(2025 mới) Đề thi ôn tập THPT môn Toán có đáp án (Đề số 1)

a) $\overrightarrow {\rm{u}} = (1; - 1;\sqrt 2 )$ là một vectơ chỉ phương, không cùng phương với vectơ có toạ độ $(1;1;\sqrt 2 ).$

=> Sai

b) $\overrightarrow {\rm{n}} = (1;1; - \sqrt 2 )$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $({\rm{P}}).$

=> Đúng

c) Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow {\rm{u}} (1; - 1;\sqrt 2 ),\overrightarrow {\rm{v}} (1;1; - \sqrt 2 )$ bằng:

$1 \cdot 1 + ( - 1) \cdot 1 + \sqrt 2 \cdot ( - \sqrt 2 ) = - 2.$

=> Sai

d) $\sin (\Delta ,({\rm{P}})) = |\cos (\overrightarrow {\rm{u}} ,\overrightarrow {\rm{n}} )| = \frac{{|\overrightarrow {\rm{u}} \cdot \overrightarrow {\rm{n}} |}}{{|\overrightarrow {\rm{u}} | \cdot |\overrightarrow {\rm{n}} |}} = \frac{{| - 2|}}{{2 \cdot 2}} = \frac{1}{2} \Rightarrow$ Góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $({\rm{P}})$ là ${30^o}.$

=> Sai

a) ${f^\prime }(x) = 1 - \frac{1}{{{{(x + 2)}^2}}}.$

=> Đúng

b) ${f^\prime }(x) < 0 \Leftrightarrow x \in ( - 3; - 2) \cup ( - 2; - 1),{f^\prime }(x) > 0 \Leftrightarrow x \in ( - \infty ; - 3) \cup ( - 1; + \infty ).$

=> Đúng

c) Đồ thị hàm số có đường tiệm cận xiên là ${\rm{y}} = {\rm{x}}$ và đường tiệm cận đứng là $x = - 2.$

=> Sai

d) Hàm số đã cho có đồ thị như hình sau:

a) Xác suất của biến cố chọn được học sinh bị tật khúc xạ là $\frac{{89}}{{240}}.$

=> Đúng

b) Xác suất của biến cố chọn được học sinh nữ là $\frac{{132}}{{240}}.$

=> Đúng

c) Xác suất của biến cố chọn được học sinh bị tật khúc xạ biết học sinh đó là nữ bằng $\frac{{47}}{{132}}.$

=> Sai

d) Xác suất của biến cố chọn được học sinh nữ biết học sinh đó bị tật khúc xạ bằng $\frac{{47}}{{89}}.$

=> Sai

a) ${x^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 2.$

=> Đúng

b) $\int {\left( {{x^2} - 4} \right)} dx = \frac{{{x^3}}}{3} - 4x + C.$

=> Sai

c) $\left| {{{\rm{x}}^2} - 4} \right| = 4 - {{\rm{x}}^2}\quad \forall {\rm{x}} \in [ - 2;2]$

=> Sai

d) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $({\rm{P}})$ và Ox bằng:

$\int_{ - 2}^2 {\left| {{x^2} - 4} \right|} dx = - \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - 4x} \right)} \right|_{ - 2}^2 = \frac{{32}}{3}$

=> Đúng

Đáp số: 45.

Gọi O là hình chiếu của S trên mặt phẳng ${\rm{ABCD}},{\rm{O}}$ là tâm của hình vuông ABCD.

Tam giác SAC cân tại S, ngoài ra ${\rm{S}}{{\rm{A}}^2} + {\rm{S}}{{\rm{C}}^2} = {\rm{A}}{{\rm{B}}^2} + {\rm{B}}{{\rm{C}}^2} = {\rm{A}}{{\rm{C}}^2}.$

Tam giác SAC vuông cân tại S.

Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng ABCD bằng $\widehat {{\rm{SAO}}} = \widehat {{\rm{SAC}}} = {45^o }.$

Đáp số: 1.

${\log _3}\left( {{{\rm{x}}^2} - 3{\rm{x}} - 5} \right) = {\log _3}{\rm{x}} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x > 0}\\{{x^2} - 3x - 5 = x}\end{array} \Leftrightarrow x = 5} \right.$

Đáp số: 10.

Gọi M là số lượng lá bèo lúc đầu được thả vào hồ nước.

Sau 1 giờ thì hồ có 10 M lá bèo. Sau 2 giờ thì hồ có $10(10{\rm{M}}) = {10^2}{\rm{M}}$ lá bèo.

Sau k giờ thì hồ có ${10^{\rm{k}}}{\rm{M}}$ lá bèo. Sau 10 giờ thì có ${10^{10}}{\rm{M}}$ lá bèo (đầy hồ). $\frac{1}{4}$ hồ là $\frac{{{{10}^{10}} \cdot {\rm{M}}}}{4}$ lá bèo.

Cho ${10^{\rm{k}}}.{\rm{M}} = \frac{{{{10}^{10}} \cdot {\rm{M}}}}{4} \Rightarrow {\rm{k}} = \log \left( {\frac{{{{10}^{10}}}}{4}} \right) \approx 9{,}4$ (giờ).

Đáp số: 1,41.

Gọi cạnh đáy là 2x, độ dài chiều cao mặt bên là y.

Diện tích đáy là ${(2x)^2} = 4{x^2}$, diện tích xung quanh là 4xy.

Đường cao hình chóp bằng $\sqrt {{{\rm{y}}^2} - {{\rm{x}}^2}}$, thể tích của vật thể là ${\rm{V}} = \frac{{4{{\rm{x}}^2}}}{3}\sqrt {{{\rm{y}}^2} - {{\rm{x}}^2}} .$

Ta có: $4{x^2} + 4xy = 8 \Leftrightarrow {x^2} + xy = 2.$

$\Rightarrow y = \frac{{2 - {x^2}}}{x} = \frac{2}{x} - x \Rightarrow V = \frac{{4{x^2}}}{3}\sqrt {{{\left( {\frac{2}{x} - x} \right)}^2} - {x^2}}$

$= \frac{{4{x^2}}}{3}\sqrt {\frac{4}{{{x^2}}} - 4} = \frac{8}{3}\sqrt {{x^2} - {x^4}}$$f(x) = {x^2} - {x^4},x \in (0; + \infty ) \Rightarrow {f^\prime }(x) = 2x - 4{x^3} = 2x\left( {1 - 2{x^2}} \right)$,

${f^\prime }(x) = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt {\frac{1}{2}} .$

Lập bảng biến thiên hàm thể tích trên khoảng $(0; + \infty )$, ta có thể tích của khối thuỷ tinh lớn nhất khi cạnh của đáy bằng $2\sqrt {\frac{1}{2}} = \sqrt 2 \approx 1{,}41({\rm{dm}}).$

Đáp số: 42,4.

Gắn hệ toạ độ Oxy với đơn vị của mỗi trục là dm, trục Ox trùng đường thẳng $\Delta$, gốc toạ độ trùng đỉnh parabol (Hình bên).

Parabol có phương trình chính tắc ${{\rm{y}}^2} = 2{\rm{px}}.$

Parabol đi qua điểm ${\rm{A}}(3;3)$ nên ${3^2} = 2$ p. 3, suy ra $2{\rm{p}} = 3.$

Phương trình parabol là ${y^2} = 3x.$

Một nửa parabol phía trên trục Ox là đồ thị hàm số ${\rm{y}} = {\rm{f}}({\rm{x}}) = \sqrt {3{\rm{x}}} .$

Thể tích của vật thể bằng

$\pi \int_0^3 {({\rm{f}}(} {\rm{x}}){)^2}{\rm{dx}} = \pi \int_0^3 3 {\rm{xdx}} = \left. {\pi \frac{{3{{\rm{x}}^2}}}{2}} \right|_0^3 = \frac{{27\pi }}{2}$

Đáp số: 0,57.

Gọi A$_{i}$ là biến cố lần thứ i lấy được thẻ chẵn ( ${\rm{i}} = 1{,}2{,}3$ ). Ta cần tính

${\rm{P}}\left( {\overline {{{\rm{A}}_3}} \mid {{\rm{A}}_2}} \right) = \frac{{{\rm{P}}\left( {\overline {{{\rm{A}}_3}} \;{{\rm{A}}_2}} \right)}}{{{\rm{P}}\left( {{{\rm{A}}_2}} \right)}}$

${\rm{P}}\left( {{{\rm{A}}_1}} \right) = \frac{7}{{15}},{\rm{P}}\left( {\overline {{{\rm{A}}_1}} } \right) = \frac{8}{{15}},{\rm{P}}\left( {{{\rm{A}}_2}\mid {{\rm{A}}_1}} \right) = \frac{6}{{14}} = \frac{3}{7},{\rm{P}}\left( {{{\rm{A}}_2}\mid \overline {{{\rm{A}}_1}} } \right) = \frac{7}{{14}} = \frac{1}{2}$

${\rm{P}}\left( {{{\rm{A}}_2}} \right) = {\rm{P}}\left( {{{\rm{A}}_1}} \right){\rm{P}}\left( {{{\rm{A}}_2}\mid {{\rm{A}}_1}} \right) + {\rm{P}}\left( {\overline {{{\rm{A}}_1}} } \right){\rm{P}}\left( {{{\rm{A}}_2}\mid \overline {{{\rm{A}}_1}} } \right) = \frac{7}{{15}} \cdot \frac{3}{7} + \frac{8}{{15}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{7}{{15}}$

${\rm{P}}\left( {\overline {{{\rm{A}}_3}} \;{{\rm{A}}_2}} \right) = {\rm{P}}\left( {\overline {{{\rm{A}}_3}} \;{{\rm{A}}_2}\;{{\rm{A}}_1}} \right) + {\rm{P}}\left( {\overline {{{\rm{A}}_3}} \;{{\rm{A}}_2}\overline {{{\rm{A}}_1}} } \right)$

(sử dụng tính chất ${\rm{P}}({\rm{A}}) = {\rm{P}}\left( {{\rm{A}}{{\rm{A}}_1}} \right) + {\rm{P}}\left( {{\rm{A}}\overline {{{\rm{A}}_1}} } \right)$ với $\left. {{\rm{A}} = \overline {{{\rm{A}}_3}} \;{{\rm{A}}_2}} \right)$.

${\rm{P}}\left( {\overline {{{\rm{A}}_3}} \;{{\rm{A}}_2}\;{{\rm{A}}_1}} \right) = {\rm{P}}\left( {\overline {{{\rm{A}}_3}} \mid {{\rm{A}}_2}\;{{\rm{A}}_1}} \right){\rm{P}}\left( {{{\rm{A}}_2}\;{{\rm{A}}_1}} \right) = {\rm{P}}\left( {\overline {{{\rm{A}}_3}} \mid {{\rm{A}}_2}\;{{\rm{A}}_1}} \right){\rm{P}}\left( {{{\rm{A}}_2}\mid {{\rm{A}}_1}} \right){\rm{P}}\left( {{{\rm{A}}_1}} \right)$

$= \frac{8}{{13}} \cdot \frac{6}{{14}} \cdot \frac{7}{{15}}$

${\rm{P}}\left( {\overline {{{\rm{A}}_3}} \;{{\rm{A}}_2} \cdot \overline {{{\rm{A}}_1}} } \right) = {\rm{P}}\left( {\overline {{{\rm{A}}_3}} \mid {{\rm{A}}_2}\overline {{{\rm{A}}_1}} } \right){\rm{P}}\left( {{{\rm{A}}_2}\overline {{{\rm{A}}_1}} } \right) = {\rm{P}}\left( {\overline {{{\rm{A}}_3}} \mid {{\rm{A}}_2}\overline {{{\rm{A}}_1}} } \right){\rm{P}}\left( {{{\rm{A}}_2}\mid \overline {{{\rm{A}}_1}} } \right){\rm{P}}\left( {\overline {{{\rm{A}}_1}} } \right)$

$= \frac{7}{{13}} \cdot \frac{7}{{14}} \cdot \frac{8}{{15}}.$

${\rm{P}}\left( {\overline {{{\rm{A}}_3}} \mid {{\rm{A}}_2}} \right) = \frac{{{\rm{P}}\left( {\overline {{{\rm{A}}_3}} \;{{\rm{A}}_2}} \right)}}{{{\rm{P}}\left( {{{\rm{A}}_2}} \right)}} = \frac{{{\rm{P}}\left( {\overline {{{\rm{A}}_3}} \;{{\rm{A}}_2}\;{{\rm{A}}_1}} \right) + {\rm{P}}\left( {\overline {{{\rm{A}}_3}} \;{{\rm{A}}_2}\overline {{{\rm{A}}_1}} } \right)}}{{{\rm{P}}\left( {{{\rm{A}}_2}} \right)}} = \frac{{\frac{8}{{13}} \cdot \frac{6}{{14}} \cdot \frac{7}{{15}} + \frac{7}{{13}} \cdot \frac{7}{{14}} \cdot \frac{8}{{15}}}}{{\frac{7}{{15}}}}$

$= \frac{{\frac{{7.8}}{{14 \cdot 15}}}}{{\frac{7}{{15}}}} = \frac{8}{{14}} \approx 0{,}57.$