21 câu trắc nghiệm Toán 10 Kết nối tri thức Bài 6. Hệ thức lượng trong tam giác (Đúng sai - trả lời ngắn) có đáp án

Đáp án đúng là: B

Theo định lí sin: $\frac{{BC}}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow R = \frac{{BC}}{{2\sin A}} = \frac{{\sqrt 3 }}{{2 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2}}} = 1$.

Đáp án đúng là: A

Công thức tính diện tích sai là $S = \frac{1}{2}ab\sin A$.

Đáp án đúng là: D

${c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos C$

${c^2} = {8^2} + {10^2} - 2 \cdot 8 \cdot 10\cos 60^\circ = 84 \Rightarrow c = 2\sqrt {21}$.

Đáp án đúng là: C

Nửa chu vi tam giác $ABC$ là: $p = \frac{{12}}{2} = 6$.

Diện tích của tam giác $ABC$ là: $S = pr = 6 \cdot 1 = 6$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $p = \frac{{a + b + c}}{2} = \frac{{13 + 14 + 15}}{2} = 21$.

Vậy $S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} = 84$ (công thức Heron).

Đáp án đúng là: A

$\,\widehat A = 15^\circ ,\,\,\widehat B = 130^\circ \Rightarrow \widehat C = 180^\circ - \widehat A - \widehat B = 35^\circ .$$\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R \Leftrightarrow \frac{a}{{\sin 15^\circ }} = \frac{b}{{\sin 130^\circ }} = \frac{6}{{\sin 35^\circ }}$

$\Rightarrow a \approx 2{,}71;b \approx 8{,}01$.

Đáp án đúng là: C

Ta có $\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} = \frac{{{{13}^2} + {{15}^2} - {{14}^2}}}{{2 \cdot 13 \cdot 15}} = \frac{{33}}{{65}}$.

Suy ra $\widehat B \approx 59^\circ 29'$.

Đáp án đúng là: C

Ta mô hình hóa bài toán như hình vẽ trên. Khoảng cách từ vị trí mới đến vị trí ban đầu chính bằng độ dài đoạn AC. Áp dụng định lý côsin trong tam giác ABC, ta được

$AC = \sqrt {B{A^2} + B{C^2} - 2BA \cdot BC \cdot \cos 135^\circ } \approx 8{,}39{\rm{ km}}{\rm{.}}$

Đáp án đúng là: D

Áp dụng định lý sin trong tam giác: $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R$.

Ta có $\frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} \Rightarrow c = \frac{{b \cdot \sin C}}{{\sin B}} = \frac{{2 \cdot \sin 60^\circ }}{{\sin 45^\circ }} = \sqrt 6$.

Đáp án đúng là: D

Diện tích tam giác $ABC$ là ${S_{\Delta ABC}}\,\, = \,\,\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A\,\, = \,\,\frac{1}{2} \cdot 2a \cdot 4a \cdot \,\sin 120^\circ \, = \,\,2\sqrt 3 \,{a^2}$.

a) Sai. Áp dụng định lí côsin trong tam giác, ta có:

${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A \Rightarrow {a^2} = {7^2} + {5^2} - 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot \cos 120^\circ = 109.$

Do đó, $a = \sqrt {109} \;{\rm{cm}}$.

b) Sai. Ta có ${b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac\cos B \Rightarrow \cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} = \frac{{109 + {5^2} - {7^2}}}{{2\sqrt {109} \cdot 5}} \approx 0{,}81$.

c) Đúng. Tương tự, $\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} = \frac{{109 + {7^2} - {5^2}}}{{2\sqrt {109} \cdot 7}} \approx 0{,}91$.

d) Đúng. Áp dụng định lí sin trong tam giác, ta có:

$\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R$ nên $R = \frac{a}{{2 \cdot \sin A}} = \frac{{\sqrt {109} }}{{2 \cdot \sin 120^\circ }} \approx 6{,}03\,\,({\rm{cm}})$.

Giả sử $a = 7,b = 9,c = 12$.

a) Đúng. Ta có $p = \frac{{a + b + c}}{2} = \frac{{7 + 9 + 12}}{2} = 14$.

b) Sai. Theo công thức Heron, ta có:

$S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} = \sqrt {14\left( {14 - 7} \right)\left( {14 - 9} \right)\left( {14 - 12} \right)} = 14\sqrt 5$.

c) Sai. Ta có $S = \frac{{abc}}{{4R}} \Rightarrow R = \frac{{abc}}{{4S}} = \frac{{7 \cdot 9 \cdot 12}}{{4 \cdot 14\sqrt 5 }} = \frac{{27\sqrt 5 }}{{10}}$.

d) Sai. Ta có $S = pr \Rightarrow r = \frac{S}{p} = \frac{{14\sqrt 5 }}{{14}} = \sqrt 5$.

Đặt $a = BC = \sqrt 6 ,b = CA = 2,c = AB = 1 + \sqrt 3$.

a) Sai. $\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat A = 60^\circ$.

b) Sai. $\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \hat B = 45^\circ$.

c) Đúng. $S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{{3 + \sqrt 3 }}{2}$.

d) Đúng. $S = \frac{{abc}}{{4R}} \Rightarrow R = \frac{{abc}}{{4S}} = \sqrt 2$.

a) Đúng. Ta có $A{C^2} = {b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac \cdot \cos B = {8^2} + {5^2} - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \cos 60^\circ = 49$.

Suy ra $AC = b = 7$.

b) Sai. Ta có $\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{{7^2} + {5^2} - {8^2}}}{{2 \cdot 7 \cdot 5}} = \frac{1}{7} \Rightarrow \widehat {BAC} \approx 81^\circ 47' < 90^\circ$.

Vậy $\widehat {BAC}$ là góc nhọn.

c) Đúng. Nửa chu vi của tam giác $ABC$ là: $p = \frac{{a + b + c}}{2} = 10$.

Diện tích tam giác $ABC$ là: $S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} = 10\sqrt 3$.

Mặt khác $S = \frac{{abc}}{{4R}} \Rightarrow R = \frac{{abc}}{{4S}} = \frac{{7\sqrt 3 }}{3}$.

d) Sai.

Công thức định lý sin: $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{C}{{\sin C}} = 2R \Rightarrow \sin A = \frac{a}{{2R}};\sin B = \frac{b}{{2R}};\sin C = \frac{c}{{2R}}$.

Khi đó: $T = \sin A - 2\sin B + \sin C = \frac{a}{{2R}} - \frac{{2b}}{{2R}} + \frac{c}{{2R}} = \frac{{a - 2b + c}}{{2R}} = \frac{{8 - 2 \cdot 7 + 5}}{{2R}} = - \frac{1}{{2R}} \ne 0$.

a) Đúng. Ta có ${\sin ^2}A = 1 - {\cos ^2}A = \frac{{16}}{{25}} \Rightarrow \sin A = \frac{4}{5}$ (vì $\sin A > 0$).

b) Đúng. Ta có $S = \frac{1}{2}bc\sin A = 14$.

c) Sai. Theo định lí côsin, ta có:

${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A = {7^2} + {5^2} - 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot \frac{3}{5} = 32 \Rightarrow a = 4\sqrt 2$.

d) Sai. Ta có $p = \frac{{a + b + c}}{2} = 6 + 2\sqrt 2$. Mà $S = pr \Rightarrow r = \frac{S}{p} = \frac{{14}}{{6 + 2\sqrt 2 }} = 3 - \sqrt 2$.

Xét tam giác $PAD$ có

$PD = \sqrt {P{A^2} + A{D^2} - 2 \cdot PA \cdot AD \cdot \cos \widehat {PAD}} = \sqrt {{8^2} + {3^2} - 2 \cdot 8 \cdot 3 \cdot \cos 100^\circ } \approx 9{,}02$,

và $\cos \widehat {APD} = \frac{{P{A^2} + P{D^2} - A{D^2}}}{{2 \cdot PA \cdot PD}} = \frac{{{8^2} + 9,{{02}^2} - {3^2}}}{{2 \cdot 8 \cdot 9{,}02}} \approx 0{,}94$ suy ra $\widehat {APD} \approx 19^\circ$.

Xét tam giác $PBD$ có $\widehat {BPD} = \widehat {BPA} - \widehat {APD} \approx 40^\circ - 19^\circ = 21^\circ$,

và $BD = \sqrt {P{B^2} + P{D^2} - 2 \cdot PB \cdot PD \cdot \cos \widehat {BPD}}$ $\approx 3{,}53$ (km).

Vậy bạn Bình phải đi khoảng $3{,}53$ km nữa để đến đích.

Đáp án: $3{,}53$.

Giả sử tàu du lịch xuất phát từ vị trí $A$, chuyển động theo hướng $N80^\circ E$ tới vị trí $B$ sau đó chuyển hướng $E80^\circ S$ tới vị trí $C$ như hình vẽ dưới đây:

Ta có $\widehat {ABC} = 180^\circ - 10^\circ - 20^\circ = 150^\circ$.

Tàu chạy từ vị trí $A$ đến vị trí $B$ với vận tốc $20\,\,{\rm{km/h}}$ trong 30 phút (tức 0,5 giờ) nên: $AB = 20 \cdot 0{,}5 = 10$ (km).

Tàu chạy từ vị trí $B$ đến vị trí $C$ với vận tốc $20\,\,{\rm{km/h}}$ trong 36 phút (tức 0,6 giờ) nên: $BC = 20 \cdot 0{,}6 = 12$ (km).

Áp dụng định lí côsin cho tam giác $ABC$ ta được:

$A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2AB \cdot AC \cdot \cos \widehat {BAC} = {10^2} + {12^2} - 2 \cdot 10 \cdot 12 \cdot \cos 150^\circ \approx 452$.

Suy ra $AC \approx \sqrt {452} \approx 21{,}3\,\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)$.

Vậy khi tới đảo Cát Bà thì tàu du lịch cách vị trí xuất phát (bãi biển Đồ Sơn) một khoảng $21{,}3$ km.

Đáp án: 21,3.

Tổng quãng đường mà phương tiện di chuyển từ $A$ qua $C$ đến $B$ là: $70 + 100 = 170\,{\rm{km}}$.

Thể tích nhiên liệu bị tiêu hao là: $170:20 = 8{,}5$ lít.

Áp dụng định lí côsin trong tam giác $ABC$:

$A{B^2} = A{C^2} + B{C^2} - 2AC \cdot BC \cdot \cos 60^\circ = 7900 \Rightarrow AB = 10\sqrt {79} \,\,\,{\rm{(km)}}$.

Thể tích nhiên liệu bị tiêu hao là: $10\sqrt {79} \,:20 = \frac{{\sqrt {79} }}{2} \approx 4{,}44$ lít.

Thể tích nhiên liệu tiết kiệm được: $8{,}5 - 4{,}44 = 4{,}06$ lít.

Đáp án: 4,06.

Trong tam giác $DAC$, ta có:

$\cos \widehat {ACD} = \frac{{DC}}{{AC}}$, suy ra $AC = \frac{{DC}}{{\cos A}} = \frac{{18}}{{\cos 40^\circ }} \approx 23{,}5\,{\rm{m}}$.

Trong tam giác $DBC$ ta có:

$\cos \widehat {BCD} = \frac{{DC}}{{BC}}$, suy ra $BC = \frac{{DC}}{{\cos B}} = \frac{{18}}{{\cos 50^\circ }} \approx 28\,\;{\rm{m}}$.

Lại có góc $\widehat {ACB} = 50^\circ - 40^\circ = 10^\circ$, áp dụng định lí côsin trong tam giác $ABC$, ta có:

$AB = \sqrt {C{A^2} + C{B^2} - 2CA \cdot CB \cdot \cos \widehat {ACB}}$ $\approx \sqrt {23,{5^2} + {{28}^2} - 2 \cdot 23{,}5 \cdot 28 \cdot \cos 10^\circ } \approx 6{,}34\,{\rm{m}}.$

Vậy chiều cao của cột cờ (làm tròn đến hàng phần trăm là) 6,34 m.

Đáp án: 6,34.

Ta có $B{D^2} = A{D^2} + A{B^2} - 2AD \cdot AB \cdot \cos \left( {73{,}07^\circ } \right) \approx 517$$\Rightarrow BD \approx 23\,\left( {\rm{m}} \right)$.

${S_{ABD}} = \frac{1}{2}AD \cdot AB \cdot \sin \left( {73{,}07^\circ } \right) \approx 158\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)$.

Nửa chu vi tam giác $BCD$ là: $\frac{{23 + 10 + 18}}{2} = \frac{{51}}{2} = 25{,}5$.

${S_{BCD}} = \sqrt {25{,}5.\left( {25{,}5 - 23} \right)\left( {25{,}5 - 10} \right)\left( {25{,}5 - 18} \right)} \approx 86\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)$.

${S_{ABCD}} = {S_{ABD}} + {S_{BCD}} \approx 244\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)$.

Vậy số tiền gia đình nhà bác An nhận được khoảng $244 \cdot 1{,}2 \approx 293$ triệu đồng.

Đáp án: $293$.

Áp dụng định lí côsin cho tam giác $ABC$, ta có:

$\cos A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2AB \cdot AC}} = \frac{{{4^2} + {5^2} - {6^2}}}{{2 \cdot 4 \cdot 5}} = \frac{1}{8}$.

Mà $\widehat A < 180^\circ$ nên $\sin A = \sqrt {1 - {{\cos }^2}A} = \sqrt {1 - \frac{1}{{64}}} = \frac{{3\sqrt 7 }}{8}$.

Áp dụng định lí sin, ta có: $\frac{{BC}}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow R = \frac{{BC}}{{2\sin A}} = \frac{6}{{2 \cdot \frac{{3\sqrt 7 }}{8}}} \approx 3\,\,\,{\rm{(cm)}}$.

Đáp án: 3.