22 câu trắc nghiệm Toán 12 Cánh diều Bài tập cuối chương IV (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án

Chọn D

Diện tích cần tìm là $S = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {\left( { - {x^2} + 3} \right) - \left( {2{x^2} + 3x - 3} \right)} \right|dx}$$= \int\limits_{ - 2}^1 {\left| { - 3{x^2} - 3x + 6} \right|dx}$$= \int\limits_{ - 2}^1 {\left( { - 3{x^2} - 3x + 6} \right)dx}$

$= \left. {\left( { - {x^3} - 3\frac{{{x^2}}}{2} + 6x} \right)} \right|_{ - 2}^1 = 13{,}5$.

Chọn B

$F\left( x \right) = \int {\frac{1}{x}dx} = \ln \left( { - x} \right) + C,\forall x \in \left( { - \infty ;0} \right)$.

Chọn B

$\int\limits_0^4 {f'\left( x \right)dx = \left. {f\left( x \right)} \right|_0^4} = f\left( 4 \right) - f\left( 0 \right)$$\Rightarrow f\left( 4 \right) = \int\limits_0^4 {f'\left( x \right)} + f\left( 0 \right) = 6 + 2 = 8$.

Chọn C

$\int\limits_1^2 {3f(x)dx} = 3\int\limits_1^2 {f(x)dx} = 3.4 = 12$.

Chọn B

Khi ô tô dừng hẳn thì $v(t) = 30 - 3t = 0 \Leftrightarrow t = 10$.

Quãng đường ô tô di chuyển được là $s = \int\limits_0^{10} {\left( {30 - 3t} \right)dt} = \left. {\left( {30t - \frac{{3{t^2}}}{2}} \right)} \right|_0^{10} = 150$m.

Chọn A

Diện tích cần tìm là $S = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\left| {\cos x} \right|dx}$$= \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\cos xdx}$$= \left. {\sin x} \right|_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} = \frac{{\sqrt 2 - 1}}{2}$.

Chọn D

Thể tích cần tìm là $V = \pi \int\limits_{ - 1}^2 {{{\left( {x + 1} \right)}^2}dx} = \left. {\pi \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}{3}} \right|_{ - 1}^2 = 9\pi$.

Chọn A

Ta có $f\left( x \right) = {\left( {\frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + C} \right)^\prime } = {3^x}$.

Chọn B

$\int {kf(x)dx = k\int {f(x)dx} }$ $(k \ne 0).$

Chọn A

$\int\limits_0^1 {\left( {{x^2} + 3{x^3}} \right)dx} = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{3{x^4}}}{4}} \right)} \right|_0^1 = \frac{{13}}{{12}}$.

Suy ra $m = 13;n = 12$. Do đó $12m - 13n = 0$.

Chọn B

Thể tích của vật thể $V = \int\limits_{ - 1}^1 {{{\left( {3x} \right)}^2}dx}$.

Chọn A

Hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $K$ nếu: $F'\left( x \right) = f\left( x \right),\forall x \in K$.

a) $F'(x) = f(x),\forall x \in \mathbb{R}.$

b) $\int\limits_1^3 {f(x)dx = } 10$ $\Leftrightarrow \left. {F\left( x \right)} \right|_1^3 = 10$ $\Leftrightarrow F\left( 3 \right) - F\left( 1 \right) = 10$.

c) $\int\limits_{}^{} {f(x)} dx = F(x) + C$, với C là một hằng số.

d) $\int\limits_1^3 {(x + f(x))} dx = \int\limits_1^3 x dx + \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} = \left. {\frac{{{x^2}}}{2}} \right|_1^3 + 10 = 4 + 10 = 14$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

a) Phương trình hoành độ giao điểm: ${x^2} = - x$$\Leftrightarrow {x^2} + x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 0\end{array} \right.$.

Vậy đồ thị của hai hàm số $f(x)$và $g(x)$cắt nhau tại hai điểm có hoành độ lần lượt là $0$và $- 1$.

b) Diện tích hình phẳng (H1) là ${S_1} = \int\limits_{ - 1}^0 {\left| {{x^2}} \right|dx} = \int\limits_{ - 1}^0 {{x^2}dx} = \left. {\frac{{{x^3}}}{3}} \right|_{ - 1}^0 = \frac{1}{3}$.

c) Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình (H1) quanh trục Ox bằng

$V = \pi \int\limits_{ - 1}^0 {{x^4}dx} = \left. {\pi \frac{{{x^5}}}{5}} \right|_{ - 1}^0 = \frac{\pi }{5}$.

d) Diện tích hình phẳng (H2) là ${S_2} = \int\limits_{ - 1}^0 {\left| {{x^2} + x} \right|dx} = - \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {{x^2} + x} \right)dx} = \left. { - \left( {\frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_{ - 1}^0 = \frac{1}{6}$.

Có $\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = 2$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

a) $\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} = \left. {F\left( x \right)} \right|_1^3 = F\left( 3 \right) - F\left( 1 \right)$.

b) $F\left( x \right) = \int {\left( {{x^2} + 2x} \right)dx} = \frac{{{x^3}}}{3} + {x^2} + C$.

Mà $F\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow C = 1$. Do đó $F\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} + {x^2} + 1$.

Vậy $F\left( 2 \right) = \frac{{{2^3}}}{3} + {2^2} + 1 = \frac{{23}}{3}$.

c) $\int\limits_0^2 {kf\left( x \right)dx} = 2$$\Leftrightarrow k\int\limits_0^2 {\left( {{x^2} + 2x} \right)dx} = 2$$\Leftrightarrow \left. {k\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + {x^2}} \right)} \right|_0^2 = 2$$\Leftrightarrow \frac{{20k}}{3} = 2$$\Leftrightarrow k = \frac{3}{{10}}$.

d) $\int\limits_1^3 {\frac{{f\left( x \right)}}{{{x^2}}}dx} = \int\limits_1^3 {\frac{{{x^2} + 2x}}{{{x^2}}}dx}$$= \int\limits_1^3 {\left( {1 + \frac{2}{x}} \right)dx}$$= \left. {\left( {x + 2\ln x} \right)} \right|_1^3$$= 2 + 2\ln 3$.

Suy ra a = 2; b = 3. Do đó $3a - 5b = - 9$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

a) Có $f'\left( x \right) = 1 + \frac{6}{{{x^2}}} = g\left( x \right)$.

Do đó f(x) là một nguyên hàm của hàm số $g\left( x \right) = 1 + \frac{6}{{{x^2}}}$.

b) $\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {x + 5 - \frac{6}{x}} \right)dx} = \frac{{{x^2}}}{2} + 5x - 6\ln \left| x \right| + C$.

c) Có $\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} = \left. {F\left( x \right)} \right|_1^2 = F\left( 2 \right) - F\left( 1 \right)$$\Rightarrow F\left( 2 \right) = F\left( 1 \right) + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} = 5 + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx}$.

d) $G\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + 5x - 6\ln \left| x \right| + C = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2}}}{2} + 5x - 6\ln x + {C_1}\;\;khi\;x \ge 0\\\frac{{{x^2}}}{2} + 5x - 6\ln \left( { - x} \right) + {C_2}\;\;khi\;x < 0\end{array} \right.$.

Ta có $G\left( 1 \right) = 4 \Rightarrow \frac{1}{2} + 5 + {C_1} = 4 \Rightarrow {C_1} = - \frac{3}{2}$.

Có $G\left( 2 \right) + G\left( { - 1} \right) = 5$$\Leftrightarrow 12 - 6\ln 2 - \frac{3}{2} - \frac{9}{2} + {C_2} = 5 \Rightarrow {C_2} = 6\ln 2 - 1$.

Khi đó $G\left( { - 6} \right) = \frac{{36}}{2} - 30 - 6\ln 6 + 6\ln 2 - 1 = - 13 - 6\ln 3$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

a) $\int\limits_2^5 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_2^5 {xdx}$.

b) $\int\limits_{ - 4}^{ - 2} {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{ - 4}^{ - 2} {\left( {{x^2} - x} \right)dx} = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_{ - 4}^{ - 2} = \frac{{74}}{3}$.

c) $I = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_{ - 1}^3 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx}$

$= 2\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx}$

$= 2\int\limits_{ - 1}^0 {\left( {{x^2} - x} \right)dx} + \int\limits_0^1 {xdx} + \int\limits_0^3 {xdx}$

$= \left. {2\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_{ - 1}^0 + \left. {\frac{{{x^2}}}{2}} \right|_0^1 + \left. {\frac{{{x^2}}}{2}} \right|_0^3$

$= \frac{5}{3} + \frac{1}{2} + \frac{9}{2} = \frac{{20}}{3}$.

d) $\int\limits_{ - 2}^1 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{ - 2}^0 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}$$= \int\limits_{ - 2}^0 {\left( {{x^2} - x} \right)dx} + \int\limits_0^1 {xdx}$$= \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_{ - 2}^0 + \left. {\frac{{{x^2}}}{2}} \right|_0^1 = \frac{{14}}{3} + \frac{1}{2} = \frac{{31}}{6}$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

Vì parabol $\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c$ đi qua các điểm $A(0;3)$, $B(2;7)$và $C(4;3)$nên ta có:

$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{3 = c}\\{4a + 2b + c = 7}\\{16a + 4b + c = 3}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{c = 3}\\{a = - 1}\\{b = 4}\end{array}} \right.} \right. \Rightarrow (P):y = - {x^2} + 4x + 3$

Vì đường thẳng $\left( d \right):y = ax + b$ đi qua các điểm $B(2;7)$và $C(4;3)$nên ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}2a + b = 7\\4a + b = 3\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\b = 11\end{array} \right. \Rightarrow (d):y = - 2x + 11$

Vậy $f(x) = \left\{ \begin{array}{l} - {x^2} + 4x + 3,\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{}&{khi\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{}&{0 \le x \le 2}\end{array}}\end{array}\\ - 2x + 11,\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{}&{khi\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{}&{2 \le x \le 4}\end{array}}\end{array}\end{array} \right.$

Do đó: $I=\int _{0}^{4}f(x)\text{d}x=\int _{0}^{2}f(x)\text{d}x+\int _{2}^{4}f(x)\text{d}x=\int _{0}^{2}(-{x}^{2}+4x+3)\text{d}x+\int _{2}^{4}(-2x+11)\text{d}x=\frac{64}{3}\approx 21{,}3$.

Trả lời: 21,3.

Gọi phương trình parabol $\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c$. Do tính đối xứng của parabol nên ta có thể chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ sao cho $\left( P \right)$ có đỉnh $I \in Oy$.

Ta có hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{3 = c,\left( {I(0;3) \in \left( P \right)} \right)}\\{\frac{9}{4}a - \frac{3}{2}b + c = 0\left( {A( - \frac{3}{2};0) \in \left( P \right)} \right)}\\{\frac{9}{4}a + \frac{3}{2}b + c = 0\left( {B(\frac{3}{2};0) \in \left( P \right)} \right)}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{c = 3}\\{a = - \frac{4}{3}}\\{b = 0}\end{array}} \right.} \right.$.

Vậy $\left( P \right):y = - \frac{4}{3}{x^2} + 3$.

Dựa vào đồ thị, diện tích cửa parabol là: .

Số tiền phải trả là: $6.1700000 = 10200000 = 10{,}2$ triệu đồng.

Trả lời: 10,2.

Sau khi phanh, xe chuyển động chậm dần đều và khi dừng lại thì

$v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow a - 2t = 0 \Rightarrow t = \frac{a}{2}$.

Vậy sau khi phanh, xe đạp điện đi được quãng đường là:

$s={\int }_{0}^{\frac{a}{2}}(a-2t)\text{dt}={(at-{t}^{2})|}_{0}^{\frac{a}{2}}=\frac{{a}^{2}}{2}-\frac{{a}^{2}}{4}=\frac{{a}^{2}}{4}$ .

Theo đề ra ta có: $\frac{{{a^2}}}{4} \le 9 \Rightarrow {a^2} \le 36 \Rightarrow a \le 6$. Vậy giá trị lớn nhất của $a$là 6.

Trả lời: 6.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, hình dạng khung trại là parabol có phương trình $y = f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c$, vì đỉnh trại cao 3m và bề ngang rộng 3m nên parabol đi qua điểm $\left( {0;3} \right)$ và $\left( {\frac{3}{2};0} \right)$.

Ta có : $\left\{ \begin{array}{l}b = 0\\3 = c\\0 = a.{\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} + c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 0\\a = - \frac{4}{3}\\c = 3\end{array} \right.$

Suy ra parabol có phương trình $y = f\left( x \right) = - \frac{4}{3}{x^2} + 3$.

Mỗi mặt phẳng vuông góc $Ox$ tại điểm có hoành độ $x,\,0 \le x \le h$ cắt khối chóp theo mặt cắt là hình chữ nhật có độ dài các cạnh lần lượt là $5$ và $\,\left| {f\left( x \right)} \right|$, có diện tích $S\left( x \right) = 5.\left| {f\left( x \right)} \right|$ , với $- \frac{3}{2} \le x \le \frac{3}{2}$.

Vậy thể tích phần không gian trong trại là $V = \int_{ - \frac{3}{2}}^{\frac{3}{2}} {5.\left| {f\left( x \right)} \right|} dx = 5.\int_{ - \frac{3}{2}}^{\frac{3}{2}} {\left| { - \frac{4}{3}{x^2} + 3} \right|dx = 30\,\,\,{m^3}}$.

Trả lời: 30.

$\int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {\left( {\frac{a}{{{x^2}}} + \frac{b}{x} + 2} \right)dx} = \left. {\left( { - \frac{a}{x} + b\ln x + 2x} \right)} \right|_{\frac{1}{2}}^1$$= a + 1 + b\ln 2$.

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}a + 1 = 2\\b = - 3\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 3\end{array} \right.$. Do đó $T = a + b = - 2$.

Trả lời: −2.