21 câu Trắc nghiệm Toán 10 Cánh diều Bài 2. Hàm số bậc hai. Đồ thị hàm số bậc hai và ứng dụng (Đúng-sai, trả lời ngắn) có đáp án

Đáp án đúng là: D

Đỉnh của parabol có hoành độ: ${x_I} = - \frac{b}{{2a}} = 2$.

Vì $a = - 1 < 0$ nên hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { - \infty ;2} \right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left( {2; + \infty } \right)$.

Mà $\left( { - \infty ;1} \right) \subset \left( { - \infty ;2} \right)$ và $\left( {3; + \infty } \right) \subset \left( {2; + \infty } \right)$.

Vậy khẳng định D sai.

Đáp án đúng là: A

Ta có hàm số $\left( P \right):\,y = f\left( x \right) = {x^2} - 2x + 3$ là hàm số bậc hai có hệ số $a = 1$ nên $\left( P \right)$ có bề lõm hướng lên.

Hoành độ đỉnh của parabol ${x_I} = \frac{{ - b}}{{2a}} = 1$. Do đó hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$.

Đáp án đúng là: B

Hoành độ đỉnh của $\left( P \right):y = 3{x^2} - 2x + 1$ là $x = - \frac{b}{{2a}} = \frac{1}{3}$$\Rightarrow y = 3 \cdot {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} - 2 \cdot \frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}$.

Vậy $I\left( {\frac{1}{3};\,\frac{2}{3}} \right)$.

Đáp án đúng là: D

Dựa vào đồ thị có:

$\left( P \right):y = f\left( x \right) = {x^2} - 2x - 3$ có $a = 1 > 0$ nên $\left( P \right)$ có bề lõm hướng lên (loại hình $2$).

$\left( P \right)$ có đỉnh $I$ có ${x_I} = 1$ (loại hình $1$ và $3$).

Vậy $\left( P \right):y = f\left( x \right) = {x^2} - 2x - 3$ có đồ thị là hình $4$.

Đáp án đúng là: C

Ta có: ${x_I} = - 1 \Rightarrow - \frac{4}{{2a}} = - 1 \Rightarrow a = 2.$

Hơn nữa $I \in \left( P \right)$ nên $- 5 = a - 4 - b \Rightarrow b = 3.$

Đáp án đúng là: D

Dựa vào đồ thị, nhận thấy:

* Đồ thị hàm số là một parabol có bề lõm quay xuống dưới nên $a < 0$.

* Đồ thị cắt trục tung tại tung độ bằng $c$ nên $c > 0$.

* Đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ ${x_1} = - 1$ và ${x_2} = 3$ nên ${x_1},{x_2}$ là hai nghiệm của phương trình $a{x^2} + bx + c = 0$ mà theo Vi-et ${x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a} = 2$$\Leftrightarrow b = - 2a \Rightarrow b > 0$.

Vậy $a < 0$, $b > 0$, $c > 0$.

Hoành độ giao điểm của $\left( P \right)$ và $d$ là nghiệm của phương trình:

${x^2} - 4x = - x - 2\, \Leftrightarrow \,{x^2} - 3x + 2 = 0\, \Leftrightarrow \,\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.$.

Vậy tọa độ giao điểm của $\left( P \right)$ và $d$ là $M\left( {1;\, - 3} \right)$, $N\left( {2;\, - 4} \right)$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $\Delta = {1^2} - 4 \cdot \left( { - 3} \right) \cdot 2 = 25$.

Vì $a = - 3 < 0$ nên hàm số có giá trị lớn nhất là: $\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{{25}}{{12}}$.

>

Đáp án đúng là: B

Ta có $x = - \frac{b}{{2a}} = \frac{{2m}}{{2m}} = 1$, suy ra $y = - 4m - 2$.

Để hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng $- 10$ khi và chỉ khi $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\ - 4m - 2 = - 10\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 2$.

Đáp án đúng là: A

Ta có đỉnh $I\left( {\frac{m}{2};\, - 2m} \right)$.

Do $m > 0$ nên $\frac{m}{2} > 0$. Khi đó hoành độ đỉnh ${x_I} \notin \left[ { - 2;\,0} \right]$.

Ta có bảng biến thiên:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ { - 2;\,0} \right]$ là $y\left( 0 \right) = 3$ tại $x = 0$.

Ta có $y\left( 0 \right) = {m^2} - 2m = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m_1} = 3\\{m_2} = - 1 < 0\end{array} \right.$$\Rightarrow S = \left\{ 3 \right\}$.

Đáp án đúng là: B

Vì $A,B,C \in (P)$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 = a \cdot {0^2} + b \cdot 0 + c\\ - 1 = a \cdot {1^2} + b \cdot 1 + c\\1 = a \cdot {\left( { - 1} \right)^2} + b \cdot \left( { - 1} \right) + c\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 1\\c = - 1\end{array} \right.$.

Vậy $\left( P \right):y = {x^2} - x - 1$.

Lời giải

a) Sai. Ta có $\frac{{ - b}}{{2a}}\, = \,2;\,\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \, - 9.$ Đồ thị hàm số $y = {x^2} - 4x - 5$có đỉnh $I\left( {2; - 9} \right).$

b) Đúng. Đồ thị hàm số $y = {x^2} - 4x - 5$ có trục đối xứng là $x = 2.$

c) Đúng. Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung: ${x_0}\, = \,0\, \Rightarrow {y_0}\, = \, - 5\, \Rightarrow \,C\left( {0;\, - 5} \right)\,.$

\ ({x^2} - 4x - 5 \, = \, 0 \, \ leftrightarrow \, \ left [{\ start

Lời giải

a) Đúng. Trục đối xứng của đồ thị là đường thẳng $x = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{ - 4}}{{2 \cdot 1}} = 2$.

b) Sai. Ta có $x = 2 \Rightarrow y\left( 2 \right) = - 1$. Do đó $I\left( {2; - 1} \right)$.

c) Sai. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là $y\left( 2 \right) = - 1$.

d) Đúng. Ta có ${x^2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = 1 \Rightarrow A\left( {1;0} \right)}\\{x = 3 \Rightarrow B\left( {3;0} \right)}\end{array}} \right.$.

Ta có ${S_{\Delta IAB}} = \frac{1}{2}d\left( {I,AB} \right) \cdot AB = \frac{1}{2}d\left( {I,Ox} \right) \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = 1$.

Lời giải

a) Đúng. Thay ${v_0} = 7,{y_0} = 0{,}8$ vào công thức $y = \frac{{ - 4{,}9{x^2}}}{{v_0^2{{\cos }^2}\alpha }} + \tan \alpha \cdot x + {y_0}$

ta được $y = \frac{{ - 0{,}1}}{{{{\cos }^2}\alpha }} \cdot {x^2} + \tan \alpha \cdot x + 0{,}8$.

b) Sai. Với $\alpha = 30^\circ$, ta có $y = \frac{{ - 0{,}4}}{3} \cdot {x^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{3} \cdot x + 0{,}8$.

Thay $x = 2$ vào ta được $y \approx 1{,}42\left( {\rm{m}} \right)$.

c) Sai. Với $\alpha = 60^\circ$, ta có $y = - 0{,}4 \cdot {x^2} + \sqrt 3 \cdot x + 0{,}8$.

Suy ra ${y_{\max }} = \frac{{107}}{{40}} = 2{,}675\left( {\rm{m}} \right)$ khi $x = \frac{{5\sqrt 3 }}{4}$.

d) Đúng.

Với $\alpha = 60^\circ$, ta có $y = - 0{,}4 \cdot {x^2} + \sqrt 3 \cdot x + 0{,}8$.

Quả bóng chạm đất thì $- 0{,}4 \cdot {x^2} + \sqrt 3 \cdot x + 0{,}8 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = \frac{{\sqrt {107} + 5\sqrt 3 }}{4}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{x = \frac{{ - \sqrt {107} + 5\sqrt 3 }}{4}\left( {loai} \right)}\end{array}} \right.$.

Gọi $A,B$ lần lượt là vị trí bóng tiếp xúc với tay cầu thủ và vị trí bóng chạm mặt sân.

Ta có $OA = {y_0} = 0{,}8$; $OB = \frac{{\sqrt {107} + 5\sqrt 3 }}{4}$.

Vị trí quả bóng rơi xuống sân cách vị trí tiếp xúc với cánh tay cầu thủ đón bóng bước 1 một khoảng là: $AB = \sqrt {O{A^2} + O{B^2}} \approx 4{,}818\,\left( {\rm{m}} \right)$.

Lời giải

a) Đúng. Vì bề lõm của parabol quay lên nên $a > 0$.

b) Sai. Khi $x = 0$ thì $y = - 1 \Rightarrow c = - 1 < 0$.

c) Sai. Khi $x = 1$ thì $y = - 2 \Rightarrow a + b + c = - 2$.

Khi $x = 2$ thì $y = 1 \Rightarrow 4a + 2b + c = 1$.

Ta có hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{c = - 1}\\{a + b + c = - 2}\\{4a + 2b + c = 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{a = 2}\\{b = - 3}\\{c = - 1}\end{array}} \right.$.

Suy ra: $a - 2b + c = 7$.

d) Đúng. Từ câu c), suy ra $\left( P \right):y = 2{x^2} - 3x - 1$.

Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( P \right)$ và $\left( d \right)$:

$2{x^2} - 3x - 1 = x + 5 \Leftrightarrow 2{x^2} - 4x - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = - 1}\\{x = 3}\end{array}} \right.$.

Vậy đường thẳng $\left( d \right):y = x + 5$ luôn cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt.

Lời giải

a) Đúng. Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm $A\left( {0; - 5} \right)$.

b) Sai. Đỉnh của đồ thị hàm số là điểm $I\left( {\frac{{ - b}}{{2a}};\frac{{ - \Delta }}{{4a}}} \right) = I\left( {3;4} \right)$.

c) Sai. Xét hàm số $y = f\left( x \right) = - {x^2} + 6x - 5$, có $a < 0$ nên giá trị lớn nhất của hàm số $y = - {x^2} + 6x - 5$ là $y = f\left( { - \frac{b}{{2a}}} \right) = f\left( 3 \right) = 4$.

d) Đúng. Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng $d$ và đồ thị $\left( P \right)$ là:

$- {x^2} + 6x - 5 = 4x - m \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 5 - m = 0$ $\left( 1 \right)$

Vậy đường thẳng $d:y = 4x - m$ cắt đồ thị $\left( P \right)$ tại 2 điểm phân biệt $\Leftrightarrow \left( 1 \right)$ có 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta ' = 1 - 5 + m > 0 \Leftrightarrow m > 4.$

Lời giải

Vật chuyển động có công thức vận tốc dạng hàm số bậc hai.

Ta có $t = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{ - 4}}{{2 \cdot \frac{1}{2}}} = 4 \Rightarrow {v_{\min }} = \frac{1}{2} \cdot {4^2} - 4 \cdot 4 + 10 = 2\,({\rm{m/s)}}$.

Vậy vận tốc của vật đạt giá trị nhỏ nhất bằng $2\,{\rm{m/s}}$.

Đáp án: 2.

Lời giải

Hàm số $y = a{x^2} + bx + c$ đạt giá trị lớn nhất bằng $- 4$ tại $x = 2$ và đồ thị hàm số đi qua $A\left( {0; - 5} \right)$ nên $\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\frac{{ - b}}{{2a}} = 2\\a \cdot {2^2} + 2b + c = - 4\\a \cdot 0 + b \cdot 0 + c = - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\4a + b = 0\\4a + 2b + c = - 4\\c = - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{1}{4}\\b = 1\\c = - 5\end{array} \right.$.

Khi đó, ta có $T = a + b - c = - \frac{1}{4} + 1 + 5 = 5{,}75.$

Đáp án: $5{,}75$.

Lời giải

Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ.

Khi đó đường parabol $\left( P \right)$ có phương trình dạng $y = a{x^2} + bx + c$ $\left( {a \ne 0} \right)$ sẽ đi qua ba điểm có tọa độ là $\left( { - 1{,}6;0} \right)$, $\left( {1{,}6;0} \right)$ và $\left( { - 0{,}6;2} \right)$.

Ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}0 = a \cdot {\left( { - 1{,}6} \right)^2} + b \cdot \left( { - 1{,}6} \right) + c\\0 = a \cdot {\left( {1{,}6} \right)^2} + b \cdot \left( {1{,}6} \right) + c\\2 = a \cdot {\left( { - 0{,}6} \right)^2} + b \cdot \left( { - 0{,}6} \right) + c\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{{10}}{{11}}\\b = 0\\c = \frac{{128}}{{55}}\end{array} \right.$.

Suy ra phương trình đường parabol $\left( P \right)$ là $y = - \frac{{10}}{{11}}{x^2} + \frac{{128}}{{55}}$.

Giao điểm của $\left( P \right)$ với trục $Oy$ là đỉnh $I\left( {0;\frac{{128}}{{55}}} \right)$.

Vậy chiều cao của cái cổng là $OI = \frac{{128}}{{55}} \approx 2{,}33\,\,\left( {\rm{m}} \right)$.

Đáp án: $2{,}33$.

Lời giải

Gọi giá vé bán của nhà hát là $x$ ($0 < x < 40$).

Khi đó số tiền giảm giá vé so với giá cũ 40 nghìn đồng là $\left( {40 - x} \right)$ nghìn đồng.

Số người đến nhà hát tăng thêm mỗi ngày: $\frac{{40 - x}}{{10}} \cdot 100 = 10\left( {40 - x} \right) = 400 - 10x$.

Số người đến nhà hát mỗi ngày: $300 + 400 - 10x = 700 - 10x$.

Doanh thu từ tiền bán vé của nhà hát bằng $f\left( x \right) = x\left( {700 - 10x} \right) = - 10{x^2} + 700x$.

Hàm số $f\left( x \right)$ là hàm số bậc hai, đạt giá trị lớn nhất tại $x = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{700}}{{2 \cdot \left( { - 10} \right)}} = 35$.

Do đó để doanh thu từ tiền bán vé là lớn nhất thì giá vé của nhà hát là $A = 35$ .

Giá trị biểu thức ${A^2} + 2025 = {35^2} + 2025 = 3250$.

Đáp án: 3250.

Lời giải

Gọi $x$ là giá bán thực tế của mỗi quả bưởi da xanh ($x$: đồng, $35\,000 \le x \le 60\,000$).

Tương ứng với giá bán là $x$ thì số quả bán được là:

$30 + \frac{{10}}{{1\,000}}\left( {60\,000 - x} \right) = - \frac{1}{{100}}x + 630$.

Gọi $f\left( x \right)$ là hàm lợi nhuận thu được ($f\left( x \right)$: đồng), ta có:

$f\left( x \right) = \left( { - \frac{1}{{100}}x + 630} \right) \cdot \left( {x - 35000} \right) = - \frac{1}{{100}}{x^2} + 980x - 22\,050\,000$.

Lợi nhuận thu được lớn nhất khi hàm $f\left( x \right)$ đạt giá trị lớn nhất trên $\left[ {35000\,;60000} \right]$.

Ta có: $f\left( x \right) = - {\left( {\frac{1}{{10}}x - 4\,900} \right)^2} + 1\,960\,000 \le 1\,960\,000,\,{\rm{ }}\forall x \in \left[ {35\,000\,;60\,000} \right]$

$\Rightarrow \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {35\,000\,;60\,000} \right]} {\rm{ }}f\left( x \right) = f\left( {49\,000} \right) = 1\,960\,000$.

Vậy với giá bán $49$ nghìn đồng mỗi quả bưởi thì cửa hàng thu được lợi nhuận lớn nhất.

Đáp án: 49.