25 bài tập Hai mặt phẳng song song – vuông góc (có lời giải)

Các mặt phẳng $(P),(Q),(R),(S)$ có các vectơ pháp tuyến lần lượt là ${\vec n_1} = (4;3;1)$, ${\vec n_2} = (8;6;2),{\vec n_3} = (8;6;2),{\vec n_4} = (4;2;1)$.

a) Ta có ${\vec n_2} = 2{\vec n_1},9 \ne 2.5$. Vậy $(P)//(Q)$.

b) Ta có ${\vec n_3} = 2{\vec n_1},10 = 2.5$. Vậy $(P) \equiv (R)$.

c) Ta có $\frac{4}{4} \ne \frac{3}{2}$ suy ra ${\vec n_1}$ và ${\vec n_4}$ không cùng phương. Vậy $(P)$ cắt $(S)$.

Dễ thấy điểm $M$ không nằm trên $(P)$. Vì $(Q)//(P)$ nên $(Q)$ có vectơ pháp tuyến là $\vec n = (2;1;1)$.

Phương trình mặt phẳng $(Q)$ đi qua $M$ và có vectơ pháp tuyến $\vec n$ là:

$2(x - 1) + (y - 2) + (z - 3) = 0{\rm{ hay }}2x + y + z - 7 = 0.{\rm{ }}$

Các mặt phẳng $(E),(F),(G),(H)$ có các vectơ pháp tuyến lần lượt là $\vec n = (2; - 1;8)$, ${\vec n_1} = (8; - 4;32),{\vec n_2} = (6; - 3;24),{\vec n_3} = (10; - 5;41)$.

a) Ta có ${\vec n_1} = 4\vec n$ và $7 \ne 4$. 1. Vậy $(E)//(F)$.

b) Ta có ${\vec n_2} = 3\vec n$ và $3 = 3$. 1. Vậy $(E) \equiv (H)$.

c) Ta có $\frac{2}{{10}} \ne \frac{8}{{41}}$ suy ra $\vec n$ và ${\vec n_3}$ không cùng phương. Vậy $(E)$ cắt $(G)$.

Các mặt phẳng $(P),(Q),(R)$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là ${\vec n_1} = (1; - 4;3),{\vec n_2} = (4;1;0)$, ${\vec n_3} = (1;1;1)$.

Ta có ${\vec n_1} \cdot {\vec n_2} = 1.4 + ( - 4).1 + 3.0 = 0$. Vậy $(P) \bot (Q)$.

Ta có ${\vec n_1} \cdot {\vec n_3} = 1 \cdot 1 + ( - 4) \cdot 1 + 3.1 = 0$. Vậy $(P) \bot (R)$.

Gọi $\overrightarrow {{n_\beta }} = (2; - 1;3)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\beta )$.

( $\alpha$ ) vuông góc với $(\beta )$ nên $\overrightarrow {{n_\beta }} = (2; - 1;3)$ có giá song song hoặc nằm trong $(\alpha )$.

$(\alpha )$ đi qua $A$ và $B$ nên $\overrightarrow {AB} = ( - 1; - 2;5)$ có giá nằm trong $(\alpha )$.

Hơn nữa $\overrightarrow {AB} = ( - 1; - 2;5)$ và $\overrightarrow {{n_\beta }} = (2; - 1;3)$ không cùng phương nên chúng là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng $(\alpha )$.

Do đó mặt phẳng $(\alpha )$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_u}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{n_\beta }} } \right] = ( - 1;13;5)$.

Vậy phương trình của $(\alpha )$ là:

$- 1(x - 3) + 13(y - 1) + 5(z + 1) = 0{\rm{ hay }}x - 13y - 5z + 5 = 0.$

Các vectơ ${\vec n_1} = (4; - 3; - 2),{\vec n_2} = (5; - 2;13)$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng $\left( {{P_1}} \right)$ và $\left( {{P_2}} \right)$.

Vì ${\vec n_1} \cdot {\vec n_2} = 4 \cdot 5 + ( - 3) \cdot ( - 2) + ( - 2) \cdot 13 = 0$ nên ${\vec n_1} \bot {\vec n_2}$. Vậy $\left( {{P_1}} \right) \bot \left( {{P_2}} \right)$.

Hai mặt phẳng $\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right)$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là ${\vec n_1} = (2; - 1; - 3),{\vec n_2} = (6; - 3; - 9).$

Vì ${\vec n_2} = 3{\vec n_1}$ và ${D_1} = 1 \ne 3.1 = 3{D_1}$ nên $\left( {{P_1}} \right)//\left( {{P_2}} \right)$.

Hai mặt phẳng $\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right)$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là ${\vec n_1} = (1; - 1; - 2),{\vec n_2} = (1; - 1;1)$.

Vì ${\vec n_1} \cdot {\vec n_2} = 1 \cdot 1 + ( - 1) \cdot ( - 1) + ( - 2) \cdot 1 = 0$ nên ${\vec n_1} \bot {\vec n_2}$. Vậy $\left( {{P_1}} \right) \bot \left( {{P_2}} \right)$.

a) Mp $(Oxy)$ đi qua điểm $O(0;0;0)$ và có vectơ pháp tuyến là $\vec k = (0;0;1)$ nên có phương trình là $z = 0$.

Mp$(Oyz)$ đi qua điểm $O(0;0;0)$ và có vectơ pháp tuyến là $\vec i = (1;0;0)$ nên có phương trình là $x = 0$.

Mp $(Oxz)$ đi qua điểm $O(0;0;0)$ và có vectơ pháp tuyến là $\vec j = (0;1;0)$ nên có phương trình là $y = 0$.

b) Mặt phẳng đi qua điểm $A( - 1;9;8)$ và song song với mặt phẳng $(Oxy)$ thì có vectơ pháp tuyến là $\vec k = (0;0;1)$ nên có phương trình là $z - 8 = 0$.

Mặt phẳng đi qua điểm $A( - 1;9;8)$ và song song với mă̆t phẳng $(Oyz)$ thì có vectơ pháp tuyến là $\vec i = (1;0;0)$ nên có phương trình là $x + 1 = 0$.

Mặt phẳng đi qua điểm $A( - 1;9;8)$ và song song với mặt phẳng $(Oxz)$ thì có vectơ pháp tuyến là $\vec j = (0;1;0)$ nên có phương trình là $y - 9 = 0$.

Hai mặt phẳng $(\alpha ),(\beta )$ có vectơ pháp tuyến tương ứng là $\vec n = (1; - 3;2),\overrightarrow {{n^\prime }} = (5;1; - 1)$.

Ta có $\vec n \cdot \overrightarrow {{n^\prime }} = 1 \cdot 5 + ( - 3) \cdot 1 + 2 \cdot ( - 1) = 0$ nên $\vec n \bot \overrightarrow {{n^\prime }}$. Do đó $(\alpha )$ vuông góc với $(\beta )$.

Mặt phẳng $(Q)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_Q}} = (1;3;1)$. Mặt phẳng $(P)$ đi qua A, B và vuông góc với $(Q)$ nên có cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {AB} = (1;2;3)$ và $\overrightarrow {{n_Q}} = (1;3;1)$. Do đó $(P)$ có vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = ( - 7;2;1)$.

Mặt phẳng $(P)$ đi qua $A(1;2; - 2)$ và có vectơ pháp tuyến ${\vec n_P} = ( - 7;2;1)$ nên có phương trình: $- 7x + 2y + z - (( - 7) \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 1 \cdot ( - 2)) = 0 \Leftrightarrow 7x - 2y - z - 5 = 0$.

Các mặt phẳng trên có vectơ pháp tuyến tương ứng là $\overrightarrow {{n_\alpha }} = (3; - 1;1),\overrightarrow {{n_\beta }} = (3\sqrt 2 ; - \sqrt 2 ;\sqrt 2 )$.

Do $\overrightarrow {{n_\beta }} = \sqrt 2 \cdot \overrightarrow {{n_\alpha }}$ và $1 \ne \sqrt 2 \cdot \sqrt 2$ nên hai mặt phẳng $(\alpha )$ và $(\beta )$ song song với nhau.

a) Ta có $\overrightarrow {{n_\alpha }} = (5;2; - 4),\overrightarrow {{n_\beta }} = (10;4; - 2)$ không cùng phương nên (a) và ( $\beta$ ) không song song với nhau.

b) Ta có $5.1 + 2.( - 3) - 4.5 + 6 = - 15 \ne 0$. Do đó điểm $M(1; - 3;5)$ không thuộc mặt phẳng (a).

Ta có $10.1 + 4.( - 3) - 2.5 + 12 = 0$. Do đó điểm ${\rm{M}}(1; - 3;5)$ thuộc mặt phẳng $(\beta )$.

c) Vi (P) // ( $\alpha$) nên mặt phẳng (P) nhận $\overrightarrow {{n_\alpha }} = (5;2; - 4)$ làm một vectơ pháp tuyến.

Mặt phằng $({\rm{P}})$ đi qua ${\rm{M}}(1; - 3;5)$, có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_\alpha }} = (5;2; - 4)$ có phương trình là: $5(x - 1) + 2(y + 3) - 4(z - 5) = 0$ hay $5x + 2y - 4z + 21 = 0$.

Vì $(Q)//(P)$ nên mặt phẳng $(Q)$ có vectơ pháp tuyến là $\vec n = (3; - 5;4)$.

Phương trình mặt phẳng $(Q)$ là: $3(x - 1) - 5(y + 5) + 4(z - 0) = 0 \Leftrightarrow 3x - 5y + 4z - 28 = 0.$

Mặt phẳng $(\alpha )$ có cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {AB} = (4;2;2),{\vec n_\beta } = (2; - 1;1)$ nên có vectơ pháp tuyến là $\vec n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,{{\vec n}_\beta }} \right] = (4;0; - 8)$.

Phương trình mặt phẳng $(\alpha )$ là: $4(x - 1) + 0(y - 0) - 8(z - 1) = 0 \Leftrightarrow x - 2z + 1 = 0.$

Mặt phẳng $(R)$ có cặp vectơ chỉ phương là ${\vec n_P} = (4; - 2;6),{\vec n_Q} = (2;2;2)$ nên có vectơ pháp tuyến là $\vec n = \left[ {{{\vec n}_P},{{\vec n}_Q}} \right] = ( - 16;4;12)$.

Phương trình mặt phẳng $(R)$ là: $- 16(x - 1) + 4(y - 2) + 12(z + 1) = 0 \Leftrightarrow - 4x + y + 3z + 5 = 0.$

Vì $(P)//(Q)$ nên $\vec n = (3; - 2;4)$ là một vectơ pháp tuyến của $(P)$. Vậy phương trình $(P)$ là:

$3 \cdot (x - 4) - 2 \cdot (y + 3) + 4 \cdot (z - 7) = 0 \Leftrightarrow 3x - 2y + 4z - 46 = 0$.

Ta có: ${\vec n_1} = (1; - 1;0),{\vec n_2} = (0;1;1)$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng $(Q),(R)$ và $\left[ {{{\vec n}_1},{{\vec n}_2}} \right] = ( - 1; - 1;1)$.

Vì $(P)$ vuông góc với hai mặt phẳng $(Q),(R)$ nên vectơ pháp tuyến của $(P)$ vuông góc với cả ${\vec n_1}$ và ${\vec n_2}$. Suy ra $\left[ {{{\vec n}_1},{{\vec n}_2}} \right]$ là một vectơ pháp tuyến của $(P)$.

Vậy phương trình $(P)$ là:

$( - 1) \cdot (x - 1) - 1 \cdot (y + 2) + 1 \cdot (z - 4) = 0 \Leftrightarrow - x - y + z - 5 = 0$.

Ta có $\overrightarrow {{n_Q}} = (3;2; - 1),\overrightarrow {{n_R}} = (1;1; - 1)$

Vi $({\rm{P}}) \bot ({\rm{Q}})$ và $({\rm{P}}) \bot ({\rm{R}})$ nên $\overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {{n_Q}} ,\overrightarrow {{n_R}} } \right] = ( - 1;2;1)$

Mặt phẳng $({\rm{P}})$ đi qua điểm ${\rm{M}}(1; - 1;5)$ và nhận $\overrightarrow {{n_P}} = ( - 1;2;1)$ làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là:

$- (x - 1) + 2(y + 1) + (z - 5) = 0 \Leftrightarrow x - 2y - z + 2 = 0$

Gọi mặt phẳng cần tìm là mặt phẳng $({\rm{P}})$.

Ta có $\vec i = (1;0;0)$ và $\overrightarrow {{n_Q}} = (1;2; - 3)$. Vì ${\rm{(P) // Ox }}$ và ${\rm{ (P) }} \bot ({\rm{Q}})$ nên $\overrightarrow{{n}_{P}}=[\overrightarrow{i},\overrightarrow{{n}_{Q}}]=(0;3;2)$

Mặt phẳng đi qua ${\rm{M}}(2;3; - 1)$ và nhận $\overrightarrow {{n_P}} = (0;3;2)$ làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là: $3(y - 3) + 2(z + 1) = 0 \Leftrightarrow 3y + 2z - 7 = 0$.

a) Xét $(\alpha ):2x - 3y + z + 5 = 0$ và $\left( {{\alpha ^\prime }} \right): - 4x + 6y - 2z + 7 = 0$.

Ta có $\frac{2}{{ - 4}} = \frac{{ - 3}}{6} = \frac{1}{{ - 2}} \ne \frac{5}{7}$ nên $(\alpha )//\left( {{\alpha ^\prime }} \right)$.

b) Mặt phẳng $(\alpha )$ có vectơ pháp tuyến $\vec n = (2; - 3;1)$.

Vì $(\beta )//(\alpha )$ nên $(\beta )$ có vectơ pháp tuyến $\vec n = (2; - 3;1)$.

Vậy mặt phẳng $(\beta )$ đi qua điểm $M(1; - 2;3)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec n = (2; - 3;1)$ nên có phương trình:

$2(x - 1) - 3(y + 2) + 1(z - 3) = 0{\rm{ hay }}2x - 3y + z - 11 = 0.{\rm{ }}$

Ba mặt phẳng $\left( {{\alpha _1}} \right),\left( {{\alpha _2}} \right)$ và $\left( {{\alpha _3}} \right)$ lần lượt có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_1}} = (3; - 2; - 1),\overrightarrow {{n_2}} = (2;4; - 2)$ và $\overrightarrow {{n_3}} = (1;2; - 1)$.

Ta có: $\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} = 3 \cdot 2 + ( - 2) \cdot 4 + ( - 1) \cdot ( - 2) = 0$ nên $\left( {{\alpha _1}} \right) \bot \left( {{\alpha _2}} \right)$;

$\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_3}} = 3 \cdot 1 + ( - 2) \cdot 2 + ( - 1) \cdot ( - 1) = 0$ nên $\left( {{\alpha _1}} \right) \bot \left( {{\alpha _3}} \right)$;

$\overrightarrow {{n_2}} \cdot \overrightarrow {{n_3}} = 2 \cdot 1 + 4 \cdot 2 + ( - 2) \cdot ( - 1) = 12 \ne 0$ nên $\left( {{\alpha _2}} \right),\left( {{\alpha _3}} \right)$ không vuông góc với nhau.

Gọi $\overrightarrow {{n_\beta }} = (2; - 1;3)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\beta )$.

$(\alpha )$ vuông góc với $(\beta )$ nên $\overrightarrow {{n_\beta }} = (2; - 1;3)$ có giá song song hoặc nằm trong $(\alpha )$.

$(\alpha )$ đi qua $A$ và $B$ nên $\overrightarrow {AB} = ( - 1; - 2;5)$ có giá nằm trong $(\alpha )$.

Hơn nửa $\overrightarrow {AB} = ( - 1; - 2;5)$ và $\overrightarrow {{n_\beta }} = (2; - 1;3)$ không cùng phương nên chúng là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng $(\alpha )$.

Do đó mặt phẳng $(\alpha )$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{n_\beta }} } \right] = ( - 1;13;5)$.

Vậy phương trình của $(\alpha )$ là: $- 1(x - 3) + 13(y - 1) + 5(z + 1) = 0{\rm{ hay }}x - 13y - 5z + 5 = 0.{\rm{ }}$