22 câu Trắc nghiệm Toán 11 Cánh diều Bài 1. Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác (Đúng-sai, trả lời ngắn) có đáp án

Đáp án đúng là: B

Quy ước chọn chiều dương của một đường tròn định hướng là luôn ngược chiều quay kim đồng hồ.

Đáp án đúng là: C

$\pi {\rm{ rad}}$ tướng ứng với $180^\circ$.

Đáp án đúng là: C

Ta có $a = \left( {\frac{{\alpha .180}}{\pi }} \right)\begin{array}{cccccccccccccccccccc}^\circ \\{}\end{array} = \left( {\frac{{ - \frac{{3\pi }}{{16}}.180}}{\pi }} \right)\begin{array}{cccccccccccccccccccc}^\circ \\{}\\{}\\{}\end{array} = \left( { - \frac{{135}}{4}} \right)\begin{array}{cccccccccccccccccccc}^\circ \\{}\end{array} = - 33^\circ 45'.$

Đáp án đúng là: B

Cách 1. Ta có $\delta - \alpha = 4\pi \,\, \Rightarrow$ hai cung $\alpha$ và $\delta$ có điểm cuối trùng nhau.

Và $\gamma - \beta = 8\pi \,\, \Rightarrow$ hai cung $\beta$ và $\gamma$ có điểm cuối trùng nhau.

Cách 2. Gọi $A,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} B,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} C,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} D$ là điểm cuối của các cung $\alpha ,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \beta ,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \gamma ,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \delta$

Biểu diễn các cung trên đường tròn lượng giác ta có $B \equiv C,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} A \equiv D.$

Đáp án đúng là: B

Ta có $\cos \left[ {\frac{\pi }{4} + \left( {2k + 1} \right)\pi } \right] = \cos \left( {\frac{{5\pi }}{4} + 2k\pi } \right) = \cos \frac{{5\pi }}{4}$$= \cos \left( {\pi + \frac{\pi }{4}} \right) = - \cos \frac{\pi }{4} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}.$

Đáp án đúng là: C

Ta có $\sin \left( {\alpha - \frac{{3\pi }}{2}} \right) = \sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{2} - 2\pi } \right) = \sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{2}} \right) = \cos \alpha = \frac{1}{3}.$

Đáp án đúng là: D

Chia cả tử và mẫu của $P$ cho $\sin \alpha$ ta được $P = \frac{{3 + 4\cot \alpha }}{{2 - 5\cot \alpha }} = \frac{{3 + 4.\frac{1}{3}}}{{2 - 5.\frac{1}{3}}} = 13$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $\sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \cos x;$ $\sin \left( {10\pi + x} \right) = \sin x.$

Và $\cos \left( {\frac{{3\pi }}{2} - x} \right) = \cos \left( {2\pi - \frac{\pi }{2} - x} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right) = - {\mkern 1mu} \sin x;$ $\cos \left( {8\pi - x} \right) = \cos x.$

Khi đó ${\left[ {\sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) + \sin \left( {10\pi + x} \right)} \right]^{{\kern 1pt} 2}} + {\left[ {\cos \left( {\frac{{3\pi }}{2} - x} \right) + \cos \left( {8\pi - x} \right)} \right]^{{\kern 1pt} 2}}$

$= {\left( {\cos x + \sin x} \right)^2} + {\left( {\cos x - \sin x} \right)^2}$

$= {\cos ^2}x + 2.\sin x.\cos x + {\sin ^2}x + {\cos ^2}x - 2.\sin x.\cos x + {\sin ^2}x = 2.$

Đáp án đúng là: D

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\\\frac{{2017\pi }}{2} < \alpha < \frac{{2019\pi }}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 + {\left( { - \frac{4}{3}} \right)^2} = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\\\frac{\pi }{2} + 504.2\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2} + 504.2\pi \end{array} \right.$

$\overset{}{\rightarrow }\cos α=-\frac{3}{5}$. Mà $\tan α=\frac{\sin α}{\cos α}\Leftrightarrow -\frac{4}{3}=\frac{\sin α}{-\frac{3}{5}}\overset{}{\rightarrow }\sin α=\frac{4}{5}$ .

Ta có $A = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) + \sin \left( {\pi + \alpha } \right) = \cos \alpha - \sin \alpha = - \frac{4}{5} - \frac{3}{5} = - \frac{7}{5}$.

Ta có $B = \cos \left( {\pi - \alpha } \right) + \cot \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = - \cos \alpha + \tan \alpha$$= - \cos \alpha + \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{4}{5} + \frac{{\frac{3}{5}}}{{ - \frac{4}{5}}} = \frac{1}{{20}}{\rm{. }}$

Vậy $A + B = - \frac{7}{5} + \frac{1}{{20}} = - \frac{{27}}{{20}}$ và $A - B = - \frac{7}{5} - \frac{1}{{20}} = - \frac{{29}}{{20}}$.

Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Đúng.

Do $\pi < x < \frac{{3\pi }}{2}$ nên $\cos x < 0$.

Ta có ${\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1 \Rightarrow {\cos ^2}x = 1 - {\sin ^2}x = 1 - \frac{9}{{25}} = \frac{{16}}{{25}}$.

$\Rightarrow \cos x = - \frac{4}{5};\tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = \frac{3}{4};\cot x = \frac{{\cos x}}{{\sin x}} = \frac{4}{3}$.

Đáp án: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Đúng.

Do $0 < x < \frac{\pi }{2}$ nên $\sin x > 0$.

Ta có ${\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1 \Rightarrow {\sin ^2}x = 1 - {\cos ^2}x = 1 - \frac{1}{{16}} = \frac{{15}}{{16}}$

$\Rightarrow \sin x = \frac{{\sqrt {15} }}{4};\tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = \sqrt {15} ;\cot x = \frac{{\cos x}}{{\sin x}} = \frac{1}{{\sqrt {15} }}.$

Đáp án: a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.

Do $180^\circ < x < 270^\circ \Rightarrow \sin x < 0$.

Ta có ${\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1 \Rightarrow {\sin ^2}x = 1 - {\cos ^2}x = 1 - \frac{{25}}{{169}} = \frac{{144}}{{169}}$

$\Rightarrow \sin x = - \frac{{12}}{{13}};\tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = \frac{{12}}{5};\cot x = \frac{{\cos x}}{{\sin x}} = \frac{5}{{12}}{\rm{. }}$

Khi đó, $\sin x - \cos x = - \frac{7}{{13}}$.

Đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.

a) Một vòng di chuyển của $X$ chính là chu vi đường tròn:

$C = 2\pi R = 2\pi .9200 = 18400\pi \,\,{\rm{(km)}}{\rm{. }}$

Sau 1 giờ, vệ tinh di chuyển nửa đường tròn với quãng đường là:

$\frac{1}{2}C = 9200\pi \approx 28902{,}65\,\,{\rm{(km)}}{\rm{. }}$

b) Sau 1,5 giờ, vệ tinh di chuyển được $\frac{{1{,}5.1}}{2}$ đường tròn (hay $\frac{3}{4}$ đường tròn), quãng đường là:

$\frac{3}{4}C = \frac{3}{4} \cdot 18400\pi = 13800\pi \approx 43353{,}98\,\,{\rm{(km)}}$.

c) Số giờ để vệ tinh $X$ thực hiện quãng đường $240000\;\,\,{\rm{km}}$ là: $\frac{{240000}}{{9200\pi }} \approx 8{,}3$ (giờ).

d) Sau 4,5 giờ thì số vòng tròn mà vệ tinh $X$ di chuyển được là: $\frac{{4{,}5}}{2} = \frac{9}{4}$ (vòng).

Số đo góc lượng giác thu được là: $\frac{9}{4} \cdot 2\pi = \frac{{9\pi }}{2}\,\,{\rm{(rad)}}$.

Đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.

Ta có $S = \frac{{\sin \left( {7\pi + \frac{\pi }{2} - x} \right) - 2\cos \left( {\pi - x} \right)}}{{\cos \left( {2\pi + \frac{\pi }{2} - x} \right)}} = \frac{{\sin \left( {\pi + \frac{\pi }{2} - x} \right) + 2\cos x}}{{\cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)}}$

$= \frac{{ - \sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) + 2\cos x}}{{\sin x}} = \frac{{ - \cos x + 2\cos x}}{{\sin x}} = \frac{{\cos x}}{{\sin x}} = \cot x$.

Đáp án: 1.

Ta có $\cos x = \frac{1}{2} \Rightarrow {\sin ^2}x = 1 - {\cos ^2}x = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.

Khi đó $P = 3{\sin ^2}x + 4{\cos ^2}x = 3 \cdot \frac{3}{4} + 4 \cdot \frac{1}{4} = \frac{{13}}{4}$ = 3,25.

Đáp án: 3,25.

Ta có ${\left( {\sin a + \cos a} \right)^2} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2}$$\Leftrightarrow 1 + 2\sin a\cos a = \frac{1}{9}$$\Leftrightarrow \sin a\cos a = - \frac{4}{9}$.

Ta có ${\left( {\sin a - \cos a} \right)^2} = 1 - 2\sin a\cos a = 1 + \frac{8}{9} = \frac{{17}}{9}$.

Do $- \frac{\pi }{2} < a < 0$ nên $\sin a < 0,\cos a > 0$$\Rightarrow$$A = \sin a - \cos a < 0$$\Rightarrow$$A = - \sqrt {\frac{{17}}{9}} = - \frac{{\sqrt {17} }}{3}$.

Vậy $m + n = 17 + 3 = 20$.

Đáp án: 20.

Chu vi bánh xe: $C = \pi .d = 3{,}14.0{,}68\,\,{\rm{(m)}}$.

Trong 1 giây bánh xe quay được số vòng: $\frac{{10}}{5} = 2$.

Số vòng bánh xe quay được trong 1 phút là: $60.2 = 120$ (vòng).

Vậy quãng đường mà người đi xe đã đi được trong 1 phút là: $S = 3{,}14.0{,}68.120 \approx 256\,\,{\rm{(m)}}$.

Đáp án: 256.

Do tính đối xứng, dù đu quay chuyển động theo chiều kim đồng hồ hay ngược chiều kim đồng hồ, ta đều thấy rằng độ cao của người đó là như nhau sau cùng một khoảng thời gian. Ở đây ta xét đu quay chuyển động theo chiều kim đồng hồ. Gắn đu quay có bán kính $75\;\,{\rm{m}}$, tâm của vòng quay ở độ cao $90\;\,{\rm{m}}$ vào hệ trục tọa độ $Oxy$ ta được hình bên:

Sau 20 phút quay cabin đi được một góc là $\frac{{20}}{{30}} \cdot 360^\circ = 240^\circ$ tức là đến vị trí điểm $H$.

Khi đó $\widehat {HOJ} = 30^\circ$ và $HJ = OH\sin 30^\circ = 37{,}5\,\,{\rm{(m)}}$.

Vậy sau 20 phút quay, người đó ở độ cao $37{,}5 + 90 = 127{,}5\,\,{\rm{(m)}}$.

Đáp án: 127,5.