22 câu Trắc nghiệm Toán 11 Cánh diều Bài 4. Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit (Đúng-sai, trả lời ngắn) có đáp án

D

3$^{x + 2}$= 27 Û 3$^{x + 2}$= 3$^{3}$ Û x + 2 = 3 Û x = 1.

Vậy nghiệm của phương trình là x = 1.

D

${3.5^{2{x^2} - x}} = 15$$\Leftrightarrow {5^{2{x^2} - x}} = 5$$\Leftrightarrow 2{x^2} - x = 1$$\Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = - \frac{1}{2}$.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ {1; - \frac{1}{2}} \right\}$.

A

2$^{2x}$ < 2$^{x +6}$ Û 2x < x + 6 Û x < 6.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (−∞; 6).

C

${\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - {x^2} + 3x}} < \frac{1}{4}$$\Leftrightarrow - {x^2} + 3x > 2$$\Leftrightarrow - {x^2} + 3x - 2 > 0$ Û 1 < x < 2.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = (1; 2).

A

${e^{{x^2} - 3x}} = \frac{1}{{{e^2}}}$$\Leftrightarrow {e^{{x^2} - 3x}} = {e^{ - 2}}$$\Leftrightarrow {x^2} - 3x = - 2$$\Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 = 0$Û x = 2 hoặc x = 1.

Tổng các nghiệm của phương trình là T = 3.

A

${\left( {\sqrt 7 + \sqrt 6 } \right)^{{x^2}}} < \frac{1}{{\sqrt 7 - \sqrt 6 }}$$\Leftrightarrow {\left( {\sqrt 7 + \sqrt 6 } \right)^{{x^2}}} < \sqrt 7 + \sqrt 6$Û x$^{2}$ < 1 Û −1 < x < 1.

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = (−1; 1).

B

Điều kiện: $2x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{1}{2}$.

log$_{3}$(2x – 1) = 2 Û 2x – 1 = 3$^{2}$ Û 2x = 10 Û x = 5 (thỏa mãn).

Vậy nghiệm của phương trình là x = 5.

B

Điều kiện $\left\{ \begin{array}{l}6 + x > 0\\9x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 0$.

log$_{3}$(6 + x) + log$_{3}$9x – 5 = 0 Û log$_{3}$[9x(x + 6)] = 5 Û 9x$^{2}$ + 54x = 3$^{5}$Û x$^{2}$ + 6x – 27 = 0

Û x = −9 (loại) hoặc x = 3 (thỏa mãn).

Vậy phương trình có 1 nghiệm.

A

Điều kiện x – 2 > 0 Û x > 2.

${\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x - 2} \right) \le 1$$\Leftrightarrow x - 2 \ge \frac{1}{2}$$\Leftrightarrow x \ge \frac{5}{2}$.

Kết hợp với điều kiện, ta có tập nghiệm của bất phương trình là S = $\left[ {\frac{5}{2}; + \infty } \right)$.

A

Điều kiện: x > 0

log(2x) < log(x + 6) Û 2x < x + 6 Û x < 6.

Kết hợp điều kiện, ta có tập nghiệm của bất phương trình là (0; 6).

B

Điều kiện $\left\{ \begin{array}{l}x + 1 > 0\\2x - 1 > 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - 1\\x > \frac{1}{2}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow x > \frac{1}{2}$.

${\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x + 1} \right) < {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2x - 1} \right)$$\Leftrightarrow x + 1 > 2x - 1$$\Leftrightarrow x < 2$.

Kết hợp điều kiện, ta có tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left( {\frac{1}{2};2} \right)$.

C

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}3x - 2 > 0\\6 - 5x > 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \frac{2}{3}\\x < \frac{6}{5}\end{array} \right.$.

${\log _2}\left( {3x - 2} \right) + {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {6 - 5x} \right) > 0$$\Leftrightarrow {\log _2}\left( {3x - 2} \right) > {\log _2}\left( {6 - 5x} \right)$$\Leftrightarrow 3x - 2 > 6 - 5x$$\Leftrightarrow 8x > 8 \Leftrightarrow x > 1$.

Kết hợp với điều kiện, ta có tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left( {1;\frac{6}{5}} \right)$.

a) Số tiền lãi năm đầu tiên ông nhận được là 300.6% = 18 triệu đồng.

b) Số tiền ông X nhận được cả gốc và lãi sau n năm gửi tiền là T$_{n}$ = 300000000(1 + 6%)$^{n}$ đồng.

c) Số tiền ông X nhận được sau 5 năm gửi là T$_{5}$ = 300000000(1 + 6%)$^{5}$ ≈ 401467673 đồng nhỏ hơn 410 triệu đồng.

d) Theo giả thiết ta có T$_{n}$ > 500000000 Û 300000000(1 + 6%)$^{n}$ > 500000000

Û $n > {\log _{\left( {1 + 6\% } \right)}}\frac{5}{3} \approx 8{,}77$.

Vậy sau ít nhất 9 năm thì ông X thu được số tiền cả gốc lẫn lãi nhiều hơn 500 triệu đồng.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

Ta có ${5^x}{.3^{{x^2}}} = 1$$\Leftrightarrow {\log _5}\left( {{5^x}{{.3}^{{x^2}}}} \right) = {\log _5}1$$\Leftrightarrow {\log _5}{5^x} + {\log _5}{3^{{x^2}}} = 0$$\Leftrightarrow x + {x^2}{\log _5}3 = 0$

$\Leftrightarrow x\left( {1 + x{{\log }_5}3} \right) = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - \frac{1}{{{{\log }_5}3}} = - {\log _3}5\end{array} \right.$.

Vì x$_{1}$ < x$_{2}$ nên x$_{1}$ = −log$_{3}$5 và x$_{2}$ = 0.

a) Thay x = x$_{1}$ = −log$_{3}$5 vào phương trình 3$^{x}$ = 5 ta được ${3^{ - {{\log }_3}5}} = 5$ (vô lí).

b) Thay x = x$_{2}$ = 0 vào phương trình ${5^{{x^2} - 2x + 3}} = 125$ ta được ${5^{{0^2} - 2.0 + 3}} = 125$$\Leftrightarrow 125 = 125$ (đúng).

c) Tích hai nghiệm x$_{1}$x$_{2}$ = 0 không phải là số dương.

d) ${3^{{x_1} + {x_2}}} = {3^{ - {{\log }_3}5 + 0}} = \frac{1}{5} < 1$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

a) Ta có x$^{2}$ – x + 2 > 0, ∀x Î ℝ. Do đó điều kiện xác định của phương trình là x Î ℝ.

b) log$_{2}$(x$^{2}$ – x + 2) = 1 Û x$^{2}$ – x + 2 = 2 Û x$^{2}$ – x = 0 Û x = 0 hoặc x = 1.

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt.

c) Tổng bình phương các nghiệm là 0$^{2}$ + 1$^{2}$ = 1.

d) Phương trình có hai nghiệm không âm.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

a) Điều kiện $\left\{ \begin{array}{l}x + 2 > 0\\x - 1 > 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - 2\\x > 1\end{array} \right.$$\Leftrightarrow x > 1$.

b) f(x) = 1 Û ${\log _3}\left( {x + 2} \right) - {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x - 1} \right) = 1$$\Leftrightarrow {\log _3}\left( {x + 2} \right) + {\log _3}\left( {x - 1} \right) = 1$

$\Leftrightarrow {\log _3}\left[ {\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)} \right] = 1$$\Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right) = 3$$\Leftrightarrow {x^2} + x - 5 = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 1 + \sqrt {21} }}{2}\\x = \frac{{ - 1 - \sqrt {21} }}{2}\end{array} \right.$.

Vì x > 1 nên $x = \frac{{ - 1 + \sqrt {21} }}{2}$.

c) f(x) = log$_{3}$(6x – 9) Û log$_{3}$[(x + 2)(x – 1)] = log$_{3}$(6x – 9) Û x$^{2}$ + x – 2 = 6x – 9

Û x$^{2}$ – 5x + 7 = 0 (vô nghiệm).

d) $f\left( x \right) > {\log _{\sqrt 3 }}\left( {x - 4} \right)$ $\Leftrightarrow {\log _3}\left[ {\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)} \right] > {\log _{\sqrt 3 }}\left( {x - 4} \right)$

Điều kiện: x > 4

${\log _3}\left[ {\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)} \right] > {\log _{\sqrt 3 }}\left( {x - 4} \right)$$\Leftrightarrow {\log _3}\left[ {\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)} \right] > {\log _3}{\left( {x - 4} \right)^2}$

$\Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right) > {\left( {x - 4} \right)^2}$$\Leftrightarrow {x^2} + x - 2 > {x^2} - 8x + 16$$\Leftrightarrow x > 2$.

Kết hợp điều kiện, ta có tập nghiệm của phương trình là S = (4; +∞).

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.

a) Ta có $P = {P_0}{.10^{ - \alpha t}}$ $\Rightarrow 1000 = {4000.10^{ - 2\alpha }}$ $\Rightarrow \alpha = - \frac{1}{2}\log \frac{1}{4} = \frac{1}{2}\log 4 \approx 0{,}31 \notin \left( {1;2} \right)$.

b) Ta có $P = {P_0}{.10^{ - \alpha t}} < 500$$\Leftrightarrow {4000.10^{ - \alpha t}} < 500$$\Leftrightarrow {10^{ - \alpha t}} < \frac{1}{8}$$\Leftrightarrow - \alpha t < \log \frac{1}{8}$$\Leftrightarrow t > - \frac{1}{\alpha }\log \frac{1}{8}$

$\Leftrightarrow t > - \frac{1}{{\frac{1}{2}\log 4}}\log \frac{1}{8}$$\Leftrightarrow t > 3$.

c) Lượng vi khuẩn trong mỗi mililít nước sau 1 giờ là ${4000.10^{ - \frac{1}{2}\log 4.1}} = 2000$.

Lượng vi khuẩn trong mỗi mililít nước sau 2,5 giờ là ${4000.10^{ - \frac{1}{2}\log 4.2{,}5}} \approx 707$.

Lượng vi khuẩn mất đi khoảng 2000 – 707 = 1293 > 1200.

d) Ta có $P = {P_0}{.10^{ - \alpha t}} = \frac{{40}}{{100}}.{P_0}$$\Leftrightarrow {10^{ - \alpha t}} = \frac{2}{5}$$\Leftrightarrow t = \frac{{\log \frac{2}{5}}}{{ - \alpha }} = \frac{{\log \frac{2}{5}}}{{ - \frac{1}{2}\log 4}} \approx 1{,}32$.

Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

Điều kiện: 2$^{x}$ + 1 > 0, ∀x Î ℝ.

log$_{2}$(2$^{x}$ + 1) > 2 + x Û 2$^{x}$ + 1 > 2$^{2 + x}$ Û 3.2$^{x}$ < 1 Û ${2^x} < \frac{1}{3}$$\Leftrightarrow x < {\log _2}\frac{1}{3}$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left( { - \infty ;{{\log }_2}\frac{1}{3}} \right)$.

Số nghiệm nguyên thuộc [−2024; 2024] của bất phương trình là {−2024; −2023; …; −2} có 2023 số.

Trả lời: 2023.

Sau 3 năm số tiền khách hàng rút về lớn hơn 850 triệu đồng là

A(1 + 8%)$^{3}$ > 850 $\Leftrightarrow A > \frac{{850}}{{{{\left( {1 + 8\% } \right)}^3}}} \approx 674{,}8$.

Vậy số tiền ít nhất mà khách hàng phải gửi để sau 3 năm khách hàng đó nhận được lớn hơn 850 triệu đồng là 675 triệu đồng.

Trả lời: 675.

Ta có A = 200, t = 3 thì S(3) = 200.e$^{3r}$ = 500 Û $r = \frac{1}{3}\ln \frac{5}{2}$.

Số vi khuẩn có được nhiều hơn gấp 10 lần số vi khuẩn ban đầu nên

A.e$^{rt}$ = 10A Û e$^{rt}$ = 10 Û rt = ln10 $\Leftrightarrow t = \frac{{\ln 10}}{r} = \frac{{3\ln 10}}{{\ln \frac{5}{2}}} \approx 7{,}54$ giờ.

Vậy sau 7,54 giờ thì số lượng vi khuẩn có được nhiều hơn gấp 10 lần số lượng vi khuẩn ban đầu.

Trả lời: 7,54.

Theo hình thức lãi kép, tổng số tiền cả gốc lẫn lãi trong tài khoản của người đó sau n tháng tháng là A = 200(1 + 0,58%)$^{n}$ = 200.1,0058$^{n}$ (triệu đồng).

Theo đề bài A ³ 225 Û 200.1,0058$^{n}$ ³ 225 $\Leftrightarrow 1,{0058^n} \ge \frac{9}{8}$$\Leftrightarrow n \ge {\log _{1{,}0058}}\frac{9}{8} \approx 20{,}37$.

Vì ngân hàng chỉ tính lãi khi đền kì hạn nên phải sau ít nhất 21 tháng người đó mới có tối thiểu 225 triệu đồng trong tài khoản.

Trả lời: 21.

Sau 3 phút thì số lượng vi khuẩn A là 624 nghìn con nên 624 = s$_{0}$.2$^{3}$ Þ s$_{0}$ = 78 nghìn con.

Số lượng vi khuẩn A là 30 triệu con cần thời gian là

30000 = 78.2$^{t}$ Þ $t = {\log _2}\left( {\frac{{30000}}{{78}}} \right) \approx 8{,}59$ phút ≈ 515,24 giây.

Sau khoảng 516 giây thì số lượng vi khuẩn A là 30 triệu con.

Trả lời: 516.