22 câu trắc nghiệm Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài tập ôn tập chương 1 (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án

D

Ta có (OM, ON) $= \frac{\pi }{7} + k2\pi ,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Với k = 2 $\Rightarrow \left( {OM,ON} \right) = \frac{{29\pi }}{7}$.

B

$\sin \left( {\pi - a} \right) = \sin a = - \frac{1}{2}$.

B

$T = \sin \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right) - \sin \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)$ $= 2\cos \frac{\pi }{3}\sin x$$= \sin x$.

D

Ta có $\frac{1}{{{{\cos }^2}a}} = 1 + {\tan ^2}a = 1 + 4 = 5 \Rightarrow {\cos ^2}a = \frac{1}{5}$.

Mà $0 < a < \frac{\pi }{2}$ nên $\cos a = \frac{{\sqrt 5 }}{5}$.

B

Điều kiện $\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

D

$\sin \left( {a - 19^\circ } \right).\cos \left( {a + 11^\circ } \right) - \sin \left( {a + 11^\circ } \right)\cos \left( {a - 19^\circ } \right)$

$= \sin \left[ {\left( {a - 19^\circ } \right) - \left( {a + 11^\circ } \right)} \right]$$= - \sin 30^\circ = - \frac{1}{2}$.

C

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số y = cosx đồng biến trên khoảng (π; 2π).

D

$315^\circ = \frac{{315\pi }}{{180}} = \frac{{7\pi }}{4}rad$.

A

Ta có −1 £ cos2024x £ 1 Þ −2 £ 2cos2024x £ 2 Þ −3 £ 2cos2024x −1 £ 1.

Do đó tập giá trị của hàm số T = [−3; 1].

B

$\sin \frac{x}{2} = 1$$\Leftrightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi }{2} + k2\pi$$\Leftrightarrow x = \pi + k4\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

D

$A = \frac{{\sin a + \sin 3a + \sin 5a}}{{\cos a + \cos 3a + \cos 5a}}$$= \frac{{\left( {\sin a + \sin 5a} \right) + \sin 3a}}{{\left( {\cos a + \cos 5a} \right) + \cos 3a}}$$= \frac{{2\sin 3a\cos 2a + \sin 3a}}{{2\cos 3a\cos 2a + \cos 3a}}$

$= \frac{{\sin 3a\left( {2\cos 2a + 1} \right)}}{{\cos 3a\left( {2\cos 2a + 1} \right)}}$$= \tan 3a$.

A

Điều kiện $\cos \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) \ne 0$$\Leftrightarrow x + \frac{\pi }{6} \ne \frac{\pi }{2} + k\pi$$\Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

$\tan \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) = - 1$$\Leftrightarrow x + \frac{\pi }{6} = - \frac{\pi }{4} + k\pi$$\Leftrightarrow x = - \frac{{5\pi }}{{12}} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$ (thỏa mãn điều kiện).

a) Vì $- 3\pi < x < - \frac{{5\pi }}{2}$ nên sinx < 0.

b) Vì cosx < 0 và sinx < 0 nên cotx > 0.

c) Có ${\sin ^2}x = 1 - {\cos ^2}x = 1 - {\left( { - 0{,}3} \right)^2} = \frac{{91}}{{100}}$ mà sinx < 0 nên $\sin x = - \frac{{\sqrt {91} }}{{10}}$.

Suy ra $\tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = \frac{{ - \sqrt {91} }}{{10}}: - 0{,}3 = \frac{{\sqrt {91} }}{3}$.

d) Vì tanx.cotx = 1 $\Rightarrow \cot x = \frac{1}{{\tan x}} = \frac{3}{{\sqrt {91} }}$. Do đó ${\cot ^2}x = \frac{9}{{91}}$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

a) Hàm số y = cosx là hàm số chẵn trên đoạn [−3π; 3π].

b) Số nghiệm của phương trình $\cos x = \frac{1}{3}$ là số giao điểm của hai đồ thị hàm số y = cosx và $y = \frac{1}{3}$.

Dựa vào đồ thị ta thấy có 6 giao điểm. Do đó phương trình $\cos x = \frac{1}{3}$ có 6 nghiệm phân biệt.

c) Dựa vào đồ thị có $f\left( {\frac{{3\pi }}{2}} \right) = 0$.

d) Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số y = cosx đồng biến trên khoảng $\left( { - \frac{\pi }{2};0} \right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.

a) $1 - 2{\sin ^2}\alpha = 1 - 2{\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} = \frac{1}{9}$.

b) Ta có ${\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} = \frac{5}{9}$.

Vì $\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi$ nên cosα < 0 $\Rightarrow \cos \alpha = - \frac{{\sqrt 5 }}{3}$.

c) sin2α = 2sinαcosα $= 2.\frac{2}{3}.\left( { - \frac{{\sqrt 5 }}{3}} \right) = - \frac{{4\sqrt 5 }}{9}$.

d) $\cos \left( {\alpha + \frac{\pi }{3}} \right) = \cos \alpha \cos \frac{\pi }{3} - \sin \alpha \sin \frac{\pi }{3} = - \frac{{\sqrt 5 }}{3}.\frac{1}{2} - \frac{2}{3}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{ - \sqrt 5 - 2\sqrt 3 }}{6}$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

a) Điều kiện cosx ≠ 0 $\Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.$.

Tập xác định của hàm số trên là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

b) Có f(−x) = tan2(−x) – 1 = tan2x – 1 = f(x).

Do đó hàm số là hàm số chẵn.

c) Vì tan2x ³ 0, ∀x Î D Þ y = tan2x – 1 ³ −1, ∀x Î D.

Do đó tập giá trị của hàm số trên là [−1; +∞).

d) Có y = 0 Û tan2x – 1 = 0 Û tanx = ±1.

Với tanx = 1 $\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

Mà x Î [0; π] nên $0 \le \frac{\pi }{4} + k\pi \le \pi$$\Leftrightarrow - \frac{1}{4} \le k \le \frac{3}{4} \Rightarrow k = 0$ vì k Î ℤ.

Với tanx = −1 $\Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

Mà x Î [0; π] nên $0 \le - \frac{\pi }{4} + k\pi \le \pi$$\Leftrightarrow \frac{1}{4} \le k \le \frac{5}{4} \Rightarrow k = 1$ vì k Î ℤ.

Do đó có 2 giá trị x Î [0; π] sao cho y = 0.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.

a) Ta có g(−x) = sin(−x) + cos(−x) = −sinx + cosx ≠ −g(x).

Do đó hàm số g(x) không là hàm số lẻ.

b) Ta có −1 £ cosx £ 1 Þ −3 £ 3cosx £ 3 $\Rightarrow - \frac{3}{2} \le \frac{3}{2} + 3\cos x \le \frac{9}{2}$.

Hàm số f(x) đạt giá trị nhỏ nhất khi cosx = −1 Û x = π + k2π, k Î ℤ.

c) Giá trị lớn nhất của hàm số f(x) bằng $\frac{9}{2}$.

d) f(x) = 3g(x) $\Leftrightarrow \frac{3}{2} + 3\cos x = 3\sin x + 3\cos x$$\Leftrightarrow \frac{3}{2} = 3\sin x$$\Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}$.

Vì x Î [0; 2π] nên

+) $0 \le \frac{\pi }{6} + k2\pi \le 2\pi$$\Leftrightarrow - \frac{1}{{12}} \le k \le \frac{{11}}{{12}}$ mà k Î ℤ nên k = 0 $\Rightarrow x = \frac{\pi }{6}$.

+) $0 \le \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \le 2\pi$$- \frac{5}{{12}} \le k \le \frac{7}{{12}}$ mà k Î ℤ nên k = 0 $\Rightarrow x = \frac{{5\pi }}{6}$.

Có 2 nghiệm thỏa mãn yêu cầu.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

Có $25{\cos ^2}\alpha + \tan \left( {\alpha + \frac{\pi }{4}} \right)$ $= 25.\frac{1}{{1 + {{\tan }^2}\alpha }} + \frac{{\tan \alpha + \tan \frac{\pi }{4}}}{{1 - \tan \alpha .\tan \frac{\pi }{4}}}$

$= 25.\frac{1}{{1 + 4}} + \frac{{2 + 1}}{{1 - 2}} = 5 - 3 = 2$.

Trả lời: 2.

$\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) = \sin 2x$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \frac{\pi }{6} = 2x + k2\pi \\x + \frac{\pi }{6} = \pi - 2x + k2\pi \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}$.

Với k = 0, phương trình có hai nghiệm dương $x = \frac{\pi }{6}$ và $x = \frac{{5\pi }}{{18}}$.

Suy ra nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là $x = \frac{\pi }{6}$. Do đó a = 6.

Trả lời: 6.

Để độ sâu của mực nước là 12 m thì

$h = 2\sin \left( {\frac{{\pi t}}{6}} \right) + 11 = 12$$\Leftrightarrow \sin \left( {\frac{{\pi t}}{6}} \right) = \frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{\pi t}}{6} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\\frac{{\pi t}}{6} = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1 + 12k\\t = 5 + 12k\end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}$.

Do 0 £ t < 24 nên

+) 0 ≤ $1 + 12k$< 24 Û $- \frac{1}{{12}} \le k < \frac{{23}}{{12}}$ mà k Î ℤ nên k Î {0; 1}.

Với k = 0 thì t = 1 giờ; k = 1 thì t = 13 giờ.

+) 0 £ 5 + 12k < 24 Û $- \frac{5}{{12}} \le k < \frac{{19}}{{12}}$ mà k Î ℤ nên k Î {0; 1}.

Với k = 0 thì t = 5 giờ; k = 1 thì t = 17 giờ.

Vậy có 4 thời điểm.

Có $- 1 \le \sin \frac{{\pi t}}{{10}} \le 1$ $\Rightarrow - b \le b\sin \frac{{\pi t}}{{10}} \le b$$\Rightarrow a - b \le a + b\sin \frac{{\pi t}}{{10}} \le a + b$.

Theo đề ta có $\left\{ \begin{array}{l}a + b = 50\\a - b = 20\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 35\\b = 15\end{array} \right.$.

Do đó $P\left( t \right) = 35 + 15\sin \frac{{\pi t}}{{10}}$.

Khi đó $P\left( 2 \right) = 35 + 15\sin \frac{{2\pi }}{{10}} \approx 43{,}8$.

Trả lời: 43,8.

Theo đề ta có $d\left( t \right) = 3\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] + 12 = 15$$\Leftrightarrow \sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] = 1$

$\Leftrightarrow \frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right) = \frac{\pi }{2} + k2\pi$$\Leftrightarrow t = 171 + k364$, k Î ℤ.

Vì 0 < t < 365 nên k = 0 suy ra t = 171.

Trả lời: 171.