x + y = 3{,}5$ (1)

Số tiền để mua $x$kg thịt lợn là $130x$ nghìn đồng

Số tiền để mua $y$kg thịt lợn là $50y$ nghìn đồng

Bác Ngọc đã chi $295$ nghìn đồng để mua hai loại thực phẩm trên nên ta có:

$130x + 50y = 295$ hay $26x + 10y = 59$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 3{,}5\\26x + 10y = 59\end{array} \right.$

b) Thay giá trị $x = 1{,}5$; $y = 2$ vào hai phương tình trong hệ, ta có:

+ $1{,}5 + 2 = 3{,}5$

+ $26 \cdot 1{,}5 + 10 \cdot 2 = 59$

Suy ra cặp số $\left( {1{,}5;2} \right)$ là nghiệm của cả hai phương trình trong hệ

Do đó cặp số $\left( {1{,}5;2} \right)$ là nghiệm của hệ phương trình trên.

Gọi $x,y$ lần lượt là số sản phẩm loại A và số sản phẩm loại B được sơn.

Sơn $x$ sản phẩm loại A cần $0{,}6x$kg sơn màu xanh và $0{,}3x$kg sơn màu vàng

Sơn $y$ sản phẩm loại B cần $0{,}5y$kg sơn màu xanh và $0{,}4y$kg sơn màu vàng

Cần sử dụng $85$kg sơn xanh để sơn tất cả các sản phẩm của hai loại nên ta có:

$0{,}6x + 0{,}5y = 85$ hay $6x + 5y = 850$ (1)

Cần sử dụng $50$kg sơn vàng để sơn tất cả các sản phẩm của hai loại nên ta có:

$0{,}3x + 0{,}4y = 50$ hay $3x + 4y = 500$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}6x + 5y = 850\\3x + 4y = 500\end{array} \right.$

b) Thay giá trị $x = 100,y = 50$ vào hai phương trình trong hệ ta có:

+ $6 \cdot 100 + 5 \cdot 50 = 850$

+ $3 \cdot 100 + 4 \cdot 50 = 500$

Suy ra cặp số $\left( {100;50} \right)$ là nghiệm của cả hai phương trình trong hệ.

Do đó cặp số $\left( {100;50} \right)$ là nghiệm của hệ phương trình trên.