21 câu Trắc nghiệm Toán 10 Cánh diều Bài 4. Bất phương trình bậc hai một ẩn (Đúng-sai, trả lời ngắn) có đáp án

Hàm số $y = \sqrt { - {x^2} + 2x + 3}$ xác định khi $- {x^2} + 2x + 3 \ge 0 \Leftrightarrow - 1 \le x \le 3$.

Vậy tập xác định của hàm số là $D = \left[ { - 1;3} \right]$.

Đáp án đúng là: C

Bất phương trình $2{x^2} - 3 > 0$ là bất phương trình bậc hai một ẩn.

Xét $f\left( x \right) = 2{x^2} - 3x - 15$.

$f\left( x \right) = 0$$\Leftrightarrow x = \frac{{3 \pm \sqrt {129} }}{4}$.

Ta có bảng xét dấu:

Tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left[ {\frac{{3 - \sqrt {129} }}{4};\,\frac{{3 + \sqrt {129} }}{4}} \right]$.

Do đó bất phương trình có $6$ nghiệm nguyên là $- 2$, $- 1$, $0$, $1$, $2$, $3$.

Đáp án đúng là: C

Ta có ${x^2} + 5x + 4 > 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ; - 4} \right) \cup \left( { - 1; + \infty } \right)$.

Vậy $S = \left( { - \infty ; - 4} \right) \cup \left( { - 1; + \infty } \right)$.

Ta Có \ ({x^2} + 5x + 4> 0 \ leftrightarrow x \ in \ left ({ - \ infty; - 4} \ right) \ Cup \ trái ({ - 1; + \ infty} \ phải)

Đáp án đúng là: D

Ta có $- {x^2} + 4x - 3 \ge 0 \Leftrightarrow 1 \le x \le 3$.

Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $S = \left[ {1;3} \right]$.

Suy ra $a = 1$; $b = 3$.

Vậy $a + 2b = 1 + 2 \cdot 3 = 7$.

Đáp án đúng là: A

Từ bảng xét dấu ta có $f\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right).$

Đáp án đúng là: B

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 4 > 0$

$\Leftrightarrow m \in \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)$.

Đáp án đúng là: B

Vì $a = 1 > 0$ nên bất phương trình đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$ khi $\Delta \le 0$

$\Leftrightarrow {m^2} - 4m - 12 \le 0 \Leftrightarrow - 2 \le m \le 6$.

Lời giải

a) Đúng. Ta có $2{x^2} - x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - \frac{1}{2}\end{array} \right.$.

b) Đúng. $f\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow 2{x^2} - x - 1 < 0 \Leftrightarrow - \frac{1}{2} < x < 1$.

Vậy nên $f\left( x \right) < 0$ khi $x \in \left( { - \frac{1}{2};1} \right)$.

c) Đúng. $f\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow 2{x^2} - x - 1 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 1\\x < - \frac{1}{2}\end{array} \right.$. Mà $\left( {3; + \infty } \right) \subset \left( {1; + \infty } \right)$.

Vậy nên $f\left( x \right)$ cũng nhận giá trị dương trên khoảng $\left( {3; + \infty } \right)$.

d) Sai. Ta có $f\left( 2 \right) = 2 \cdot {2^2} - 2 - 1 = 5 > 0$.

Lời giải

a) Sai. Vì $y = {x^2} + 4x - 5 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \le - 5\\x \ge 1\end{array} \right.$.

b) Sai. Vì $y = {x^2} + 4x - 5 \le 0 \Leftrightarrow - 5 \le x \le 1$.

c) Đúng. Xét phương trình hoành độ giao điểm ${x^2} + 4x - 5 = 4x - m \Leftrightarrow {x^2} = 5 - m\;\;\left( * \right)$.

Đường thẳng $d:y = 4x - m$ cắt đồ thị $\left( P \right)$ tại 2 điểm phân biệt có hoành độ ${x_1},{x_2}$ $\Leftrightarrow \left( * \right)$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow 5 - m > 0 \Leftrightarrow m < 5$.

Khi đó: $\;\left( * \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = \sqrt {5 - m} \\{x_2} = - \sqrt {5 - m} \end{array} \right.$

$x_1^2 + x_2^2 = 5 \Rightarrow {\left( {\sqrt {5 - m} } \right)^2} + {\left( { - \sqrt {5 - m} } \right)^2} = 5 \Leftrightarrow 10 - 2m = 5 \Leftrightarrow m = \frac{5}{2}$.

Vậy với $m = \frac{5}{2}$ thì đường thẳng $d:y = 4x - m$ cắt đồ thị $\left( P \right)$ tại 2 điểm phân biệt có hoành độ ${x_1},{x_2}$ thoả mãn $x_1^2 + x_2^2 = 5$.

Ngoài ra, ta có thể thay $m = \frac{5}{2}$ vào phương trình $\left( * \right)$, sau đó tính ${x_1},{x_2}$ và xét xem có thỏa mãn yêu cầu bài toán không.

d) Đúng. Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = {x^2} + 4x - 5$ bằng $- 9$.

Lời giải

a) Sai. Ta có $h\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 0{,}5{t^2} + 2{,}75t + 1{,}5 = 0 \Leftrightarrow t = - 0{,}5;t = 6$.

Suy ra quả bóng chạm mặt đất khi $t = 6$ giây.

b) Đúng. $h\left( t \right) = - 0{,}5{t^2} + 2{,}75t + 1{,}5 = - 0{,}5{\left( {t - \frac{{11}}{4}} \right)^2} + \frac{{169}}{{32}} \le \frac{{169}}{{32}}$ khi $t = \frac{{11}}{4} = 2{,}75$(giây).

Quả bóng đạt độ cao lớn nhất khi $t = 2{,}75$ giây.

c) Đúng. Quả bóng có độ cao lớn hơn $1{,}5$ mét so với mặt đất khi:

$h\left( t \right) > 0 \Leftrightarrow - 0{,}5{t^2} + 2{,}75t + 1{,}5 > 0 \Leftrightarrow - 0{,}5 < t < 6$.

Mà $t > 0$ nên suy ra $0 < t < 6$.

Quả bóng có độ cao lớn hơn $1{,}5$ mét so với mặt đất trong khoảng thời gian $0 < t < 6$.

d) Sai. Quả bóng có độ cao lớn hơn $1{,}5$ mét so với mặt đất trong thời gian là $6$ giây.

Lời giải

a) Đúng. Người ta cắt ở mỗi góc tấm sắt một hình vuông cạnh bằng 4 cm nên diện tích phần cắt đi là: $4 \cdot {4^2} = 64\,\,\,(c{m^2})$.

b) Sai. Theo bài ta có nửa chu vi của tấm sắt là $96:2 = 48\,(cm)$.

Gọi chiều dài của tấm sắt là $x\,\,(cm)\,$.

Chiều rộng của tấm sắt sẽ là $48 - x\,\,\,(cm)$.

c) Đúng. Do chiều dài lớn hơn chiều rộng nên ta có: $x > 48 - x \Leftrightarrow x > 24\,(cm)$.

Diện tích của tấm sắt ban đầu là $x\left( {48 - x} \right)\,\,{\rm{(c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}$.

Diện tích phần còn lại của tấm sắt là $x\left( {48 - x} \right)\, - 64 = - {x^2} + 48x - 64\,\,{\rm{(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}$.

d) Sai. Để diện tích còn lại của tấm sắt ít nhất bằng 448 ${\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}$ nên ta có phương trình:

$x\left( {48 - x} \right) - 64 \ge 448 \Leftrightarrow {x^2} - 48x + 512 \le 0$.

Đặt $f\left( x \right) = {x^2} - 48x + 512$$\Rightarrow f(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 32\\x = 16\end{array} \right.$.

Do hệ số $a = 1 > 0$ nên bảng xét dấu của $f\left( x \right)$ là:

Dựa vào bảng xét dấu ta có: $x \in \left[ {16;32} \right]$. Kết hợp với điều kiện của $x$ ta có $x \in \left( {24;32} \right]$.

Lời giải

Gọi $x\left( {x \ge 0} \right)$ (nghìn đồng) là số tiền tăng lên cho mỗi ki-lô-gam rau.

a) Đúng. Số tiền bán mỗi một ki-lô-gam rau sau khi tăng giá là $x + 30$ (nghìn đồng).

b) Sai. Số ki-lô-gam rau thừa là $20x\,\,\left( {x \le 50} \right)$.

Tổng số ki-lô-gam rau bán được là $1000 - 20x$ (kg).

c) Đúng. Tổng số tiền thu được là

$T = \left( {1000 - 20x} \right)\left( {x + 30} \right) + 20x.2 = - 20{x^2} + 440x + 30000$ (nghìn đồng).

d) Đúng. Để số tiền không nhỏ hơn 31140 nghìn đồng thì $- 20{x^2} + 440x + 30000 \ge 31140$$\Leftrightarrow - 20{x^2} + 440x - 1140 \ge 0$$\Leftrightarrow 3 \le x \le 19$. Suy ra $x \in \left[ {3;19} \right]$.

Lời giải

Giả sử vị trí ban đầu của chú thỏ đen là $s = 0\,\,{\rm{(m)}}$ và thời điểm ban đầu là $t = 0$ (giây).

Quãng đường của chú thỏ trắng chạy được tại thời điểm $t$ là $f\left( t \right) = 100 + 3t\,\,{\rm{(m)}}$.

Để chú thỏ đen chạy trước chú thỏ trắng thì $s\left( t \right) > f\left( t \right)$

hay $8t + 5{t^2} > 100 + 3t \Rightarrow 5{t^2} + 5t - 100 > 0 \Rightarrow t > 4 \Rightarrow t \in \left( {4; + \infty } \right)$ (vì $\left. {t > 0} \right)$.

Vậy tại những thời điểm $t \in \left( {4; + \infty } \right)$ thì chú thỏ đen chạy trước chú thỏ trắng.

Khi đó, $a = 4$.

Đáp án: 4.

Lời giải

Bất phương trình ${x^2} - \left( {m + 2} \right)x + 8m + 1 \le 0$ vô nghiệm

$\Leftrightarrow {x^2} - \left( {m + 2} \right)x + 8m + 1 > 0,\forall x \in \mathbb{R}$.

Điều kiện: $\Delta < 0 \Leftrightarrow {\left( {m + 2} \right)^2} - 4\left( {8m + 1} \right) > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 28m > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < 0\\m > 28\end{array} \right.$.

Kết hợp điều kiện nên có $2$ giá trị thỏa mãn.

Đáp án: 2.

Lời giải

Khi bán hết $x$ sản phẩm thì số tiền thu được là: $170x$ (nghìn đồng).

Điều kiện để nhà sản xuất không bị lỗ là

$170x \ge {x^2} + 30x + 3300 \Leftrightarrow {x^2} - 140x + 3300 \le 0$.

Xét ${x^2} - 140x + 3300 = 0 \Rightarrow x = 30$ hoặc $x = 110$.

Bảng xét dấu:

Ta có ${x^2} - 140x + 3300 \le 0 \Leftrightarrow x \in \left[ {30\,;110} \right]$.

Vậy nếu nhà sản xuất làm ra từ 30 đến 110 sản phẩm thì họ sẽ không bị lỗ.

Khi đó, $a = 30;\,b = 110$. Vậy $S = a + b = 30 + 110 = 140$.

Đáp án: 140.

Lời giải

Hàm số $y = \frac{{2024x + 2025}}{{\sqrt {m{x^2} + 2mx + 9} }}$ có tập xác định $\mathbb{R}$ $\Leftrightarrow m{x^2} + 2mx + 9 > 0,\forall x \in {\mathbb{R}^{}}(1)$.

+ $m = 0$ thoả mãn $(1)$.

+ $m \ne 0$, $(1) \Leftrightarrow$parabol $y = m{x^2} + 2mx + 9 > 0$ nằm hoàn toàn phía trên trục hoành $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\ - \frac{\Delta }{{4m}} > 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\\Delta = {m^2} - 9m < 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow 0 < m < 9$.

Kết hợp 2 trường hợp ta được $\Leftrightarrow 0 \le m < 9$.

Vậy có 9 giá trị nguyên của $m$ thoả mãn.

Đáp án: 9.

Lời giải

Ta có ${x^2} + \left( {m - 2} \right)x + 5m + 1 > 0$$,\forall x \in \mathbb{R}$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{a > 0}\\{\Delta < 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{1 > 0}\\{{{\left( {m - 2} \right)}^2} - 4\left( {5m + 1} \right) < 0}\end{array}} \right.$$\Leftrightarrow {m^2} - 24m < 0 \Leftrightarrow m \in \left( {0\,;\,24} \right)$.

Vậy có tất cả $23$ giá trị thoả mãn.

Đáp án: 23.