22 câu trắc nghiệm Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chương 3 (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án

B

$\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

A

$I = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + 2n + 3} - n} \right)$$= \lim \frac{{2n + 3}}{{\sqrt {{n^2} + 2n + 3} + n}}$$= \lim \frac{{2 + \frac{3}{n}}}{{\sqrt {1 + \frac{2}{n} + \frac{3}{{{n^2}}}} + 1}} = 1$.

B

Ta có $\lim \left( {3 + 2n + {n^3}} \right)$$\lim \left[ {{n^3}\left( {\frac{3}{{{n^3}}} + \frac{2}{{{n^2}}} + 1} \right)} \right] = + \infty$vì $\left\{ \begin{array}{l}\lim {n^3} = + \infty \\\lim \left( {\frac{3}{{{n^3}}} + \frac{2}{{{n^2}}} + 1} \right) = 1 > 0\end{array} \right.$.

D

Ta có

$0{,}17232323... = 0{,}17 + 23\left( {\frac{1}{{{{10}^4}}} + \frac{1}{{{{10}^6}}} + ...} \right) = \frac{{17}}{{100}} + 23.\frac{1}{{{{10}^4}}}.\frac{1}{{1 - \frac{1}{{100}}}} = \frac{{17}}{{100}} + \frac{{23}}{{9900}} = \frac{{853}}{{4950}}$.

D

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left[ {f\left( x \right) + 4x - 1} \right]$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {4x - 1} \right) = - 2 + 4.3 - 1 = 9$.

B

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{{x^2} - 16}}{{x - 4}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)}}{{x - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \left( {x + 4} \right) = 8$.

D

$I = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{3x - 2}}{{2x + 1}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x\left( {3 - \frac{2}{x}} \right)}}{{x\left( {2 + \frac{1}{x}} \right)}} = \frac{3}{2}$.

D

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {\sqrt {x - 2} + 3} \right) = 3$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {ax - 1} \right) = 2a - 1$.

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right)$ tồn tại nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right)$ Û 2a – 1 = 3 Û a = 2.

D

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ - }} \frac{{2{x^2} + 5x - 3}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ - }} \frac{{\left( {x + 3} \right)\left( {2x - 1} \right)}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ - }} \frac{{2x - 1}}{{x + 3}} = + \infty$.

C

Hàm số $u\left( x \right) = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}$ liên tục trên khoảng (a; b) khi g(x) ≠ 0, ∀x Î (a; b).

A

Hàm số liên tục tại x = 2 khi và chỉ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)$$\Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x - 2}} = a$

$\Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {x - 1} \right) = a$ Û a = 1.

C

Hàm số $y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}$ có tập xác định D = ℝ\{1}. Do đó hàm số gián đoạn tại điểm x0 = 1.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{ - 3{n^3} + 1}}{{2n + 5}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{n\left( { - 3{n^2} + \frac{1}{n}} \right)}}{{n\left( {2 + \frac{5}{n}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{ - 3{n^2} + \frac{1}{n}}}{{2 + \frac{5}{n}}} = - \infty$,

do $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( { - 3{n^2} + \frac{1}{n}} \right) = - \infty }\\{\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {2 + \frac{5}{n}} \right) = 2}\end{array}} \right.$

$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{{( - 1)}^n} \cdot {5^n}}}{{{2^n} + {5^{2n}}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{{( - 1)}^n} \cdot {5^n}}}{{{2^n} + {{25}^n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{{25}^n} \cdot {{\left( {\frac{{ - 1}}{5}} \right)}^n}}}{{{{25}^n}\left[ {{{\left( {\frac{2}{{25}}} \right)}^n} + 1} \right]}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{{\left( {\frac{{ - 1}}{5}} \right)}^n}}}{{{{\left( {\frac{2}{{25}}} \right)}^n} + 1}} = 0$.

a) $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{ - 3{n^3} + 1}}{{2n + 5}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( { - 3{n^2} + \frac{1}{n}} \right) = - \infty$.

b) x = 0 là hoành độ giao điểm của đường thẳng $y = 2x$ với trục hoành.

c) $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {\left( {\frac{1}{{2024}}} \right)^n} = b$.

d) u1 = 0; u3 = 0 + 2d = 1.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

a) Khi m = 1 thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {{x^2} - 3} \right) = 4 - 3 = 1$.

b) Có f(2) = 4m – 3.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {m{x^2} - 3} \right) = 4m - 3$;

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{\sqrt {{x^2} - 4x + 4} }}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{\sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2}} }}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{2 - x}}{{x - 2}} = - 1$.

Để hàm số f(x) liên tục tại x = 2 thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)$

Û 4m – 3 = −1 $\Leftrightarrow m = \frac{1}{2}$.

c) f(2) = 4m – 3.

d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {m{x^2} - 3} \right) = 4m - 3$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

a) Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f\left( x \right) = - 4$.

b) Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left( {x - 2} \right) = - 3$.

c) Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( {\sqrt {{x^2} + 1} + m} \right) = m + \sqrt 2$.

d) Hàm số đã cho có giới hạn tại x0 = −1 khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x \right) = f\left( { - 1} \right) \Leftrightarrow m = - 3 - \sqrt 2$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

a) Tập xác định của hàm số là D = ℝ.

b) Ta có $f\left( 7 \right) = \frac{{4 - {7^2}}}{{\sqrt {7 + 2} - 2}} = - 45$;

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 7} \frac{{4 - {x^2}}}{{\sqrt {x + 2} - 2}} = \frac{{4 - {7^2}}}{{\sqrt {7 + 2} - 2}} = - 45 = f\left( 7 \right)$.

Suy ra hàm số liên tục tại x = 7 với mọi m.

c) Ta có f(0) = m.0 + 8 = 8.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {mx + 8} \right) = 2.0 + 8 = 8 = f\left( 2 \right)$.

Suy ra hàm số liên tục tại x = 0 với mọi m.

d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{4 - {x^2}}}{{\sqrt {x + 2} - 2}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\left( {4 - {x^2}} \right)\left( {\sqrt {x + 2} + 2} \right)}}{{x - 2}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left[ {\left( { - x - 2} \right)\left( {\sqrt {x + 2} + 2} \right)} \right]$

$= \left( { - 2 - 2} \right)\left( {\sqrt {2 + 2} + 2} \right) = - 16$;

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {mx + 8} \right) = 2m + 8 = f\left( 2 \right)$.

Do đó để hàm số f(x) liên tục tại x0 = 2 thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)$ Û 2m + 8 = −16

Û m = −12.

Vậy m = −12 thì hàm số f(x) liên tục tại điểm x0 = 2.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

a) Với t = 0 Þ T(t) = 20.

b) Với t = 10 Þ T(t) = 20 + 4.10 = 60.

c) Ta có T(70) = 20 + 4.70 = 300.

$\mathop {\lim }\limits_{t \to {{70}^ - }} T\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to {{70}^ - }} \left( {20 + 4t} \right) = 300$; $\mathop {\lim }\limits_{t \to {{70}^ + }} T\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to {{70}^ + }} \left( {a - 2t} \right) = a - 140$.

Nếu a = 300°C thì $\mathop {\lim }\limits_{t \to {{70}^ + }} T\left( t \right) = 300 - 140 = 160 \ne \mathop {\lim }\limits_{t \to {{70}^ - }} T\left( t \right)$.

Do đó hàm số không liên tục tại t = 70.

Vậy T(t) không liên tục trên tập xác định với ∀a Î ℝ.

d) Với a = 440°C thì $\mathop {\lim }\limits_{t \to {{70}^ - }} T\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to {{70}^ + }} T\left( t \right) = T\left( {70} \right) = 300$.

Do đó với a = 440°C thì hàm số liên tục trên tập xác định.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

Khi x → 1 thì (x – 1) → 0 và (x2 + ax + b) → 1 + a + b.

Nếu 1 + a + b ≠ 0 thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + ax + b}}{{x - 1}}$ không hữu hạn. Điều này trái với giả thiết.

Do đó 1 +a + b = 0 Þ b = −a −1.

Khi đó $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + ax + b}}{{x - 1}} = 2025$$\Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + ax - a - 1}}{{x - 1}} = 2025$$\Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + a + 1} \right)}}{{x - 1}} = 2025$

Û 2025 = 1 + a + 1 Û a = 2023 Þ b = −2024.

Do đó 2a + b = 2022.

Trả lời: 2022.

$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{\sqrt {x + 4} - 3}}{{{x^2} - 25}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{x - 5}}{{\left( {{x^2} - 25} \right)\left( {\sqrt {x + 4} + 3} \right)}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{1}{{\left( {x + 5} \right)\left( {\sqrt {x + 4} + 3} \right)}} = \frac{1}{{60}}$.

Suy ra a = 1; b = 60. Do đó a + b = 61.

Trả lời: 61.

Ta có $f\left( 5 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ - }} 10 = 10$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ + }} \left( {{x^2} + ax + 10} \right) = 35 + 5a$.

Để hàm số liên tục tại x0 = 5 thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ - }} f\left( x \right) = f\left( 5 \right)$ Û 35 + 5a = 10 Û a = −5.

Trả lời: −5.

Diện tích của hình tròn bán kính R là S1 = πR2 (cm2).

Diện tích của hình tròn bán kính $\frac{R}{2}$ là ${S_2} = \pi .{\left( {\frac{R}{2}} \right)^2}$ (cm2).

Diện tích của hình tròn bán kính $\frac{R}{4}$ là ${S_3} = \pi .{\left( {\frac{R}{4}} \right)^2}$ (cm2).

Tổng diện tích của các hình tròn là: ${S_n} = {S_1} + 2{S_2} + 4{S_3} + ... = \pi {R^2} + \pi {R^2}\frac{1}{2} + \pi {R^2}\frac{1}{4} + ...$

Tổng trên là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu u1 = πR2 và công bội $q = \frac{1}{2}$

nên ${S_n} = \frac{{\pi {R^2}}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 2\pi {R^2}$. Suy ra a = 2.

Trả lời: 2.

Gọi ri là khoảng cách lần rơi thứ i.

Ta có r1 = 81; ${r_2} = \frac{2}{3}.81$; …; ${r_n} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{n - 1}}.81$; …

Suy ra tổng các khoảng cách rơi của quả bóng từ lúc thả bóng cho đến lần rơi thứ n bằng $81.{\frac{{1 - \left( {\frac{2}{3}} \right)}}{{1 - \frac{2}{3}}}^n}$.

Gọi ti là khoảng cách lần nảy thứ i

Ta có ${t_1} = \frac{2}{3}.81$, ${t_1} = \left( {\frac{2}{3}} \right).\frac{2}{3}81$; …; ${t_n} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{n - 1}}.\frac{2}{3}81$; …

Suy ra tổng các khoảng cách nảy của quả bóng từ lúc thả bóng cho đến lần nảy thứ n bằng $\frac{2}{3}.81.\frac{{1 - {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{n - 1}}}}{{1 - \frac{2}{3}}}$.

Vậy tổng các khoảng cách rơi và nảy của quả bóng từ lúc thả bóng cho đến lúc bóng không nảy nữa bằng $S = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {81.\frac{{1 - {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n}}}{{1 - \frac{2}{3}}} + \frac{2}{3}.81.\frac{{1 - {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{n - 1}}}}{{1 - \frac{2}{3}}}} \right) = 81.3 + \frac{2}{3}.81.3 = 405$m.

Trả lời: 405.