22 câu trắc nghiệm Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 1. Nguyên hàm (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án

Chọn C

$\int {2f\left( x \right)dx} = 2F\left( x \right) + C$.

Chọn A

$\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} = \int {f\left( x \right)dx} + \int {g\left( x \right)dx}$.

Chọn B

$G\left( x \right) = \int {\left[ {f\left( x \right) - 1} \right]dx} = \int {f\left( x \right)dx} - \int {dx} = F\left( x \right) - x + C$.

Chọn C

$\int {\frac{1}{{{x^2}}}dx} = - \frac{1}{x} + C$.

Chọn B

$F\left( x \right) = \int {\left( {\sin x + \cos x} \right)dx} = \sin x - \cos x + C$.

Chọn C

$F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {{x^2} + 2} \right)} dx = \frac{{{x^3}}}{3} + 2x + C$.

Chọn D

$\int {f\left( x \right)dx} = \frac{{{e^{2x}}}}{2} - \frac{1}{3}\cos 3x + C$.

Chọn C

$\int {f\left( x \right)dx} = \frac{{{5^x}}}{{\ln 5}} + C$.

Chọn B

Ta có $f\left( x \right) = 4{\sin ^2}x = 2\left( {1 - \cos 2x} \right) = 2 - 2\cos 2x$.

Lúc đó $\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {2 - 2\cos 2x} \right)dx} = 2x - \sin 2x + C$.

Chọn D

$\int {f\left( x \right)dx} = \int {\frac{1}{{\sqrt x }}dx} = 2\sqrt x + C$.

Vì $F\left( 1 \right) = 1$ nên $2\sqrt 1 + C = 1 \Rightarrow C = - 1$.

Do đó $F\left( x \right) = 2\sqrt x - 1$. Do đó $F\left( 4 \right) = 2\sqrt 4 - 1 = 3$.

Chọn A

Ta có $f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} = \int {\frac{1}{{{x^2} - 2025}}dx = \frac{1}{{90}}\int {\left( {\frac{1}{{x - 45}} - \frac{1}{{x + 45}}} \right)dx} }$$= \frac{1}{{90}}\ln \left| {\frac{{x - 45}}{{x + 45}}} \right| + C$.

Mà $f\left( {25} \right) = 0 \Rightarrow \frac{1}{{90}}\ln \frac{2}{7} + C = 0 \Rightarrow C = - \frac{1}{{90}}\ln \frac{2}{7}$.

Khi đó $f\left( x \right) = \frac{1}{{90}}\ln \left| {\frac{{x - 45}}{{x + 45}}} \right| - \frac{1}{{90}}\ln \frac{2}{7}$.

Do đó $f\left( { - 50} \right) = \frac{1}{{90}}\ln 19 - \frac{1}{{90}}\ln \frac{2}{7} = \frac{1}{{90}}\ln \frac{{133}}{2} \approx 0{,}047 \in \left( {0;1} \right)$.

Chọn C

Ta có $f\left( x \right) = {\left( {x\sin x + C} \right)^\prime } = \sin x + x\cos x \Rightarrow f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1$.

Ta có $F\left( x \right) = \int {\frac{1}{x}dx} = \ln \left| x \right| + C = \ln \left( { - x} \right) + C$ vì $x \in \left( { - \infty ;0} \right)$.

Mà $F\left( { - 2} \right) = 0$ nên $\ln 2 + C = 0 \Rightarrow C = - \ln 2$. Do đó $F\left( x \right) = \ln \left( { - x} \right) - \ln 2$.

a) $F\left( { - 2e} \right) = \ln \left( {2e} \right) - \ln 2 = \ln 2 + 1 - \ln 2 = 1$.

b) $F\left( { - 3} \right) = \ln 3 - \ln 2 = \ln \frac{3}{2}$.

c) $f\left( { - 4} \right) = \frac{1}{{ - 4}} = - \frac{1}{4}$.

d) $F'\left( { - 1} \right) = f\left( { - 1} \right) = - 1$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

$F\left( x \right) = \int {\left( {2x + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)dx} = {x^2} - \frac{1}{x} + C$.

a) F(1) = 3 $\Rightarrow C = 3$. Khi đó $F\left( x \right) = {x^2} - \frac{1}{x} + 3$.

b) F(1) = 0 $\Rightarrow C = 0$. Khi đó $F\left( x \right) = {x^2} - \frac{1}{x}$.

Khi đó $F\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} - \frac{1}{x} = 0 \Leftrightarrow x = 1$.

c) Đồ thị hàm số $y = F\left( x \right)$ đi qua điểm $M\left( { - 1;2} \right)$ nên $F\left( { - 1} \right) = 2$$\Rightarrow C = 0$.

Khi đó $F\left( x \right) = {x^2} - \frac{1}{x}$. Suy ra $F\left( 2 \right) = {2^2} - \frac{1}{2} = \frac{7}{2}$.

d) $F\left( { - 2} \right) = \frac{1}{4}$ $\Rightarrow C = - \frac{{17}}{4}$ $\Rightarrow F\left( x \right) = {x^2} - \frac{1}{x} - \frac{{17}}{4}$.

Hàm số $g\left( x \right) = xF\left( x \right)$$= x\left( {{x^2} - \frac{1}{x} - \frac{{17}}{4}} \right) = {x^3} - \frac{{17}}{4}x - 1$.

Ta có $g'\left( x \right) = 3{x^2} - \frac{{17}}{4} = 0 \Rightarrow x = \frac{{\sqrt {51} }}{2}$ vì $x \in \left( {0; + \infty } \right)$.

Do đó hàm số có 1 điểm cực trị.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai.

a) $v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt} = \int {4\cos t} dt = 4\sin t + C$.

Mà $v\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow 4\sin 0 + C = 0 \Rightarrow C = 0$.

Khi đó $v\left( t \right) = 4\sin t$ m/s.

b) $v\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = 4\sin \frac{\pi }{6} = 2$ m/s.

c) $v\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 4\sin \frac{\pi }{4} = 2\sqrt 2$ m/s.

d) $a\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 4\cos \frac{\pi }{4} = 2\sqrt 2$ m/s2.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

a) Ta có $\int {f\left( x \right)dx} = \int {\frac{{2x + 1}}{x}dx} = \int {\left( {2 + \frac{1}{x}} \right)dx = 2x + 2\ln \left| x \right| + C}$.

b) Ta có $\int {f\left( x \right)dx} = \int {\frac{{2x + 1}}{x}dx} = \int {\left( {2 + \frac{1}{x}} \right)dx} = 2x + \ln \left| x \right| + C$.

Suy ra $F\left( x \right) = 2x + \ln \left| x \right| + C$.

Mà $F\left( 1 \right) = 0 \Leftrightarrow 2.1 + C = 0 \Leftrightarrow C = - 2$$\Rightarrow F\left( x \right) = 2x + \ln \left| x \right| - 2$.

Vậy $F\left( 2 \right) = 2.2 + \ln 2 - 2 = 2 + \ln 2$.

c) Ta có $f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{x} = 2 + \frac{1}{x} \Rightarrow f\left( {2x} \right) = 2 + \frac{1}{{2x}}$.

$\int {f\left( {2x} \right)dx} = \int {\left( {2 + \frac{1}{{2x}}} \right)dx = 2x + \frac{1}{2}\ln \left| x \right| + C}$.

Mà $F\left( x \right) = 2x + \ln \left| x \right| + C \Rightarrow F\left( {2x} \right) = 4x + \ln \left| {2x} \right| + C$.

Vậy $F\left( {2x} \right)$ không phải là một nguyên hàm của hàm số $f\left( {2x} \right)$.

d) Hàm số $f\left( {{e^x}} \right) = 2 + \frac{1}{{{e^x}}} = 2 + {e^{ - x}}$ $\Rightarrow \int {f\left( {{e^x}} \right)} dx = \int {\left( {2 + {e^{ - x}}} \right)dx} = 2x - {e^{ - x}} + C$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.

a) $f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}} = \frac{{2\left( {x - 1} \right) + 3}}{{x - 1}} = 2 + \frac{3}{{x - 1}}$.

b) $\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {2 + \frac{3}{{x - 1}}} \right)dx} = 2x + 3\ln \left| {x - 1} \right| + C$.

c) Theo câu b, $F\left( x \right) = 2x + 3\ln \left| {x - 1} \right| + C$ mà $F\left( 2 \right) = 1$ $\Rightarrow F\left( 2 \right) = 2.2 + 3\ln \left| {2 - 1} \right| + C = 1 \Rightarrow C = - 3$.

Do đó $F\left( x \right) = 2x + 3\ln \left| {x - 1} \right| - 3$.

d) $F\left( x \right) = 2x + 2$$\Leftrightarrow 2x + 3\ln \left| {x - 1} \right| - 3 = 2x + 2$$\Leftrightarrow \ln \left| {x - 1} \right| = \frac{5}{3}$$\Leftrightarrow \left| {x - 1} \right| = {e^{\frac{5}{3}}}$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 + {e^{\frac{5}{3}}}\\x = 1 - {e^{\frac{5}{3}}}\end{array} \right.$.

Suy ra $T = {x_1} + {x_2} = 2$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

Ta có $\int {\left( {7 + 5{{\cot }^2}x} \right)dx} = \int {\left( {2 + 5\left( {1 + {{\cot }^2}x} \right)} \right)dx}$$= \int {\left( {2 + \frac{5}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx}$$= 2x - 5\cot x + C$.

Suy ra $a = 2;b = - 5;c = 1$. Vậy $a + 4b + c = 2 - 20 + 1 = - 17$.

Trả lời: −17.

Vận tốc của con cá là $v\left( t \right) = s'\left( t \right) = - \frac{t}{5} + 4$.

Vận tốc thực của cá khi bơi ngược dòng là $v\left( t \right) - 2 = - \frac{t}{5} + 2$.

Có $s\left( t \right) = \int {\left( { - \frac{t}{5} + 2} \right)dt} = - \frac{{{t^2}}}{{10}} + 2t + C$.

Mà $S\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0$ $\Rightarrow S\left( t \right) = - \frac{{{t^2}}}{{10}} + 2t = - \frac{1}{{10}}\left( {{t^2} - 20t} \right) = - \frac{1}{{10}}{\left( {t - 10} \right)^2} + 10 \le 10$.

Vậy khoảng cách xa nhất mà cá hồi có thể bơi ngược dòng để đẻ trứng là 10 km.

Trả lời: 10.

Số lượng vi sinh vật tại thời điểm $x$ giờ chính là

$f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} = \int {\left( {{x^2} + 8x} \right)dx} = \frac{{{x^3}}}{3} + 4{x^2} + C$.

Có $f\left( 3 \right) = 50$$\Rightarrow C = 5$.

Vậy $f\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} + 4{x^2} + 5$.

Khi đó $f\left( 6 \right) = \frac{{{6^3}}}{3} + {4.6^2} + 5 = 221$.

Trả lời: 221.

Theo đề ta có $F'\left( x \right) = f\left( x \right)$.

Ta có $F'\left( x \right) = \left( {2ax + b} \right)\sqrt {2x - 3} + \left( {a{x^2} + bx + c} \right).\frac{1}{{\sqrt {2x - 3} }}$$= \frac{{\left( {2ax + b} \right).\left( {2x - 3} \right) + \left( {a{x^2} + bx + c} \right)}}{{\sqrt {2x - 3} }}$

$= \frac{{5a{x^2} + \left( { - 6a + 3b} \right)x + \left( { - 3b + c} \right)}}{{\sqrt {2x - 3} }}$.

Vì $F'\left( x \right) = f\left( x \right)$ nên $\left\{ \begin{array}{l}5a = 20\\ - 6a + 3b = - 30\\ - 3b + c = 7\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = - 2\\c = 1\end{array} \right. \Rightarrow P = - 8$.

Trả lời: −8.

Ta có $f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} = \int {\left( {12{x^2} + 2} \right)dx} = 4{x^3} + 2x + C$.

Mà $f\left( 1 \right) = 3 \Rightarrow C = - 3$. Do đó $f\left( x \right) = 4{x^3} + 2x - 3$.

Lại có $F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {4{x^3} + 2x - 3} \right)dx} = {x^4} + {x^2} - 3x + C$.

Mà $F\left( 0 \right) = 2 \Rightarrow C = 2$. Do đó $F\left( x \right) = {x^4} + {x^2} - 3x + 2$.

Vậy $F\left( 1 \right) = {1^4} + {1^2} - 3.1 + 2 = 1$.

Trả lời: 1.