25 câu trắc nghiệm Toán 11 Kết nối tri thức Bài 6: Cấp số cộng có đáp án

D

Theo định lí ta có công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng là: ${{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + }}\left( {{\rm{n}} - {\rm{1}}} \right){\rm{d}}$.

A

Xét đáp án A. Dãy số là cấp số cộng với công sai d = −4.

Xét đáp án B. Vì $- 3 = 1 + \left( { - 4} \right), - 6 = \left( { - 3} \right) + \left( { - 3} \right)$nên dãy số không là cấp số cộng.

Xét đáp án C. Vì $- 2 = 1 + \left( { - 3} \right), - 4 = \left( { - 2} \right) + \left( { - 2} \right)$ nên dãy số không là cấp số cộng.

Xét đáp án D. Vì $- 3 = 1 + \left( { - 4} \right), - 5 = \left( { - 3} \right) + \left( { - 2} \right)$nên dãy số không là cấp số cộng.

A

Ta có:${{\rm{u}}_{\rm{2}}}{\rm{ = }}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + d}} \Leftrightarrow {\rm{d = }}{{\rm{u}}_{\rm{2}}} - {{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ = 3}} - \left( { - {\rm{2}}} \right){\rm{ = 5}}$.

D

Ta có u$_{n}$ = u$_{1}$ + (n – 1)d = 7 + (n – 1).2 = 2n + 5.

A

Có u$_{1}$ = 4; u$_{2}$ = 4 + 2 = 6; u$_{3}$ = 6 + 2 = 8.

D

${{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + }}\left( {{\rm{n}} - {\rm{1}}} \right){\rm{d}} \Leftrightarrow {\rm{100 = }} - {\rm{5 + }}\left( {{\rm{n}} - {\rm{1}}} \right){\rm{.3}} \Leftrightarrow \left( {{\rm{n}} - {\rm{1}}} \right){\rm{.3 = 105}} \Leftrightarrow {\rm{n}} - {\rm{1 = 35}} \Leftrightarrow {\rm{n = 36}}$.

B

$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{{\rm{u}}_{\rm{4}}}{\rm{ = }} - {\rm{12}}}\\{{{\rm{u}}_{{\rm{14}}}}{\rm{ = 18}}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 3d = }} - {\rm{12}}}\\{{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 13d = 18}}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ = }} - {\rm{21}}}\\{{\rm{d = 3}}}\end{array}} \right.$.

A

${{\rm{S}}_{{\rm{10}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{10}}{\rm{.}}\left[ {{\rm{2}}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 9d}}} \right]}}{{\rm{2}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{10}}{\rm{.}}\left[ {{\rm{2}}{\rm{.2 + 9}}{\rm{.}}\left( { - {\rm{3}}} \right)} \right]}}{{\rm{2}}}{\rm{ = }} - {\rm{115}}$.

A

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}{u_5} = - 15\\{u_{20}} = 60\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 4d = - 15\\{u_1} + 19d = 60\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 35\\d = 5\end{array} \right.$.

Do đó ${S_{20}} = \frac{{\left( {{u_1} + {u_{20}}} \right)20}}{2} = 250$.

B

Có u$_{4}$ = u$_{1}$ + 3d = 8 mà u$_{1}$ = 2. Suy ra d = 2.

Do đó u$_{5}$ = u$_{1}$ + 4d = 2 + 4.2 = 10.

B

Giả sử cấp số cộng gồm 5 số hạng ${{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{, }}{{\rm{u}}_{\rm{2}}}{\rm{, }}{{\rm{u}}_{\rm{3}}}{\rm{, }}{{\rm{u}}_{\rm{4}}}{\rm{, }}{{\rm{u}}_{\rm{5}}}$.

Theo đề bài ta có ${{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ = 2, }}{{\rm{u}}_{\rm{5}}}{\rm{ = 22}}$

$${{\rm{u}}_{\rm{5}}}{\rm{ = }}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 4d}} \Leftrightarrow {\rm{22 = 2 + 4d}} \Leftrightarrow {\rm{4d = 20}} \Leftrightarrow {\rm{d = 5}}$$

Vậy ta cần viết thêm các số: ${{\rm{u}}_{\rm{2}}}{\rm{ = 2 + 5 = 7; }}{{\rm{u}}_{\rm{3}}}{\rm{ = 7 + 5 = 12; }}{{\rm{u}}_{\rm{4}}}{\rm{ = 12 + 5 = 17}}$.

A

Dãy số 1; 4; 7; …; 100 là một cấp số cộng có số hạng đầu u$_{1}$ = 1, số hạng cuối u$_{n}$ = 100, công sai d = 3.

Ta có $n = \frac{{{u_n} - {u_1}}}{d} + 1 = \frac{{100 - 1}}{3} + 1 = 34$.

Suy ra $S = {S_{34}} = \frac{{\left( {{u_1} + {u_{34}}} \right)34}}{2} = \frac{{\left( {1 + 100} \right)34}}{2} = 1717$.

D

Số cây ở mỗi hàng theo thứ tự là một cấp số cộng có u$_{1}$ = 10, công sai d = 2

$\Rightarrow$ u$_{10}$ = 10 + 9.2 = 28.

B

Theo đề bài ta có dãy số chỉ số cây trồng mỗi hàng là một cấp số cộng có số hạng đầu u$_{1}$ = 1 và công sai d = 1.

Ông Sơn đã trồng hết 11325 cây nên ta có:

$${S_n} = \frac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2} \Leftrightarrow 11325 = \frac{{n\left[ {2.1 + \left( {n - 1} \right).1} \right]}}{2} \Leftrightarrow n\left( {2 + n - 1} \right) = 22650$$

$\Leftrightarrow n\left( {n + 1} \right) = 22650 \Leftrightarrow {n^2} + n - 22650 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{n = - 151\left( L \right)}\\{n = 150\left( {TM} \right)}\end{array}} \right.$.

Vậy có 150 hàng cây được trồng theo cách trên.

C

Ở lần cắt đầu tiên có ${{\rm{T}}_{\rm{1}}}{\rm{ = 4}}$ tam giác.

Ở lần cắt thứ hai có ${{\rm{T}}_1} - 1$ tam giác được giữ nguyên và có thêm 4 tam giác được tạo thành. Vậy ở lần cắt thứ hai có ${{\rm{T}}_{\rm{2}}}{\rm{ = }}\left( {{{\rm{T}}_{\rm{1}}} - {\rm{1}}} \right){\rm{ + 4 = }}{{\rm{T}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 3}}$ tam giác.

Ở lần cắt thứ ba có ${{\rm{T}}_{\rm{2}}} - 1$ tam giác được giữ nguyên và có thêm 4 tam giác được tạo thành. Vậy ở lần cắt thứ ba có ${{\rm{T}}_{\rm{3}}}{\rm{ = }}\left( {{{\rm{T}}_{\rm{2}}} - {\rm{1}}} \right){\rm{ + 4 = }}{{\rm{T}}_{\rm{2}}}{\rm{ + 3}}$ tam giác.

…

Ở lần cắt thứ n có ${{\rm{T}}_{{\rm{n}} - {\rm{1}}}} - 1$ tam giác được giữ nguyên và có thêm 4 tam giác được tạo thành. Vậy ở lần cắt thứ n có ${{\rm{T}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}\left( {{{\rm{T}}_{{\rm{n}} - {\rm{1}}}} - {\rm{1}}} \right){\rm{ + 4 = }}{{\rm{T}}_{{\rm{n}} - {\rm{1}}}}{\rm{ + 3}}$ tam giác.

Vậy dãy số (T$_{n}$) là một cấp số cộng có số hạng đầu ${{\rm{T}}_{\rm{1}}} = 4$ và công sai d = 3.

Tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy số (T$_{n}$) là:

${{\rm{S}}_{{\rm{100}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{100}}\left[ {{\rm{2}}{{\rm{T}}_{\rm{1}}}{\rm{ + }}\left( {{\rm{100}} - {\rm{1}}} \right){\rm{d}}} \right]}}{{\rm{2}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{100}}\left[ {{\rm{2}}{\rm{.4 + 99}}{\rm{.3}}} \right]}}{{\rm{2}}}{\rm{ = 15250}}$.

a) u$_{1}$ = 5.1 – 8 = −3.

b) d = u$_{2}$ – u$_{1}$ = 2 – (−3) = 5.

c) u$_{100}$ = 5.100 – 8 = 492.

d) ${S_{10}} = \frac{{10}}{2}\left( {2{u_1} + 9d} \right) = 5\left[ {2.\left( { - 3} \right) + 9.5} \right] = 195$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} - {u_3} + {u_5} = 15\\{u_1} + {u_6} = 27\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} - \left( {{u_1} + 2d} \right) + \left( {{u_1} + 4d} \right) = 15\\{u_1} + {u_1} + 5d = 27\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 2d = 15\\2{u_1} + 5d = 27\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 21\\d = - 3\end{array} \right.$.

a) u$_{1}$ = 21.

b) d = −3.

c) u$_{11}$ = u$_{1}$ + 10d = 21 + 10.(−3) = −9.

d) Ta có u$_{n}$ = u$_{1}$ + (n – 1)d Û −6048 = 21 + (n – 1). (−3) Û −3n + 24 = −6048 Û n = 2024.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

a) Đặt u$_{1}$ = −1; u$_{2}$ = 2; u$_{3}$ = 5; u$_{4}$ = 8; u$_{5}$ = 11; u$_{6}$ = 14; u$_{7}$ = 17.

Ta có u$_{2}$ – u$_{1}$ = u$_{3}$ – u$_{2}$ = u$_{4}$ – u$_{3}$ = u$_{5}$ – u$_{4}$ = u$_{6}$ – u$_{5}$ = u$_{7}$ – u$_{6}$ = 3.

Vậy dãy số hữu hạn đã cho là một cấp số cộng.

b) u$_{1}$ = −1.

c) u$_{2}$ – u$_{1}$ = u$_{3}$ – u$_{2}$ = u$_{4}$ – u$_{3}$ = u$_{5}$ – u$_{4}$ = u$_{6}$ – u$_{5}$ = u$_{7}$ – u$_{6}$ = 3.

Công sai cấp số cộng là d = 3.

d) Ta có ${S_7} = \frac{{7\left[ {2{u_1} + \left( {7 - 1} \right)d} \right]}}{2} = \frac{{7\left[ {2.\left( { - 1} \right) + 6.3} \right]}}{2} = 56$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

a) Giá của chiếc ô tô trong năm thứ 2 là u$_{2}$ = 680 – 50 = 630 triệu đồng.

b) Dãy số (u$_{n}$) là cấp số cộng với công sai d = −50.

c) Giá của chiếc ô tô sau 3 năm sử dụng: u$_{4}$ = u$_{1}$ + 3d = 680 – 3.50 = 530 triệu đồng.

d) Ta có u$_{n}$ < 340 Û u$_{1}$ + (n – 1)d < 340 Û 680 + (n – 1).(−50) < 340

Û −50n + 730 < 340 Û n > 7,8.

Suy ra đến năm thứ 8 thì giá trị của chiếc xe nhỏ hơn một nửa giá trị ban đầu của nó.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

a) Trong phương án 1: dãy số tiền lương là cấp số cộng có số hạng đầu tiên là u$_{1}$ = 120, công sai d$_{1}$ = 18.

b) u$_{3}$ = 120 + 2.18 = 156 triệu.

c) Tổng tiền lương người lao động nhận được trong ba năm là

${S_3} = \frac{{\left( {{u_1} + {u_3}} \right).3}}{2} = \frac{{\left( {120 + 156} \right).3}}{2} = 414$ triệu.

d) Trong phương án 2: Dãy số tiền lương là cấp số cộng có số hạng đầu tiên là v$_{1}$ = 24, công sai d$_{2}$ = 1,8, lương tăng theo quý. Ba năm tương ứng với 12 quý.

Ta có v$_{12}$ = 24 + 11.1,8 = 43,8 triệu.

Tổng số tiền lương nhận được sau 3 năm tương ứng với 12 quý là:

${S_{12}} = \frac{{\left( {{v_1} + {v_{12}}} \right).12}}{2} = \left( {24 + 43{,}8} \right).6 = 406{,}8$ triệu.

Ta nhận thấy 406,8< 414.

Vậy nếu kí hợp đồng lao động trong ba năm, với mong muốn nhận được tổng số tiền lương cao nhất thì người lao động nên chọn phương án 1.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

Kí hiệu u$_{n}$ là chiều cao so với mực nước biển của thửa ruộng ở bậc thứ n. Khi đó, dãy số (u$_{n}$) là cấp số cộng với u$_{1}$ = 950 và d = 1,4.

Ta có u$_{16}$ = u$_{1}$ + 15d = 950 + 15.1,4 = 971.

Vậy thửa ruộng ở bậc thứ 16 có độ cao 971 m so với mực nước biển.

Trả lời: 971.

Gọi u$_{n}$ là tiền lương anh Nam nhận được vào năm thứ n.

Ta có (u$_{n}$) là cấp số cộng với u$_{1}$ = 35000, d = 1400.

Theo đề ta có S$_{n}$ = 319200 Û $\frac{{\left[ {2.35000 + \left( {n - 1} \right).1400} \right].n}}{2} = 319200$ Þ n = 8.

Vậy anh Nam mất 8 năm làm việc để được tổng lương là 319200 USD.

Trả lời: 8.

Ta có chiều dài của mỗi mặt cầu thang theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu tiên là u$_{1}$ = 196, công sai d = −7 và số hạng cuối cùng là u$_{n}$ = 56.

Khi đó u$_{n}$ = u$_{1}$ + (n – 1)d $\Leftrightarrow$ 56 = 196 – 7(n – 1) $\Leftrightarrow$ n = 21.

Tổng chiều dài của 21 hình chữ nhật đó là ${S_{21}} = \frac{{{u_1} + {u_{21}}}}{2}.21 = 2646$.

Diện tích của 21 bậc thang là S = 35.2546 = 92610 (cm$^{2}$) = 9,261 (m$^{2}$).

Tổng số tiền để làm cầu thang đó là: T = 9,261.1,25 = 11,57625 triệu đồng ≈ 12 triệu đồng.

Trả lời: 12.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}{u_4} = 10\\{u_4} + {u_6} = 26\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 3d = 10\\{u_1} + 3d + {u_1} + 5d = 26\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 3d = 10\\2{u_1} + 8d = 26\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\d = 3\end{array} \right.$.

Trả lời: 1.

Kể từ lúc 1 giờ đến 24 giờ số tiếng chuông được đánh lập thành cấp số cộng có 24 số hạng với u$_{1}$ = 1, công sai d = 1.

Vậy số tiếng chuông được đánh trong 1 ngày là $S = {S_{24}} = \frac{{24}}{2}\left( {{u_1} + {u_{24}}} \right) = 12\left( {1 + 24} \right) = 300$.

Trả lời: 300.