22 câu Trắc nghiệm Toán 11 Cánh diều Bài 4. Phương trình lượng giác cơ bản (Đúng-sai, trả lời ngắn) có đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\sin 2x = 1$$\Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi$$\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Đáp án đúng là: C

Với mọi $x \in \mathbb{R}$, ta luôn có $- 1 \le \sin x \le 1$.

Do đó, phương trình $\sin x = m$ có nghiệm khi và chỉ khi $- 1 \le m \le 1$.

Đáp án đúng là: C

$\cot x + \sqrt 3 \; = {\rm{ }}0$$\Leftrightarrow \cot x = - \sqrt 3 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{6} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $\sin 2x = \sin x$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = x + k2{\rm{\pi }}\\2x = {\rm{\pi }} - x + k2{\rm{\pi }}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2{\rm{\pi }}\\x = \frac{{\rm{\pi }}}{3} + \frac{{k2{\rm{\pi }}}}{3}\end{array} \right.$ $\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Đáp án đúng là: A

$\sin 2x = \cos x \Leftrightarrow \sin 2x = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + \frac{{k\pi }}{3}\\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Đáp án đúng là: C

$\sqrt {\rm{3}} \tan 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \tan 2x = \sqrt 3$$\Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{3} + k\pi$$\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $3\cot x - \sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \cot x = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow \cot x = \cot \left( {\frac{\pi }{3}} \right) \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,$$\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).$

Đáp án đúng là: B

$\cos 3x = \cos 12^\circ$$\Leftrightarrow \cos 3x = \cos \frac{\pi }{{15}}$

$\Leftrightarrow 3x = \pm \frac{\pi }{{15}} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

$\Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{{45}} + \frac{{k2\pi }}{3}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Đáp án đúng là: D

$2\cos \frac{x}{2} + \sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \cos \frac{x}{2} = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{x}{2} = \pm \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \Leftrightarrow x = \pm \frac{{5\pi }}{3} + k4\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Đáp án đúng là: A

Áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình $\cos x = a$.

- Phương trình có nghiệm khi $\left| a \right| \le 1$.

- Phương trình vô nghiệm khi $\left| a \right| > 1$.

Phương trình $\cos x - m = 0 \Leftrightarrow \cos x = m$.

Do đó, phương trình $\cos x = m$ vô nghiệm $\Leftrightarrow \left| m \right| > 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < - 1\\m > 1\end{array} \right.$.

Đáp án đúng là: C

Đặt $x + \frac{\pi }{4} = \alpha$. Khi đó ta có phương trình ${\rm{sin}}\alpha = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.

Xét đường thẳng ${\rm{y}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$ và đồ thị hàm số $y = \sin a$ trên đoạn $\left[ {0;\pi } \right]$:

Từ đồ thị hàm số trên ta thấy đường thẳng $y = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$ cắt đồ thị số $y = \sin a$ trên đoạn $\left[ {0;\,\,\pi } \right]$ tại hai điểm có hoành độ lần lượt là ${\alpha _1} = \frac{\pi }{4}$ và ${\alpha _2} = \frac{{3\pi }}{4}$.

Mà $x + \frac{\pi }{4} = \alpha$, khi đó ta sẽ tìm được 2 giá trị $x$ là ${x_1} = 0$ và ${x_2} = \frac{\pi }{2}$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\cos 2x + \sin x + m = 0 \Leftrightarrow 2{\sin ^2}x - \sin x - m - 1 = 0$

Đặt $t = \sin x$, điều kiện $t \in \left[ { - \frac{1}{2};\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right]$

PT trở thành $2{t^2} - t - m - 1 = 0\left( 1 \right)$

YCBT $\Leftrightarrow {\rm{PT}}\left( 1 \right)$ có nghiệm thuộc $\left[ { - \frac{1}{2};\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right]$.

Số nghiệm của PT (1) là số giao điểm của parabol $\left( P \right):y = 2{t^2} - t - 1$ và đường thẳng $d:y = m$ (song song hoặc trùng $Ox$)

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên $- \frac{9}{8} \le m \le 0$. Vì $m \in \mathbb{Z}$ nên $m \in \left\{ { - 1;0} \right\}$.

Ta có: $2\sin \left( {x - \frac{\pi }{{12}}} \right) + \sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{{12}}} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{{12}}} \right) = \sin \left( { - \frac{\pi }{3}} \right)$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix}x-\frac{π}{12}=-\frac{π}{3}+k2π \\ x-\frac{π}{12}=π-(-\frac{π}{3})+k2π\end{matrix}\Leftrightarrow [\begin{matrix}x=-\frac{π}{4}+k2π \\ x=\frac{17π}{12}+k2π\end{matrix}(k\in ℤ)$

Vậy phương trình có nghiệm là: $x = - \frac{\pi }{4} + k2\pi ;\,\,x = \frac{{17\pi }}{{12}} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Phương trình có nghiệm âm lớn nhất bằng $- \frac{\pi }{4}$.

Số nghiệm của phương trình trong khoảng $\left( { - \pi ;\pi } \right)$ là hai nghiệm.

Đáp án: a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng.

Ta có $\sqrt 2 \cos \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) - 1 = 0 \Leftrightarrow \cos \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \cos \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{4}} \right)$

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{2x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k2\pi }\\{2x + \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{4} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = k\pi }\\{x = - \frac{\pi }{4} + k\pi }\end{array}} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

+ Xét nghiệm $x = k\pi$: Do $x \in \left( {0;\pi } \right)$ nên $0 < k\pi < \pi \Leftrightarrow 0 < k < 1$ loại do $\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

+ Xét nghiệm $x = - \frac{\pi }{4} + k\pi$: Do $x \in \left( {0;\pi } \right)$ nên $0 < - \frac{\pi }{4} + k\pi < \pi \Leftrightarrow \frac{1}{4} < k < \frac{5}{4}$, do đó $k = 1 \Rightarrow x = \frac{{3\pi }}{4}.$

Vậy trên khoảng $\left( {0;\pi } \right)$ phương trình $\left( 1 \right)$ có tập nghiệm là $S = \left\{ {\frac{{3\pi }}{4}} \right\}.$

+ Xét nghiệm $x = k\pi$:

Do $x \in \left( { - 3\pi ;3\pi } \right)$ nên $- 3\pi < k\pi < 3\pi \Leftrightarrow - 3 < k < 3$ do $k \in \mathbb{Z}$ nên $k \in \left\{ { \pm 1; \pm 2;0} \right\}$.

Vây trên khoảng $\left( { - 3\pi ;3\pi } \right)$ phương trình có các nghiệm là $\pm 2\pi ; \pm \pi ;0$. Tổng các nghiệm này là ${S_1} = 0$.

+ Xét nghiệm $x = - \frac{\pi }{4} + k\pi$:

Do $x \in \left( { - 3\pi ;3\pi } \right)$ nên $- 3\pi < - \frac{\pi }{4} + k\pi < 3\pi \Leftrightarrow - \frac{{11}}{4} < k < \frac{{13}}{4}$ do $k \in \mathbb{Z}$ nên$k \in \left\{ { - 2; - 1;0;1;2;3} \right\}$.

Vây trên khoảng $\left( { - 3\pi ;3\pi } \right)$ phương trình có các nghiệm là

$x = - \frac{{9\pi }}{4};x = - \frac{{5\pi }}{4};x = - \frac{\pi }{4};x = \frac{{3\pi }}{4};x = \frac{{7\pi }}{4};x = \frac{{11\pi }}{4}$.

Tổng các nghiệm này là ${S_2} = \frac{{3\pi }}{2}$.

Vậy tổng các nghiệm của phương trình $\left( 1 \right)$ trong khoảng $\left( { - 3\pi ;3\pi } \right)$ là $S = {S_1} + {S_2} = \frac{{3\pi }}{2}.$

Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số:

$$\begin{array}{l}\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) \Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sin x \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x - \frac{\pi }{4} = x + k2\pi }\\{x - \frac{\pi }{4} = \pi - x + k2\pi }\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.\\ \Leftrightarrow 2x = \frac{{5\pi }}{4} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow x = \frac{{5\pi }}{8} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}$$

Vì $x \in \left[ {0\,;2\pi } \right] \Rightarrow x \in \left\{ {\frac{{5\pi }}{8};\frac{{13\pi }}{8}} \right\}$.

Với $x = \frac{{5\pi }}{8} \Rightarrow y = \sin \frac{{5\pi }}{8} \Rightarrow A\left( {\frac{{5\pi }}{8};\sin \frac{{5\pi }}{8}} \right)$,

với $x = \frac{{13\pi }}{8} \Rightarrow y = \sin \frac{{13\pi }}{8} \Rightarrow B\left( {\frac{{13\pi }}{8};\sin \frac{{13\pi }}{8}} \right)$,

với $x = \frac{{21\pi }}{8} \Rightarrow y = \sin \frac{{21\pi }}{8} \Rightarrow C\left( {\frac{{21\pi }}{8};\sin \frac{{21\pi }}{8}} \right)$.

Vì $I$là trung điểm của $AC$

$\Rightarrow I\left( {\frac{{13\pi }}{{16}};\frac{{\sin \left( {\frac{{5\pi }}{8}} \right) + \sin \left( {\frac{{21\pi }}{8}} \right)}}{2}} \right) = \left( {\frac{{13\pi }}{{16}};\frac{{2.\sin \left( {\frac{{13\pi }}{4}} \right).\cos \left( { - 2\pi } \right)}}{2}} \right) = \left( {\frac{{13\pi }}{{16}};\sin \left( {\frac{{13\pi }}{4}} \right)} \right)$.

Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng.

Hạ bậc hai vế, ta được phương trình $\frac{{1 - \cos \left( {4x + \frac{\pi }{2}} \right)}}{2} = \frac{{1 + \cos \left( {2x + \pi } \right)}}{2}$.

Ta có$\cos \left( {2x + \pi } \right) = - \cos 2x$ (Áp dụng giá trị lượng giác của 2 cung hơn kém $\pi$).

$\frac{{1 - \cos \left( {4x + \frac{\pi }{2}} \right)}}{2} = \frac{{1 + \cos \left( {2x + \pi } \right)}}{2} \Leftrightarrow - \cos \left( {4x + \frac{\pi }{2}} \right) = \cos \left( {2x + \pi } \right) \Leftrightarrow - \cos \left( {4x + \frac{\pi }{2}} \right) = - \cos \left( {2x} \right)$.

$\Leftrightarrow \cos \left( {4x + \frac{\pi }{2}} \right) = \cos 2x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x + \frac{\pi }{2} = 2x + k2\pi \\4x + \frac{\pi }{2} = - 2x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \\x = - \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{3}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Đáp án: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.

Ta có $\tan \left( {2x - 15^\circ } \right) = 1 \Leftrightarrow 2x - 15^\circ = 45^\circ + k90^\circ \Leftrightarrow x = 30^\circ + k90^\circ \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Với $k = - 1$, ta có $x = - 60^\circ$ là nghiệm âm lớn nhất của phương trình (*).

$- 180^\circ < x < 90^\circ \Rightarrow - 180^\circ < 30^\circ + k90^\circ < 90^\circ \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Rightarrow k \in \left\{ { - 2; - 1;0} \right\}$$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = - 150^\circ }\\{x = - 60^\circ }\\{x = 30^\circ }\end{array}} \right.$.

Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Sai.

Vì $- 1 \le \sin \left( {\frac{{\pi t}}{4} + \frac{\pi }{3}} \right) \le 1$$\Rightarrow 11 \le h \le 17$.

Do đó $\max h = 17$$\Leftrightarrow \sin \left( {\frac{{\pi t}}{4} + \frac{\pi }{3}} \right) = 1$$\Leftrightarrow \frac{{\pi t}}{4} + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{2} + k2\pi$$\Leftrightarrow \frac{{\pi t}}{4} = \frac{\pi }{6} + k2\pi$$\Leftrightarrow t = \frac{2}{3} + 6k,\,k \in \mathbb{Z}$.

Thời gian ngắn nhất để mực nước của kênh cao nhất $t = \frac{2}{3}\left( h \right)$.

Vậy $a.b = 2.3 = 6$

***Đáp án:* **6.

Ta có $- 1 \le \sin \left( {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right) \le 1$$\Leftrightarrow 9{,}17 \le 12 + 2{,}83\sin \left( {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right) \le 14{,}83$.

Như vậy có thể thấy số giờ có ánh sáng mặt trời nhiều nhất là $14{,}83$ (giờ) và xảy ra khi

$\sin \left( {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right) = 1$$\Leftrightarrow \frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right) = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$$\Leftrightarrow t - 80 = 91 + 366k$$\Leftrightarrow t = 171 + 366k$

Vì $0 < t \le 366$ nên $0 < 171 + 366k \le 366$$\Leftrightarrow - \frac{{171}}{{366}} < k \le \frac{{195}}{{366}}$$\Rightarrow k = 0$ vì $k \in \mathbb{Z}$.

Với $k = 0$$\Rightarrow t = 171$.

Có thể thấy năm 2024 là năm nhuận, nên với $t = 171$ thì ngày có số giờ ánh sáng mặt trời nhiều nhất là ngày 19 tháng 6.

Đáp án: $19$.

Khi vật đi qua vị trí cân bằng thì $x = 0$, ta có:

$2\cos \left( {5t - \frac{\pi }{6}} \right) = 0$$\Leftrightarrow \cos \left( {5t - \frac{\pi }{6}} \right) = 0$$\Leftrightarrow 5t - \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{2} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow 5t = \frac{{2\pi }}{3} + k\pi$ , $k \in \mathbb{Z}$$\Leftrightarrow t = \frac{{2\pi }}{{15}} + \frac{{k\pi }}{5}$,$k \in \mathbb{Z}$.

Trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, ta có: $0 \le \frac{{2\pi }}{{15}} + \frac{{k\pi }}{5} \le 6$$\Leftrightarrow \frac{{ - 2}}{3} \le k \le \frac{{90 - 2\pi }}{{3\pi }}$.

Vì $k\in ℤ\Rightarrow k\in \{0;\ 1;\ 2;\ 3;\ 4;\ 5;\ 6;\ 7;\ 8\}$

Vậy trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, vật đi qua vị trí cân bằng 9 lần.

***Đáp án:* **$9$.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ:

$$AD = 3 \Leftrightarrow 2\cos \frac{x}{2} + 2 = 3 \Leftrightarrow \cos \frac{x}{2} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{2\pi }}{3} + k4\pi \\x = \frac{{ - 2\pi }}{3} + k4\pi \end{array} \right.(k \in \mathbb{Z})$$

Chọn $A\left( {\frac{{ - 2\pi }}{3};3} \right);B\left( {\frac{{2\pi }}{3};3} \right);C\left( {\frac{{2\pi }}{3};0} \right);D\left( {\frac{{ - 2\pi }}{3};0} \right)$.

Khi đó, $AB = \frac{{4\pi }}{3};AD = 3 \Rightarrow {S_{ABCD}} = 4\pi \,\,{\rm{(}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}} \approx {\rm{12{,}6}}\,\,{\rm{(}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}$.

***Đáp án:* **$12{,}6$.

Khi $s = 4{,}3$ thì $8{,}6\cos \left( {8t + \frac{\pi }{2}} \right) = 4{,}3 \Rightarrow \cos \left( {8t + \frac{\pi }{2}} \right) = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{8t + \frac{\pi }{2} = \frac{\pi }{3} + k2\pi }\\{8t + \frac{\pi }{2} = - \frac{\pi }{3} + k2\pi }\end{array}(k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{t = - \frac{\pi }{{48}} + k\frac{\pi }{4}}\\{t = - \frac{{5\pi }}{{48}} + k\frac{\pi }{4}}\end{array}(k \in \mathbb{Z}).} \right.} \right.$

Vì $t \in \left( {0\,;2} \right)$ nên có $4$ giá trị $t$ thoả mãn là: ${t_1} \approx 0{,}72\;s;{t_2} \approx 1{,}51\;s;{t_3} \approx 0{,}46\;s;\,{t_4} \approx 0{,}1{,}24\;s$.

Vậy tại 4 thời điểm trong khoảng 2 giây đầu tiên thì $s = 4{,}3\;$ cm.

Đáp án: 4.