20 câu trắc nghiệm Toán 9 Kết nối tri thức Ôn tập chương IV (Đúng sai - trả lời ngắn) có đáp án

Đáp án đúng là: B

Theo định nghĩa tỉ số lượng giác trong tam giác vuông, ta có tam giác $DEF$ vuông tại $E$ nên $\sin \alpha = \frac{{DE}}{{DF}}.$

Đáp án đúng là: D

Theo định nghĩa tỉ số lượng giác trong tam giác vuông, ta có $\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = 1:\frac{1}{6} = 1 \cdot 6 = 6.$

Đáp án đúng là: C

Vì tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên:

⦁ $b = a\sin B = a\cos C = c\tan B = c\cot C\,;$

⦁ $c = a\sin C = a\cos B = c\tan B = c\cot C.$

Đáp án đúng là: D

Vì tam giác $MNP$ vuông tại $M$ nên $MN = NP.\sin P = 7.\frac{2}{9} = \frac{{14}}{9}.$

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: C

Do $\alpha ,\,\,\beta$ là số đo các góc nhọn của một tam giác vuông nên $\alpha + \beta = 90^\circ$.

Khi đó $\sin \alpha = \cos \beta ,\,\,\cos \alpha = \sin \beta ,\,\,\tan \alpha = \cot \beta ,\,\,\cot \alpha = \tan \beta$ và $\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1$.

Do đó $\tan \alpha - \cot \beta = \tan \alpha - \tan \alpha = 0.$

Đáp án đúng là: D

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, ta được:

$B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {6^2} + {8^2} = 100.$ Suy ra $AB = 10{\rm{\;cm}}.$

Vì tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên:

⦁ $\sin C = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{6}{{10}} = \frac{3}{5}.$ Do đó phương án A là khẳng định đúng.

⦁ $\cos C = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{8}{{10}} = \frac{4}{5}.$ Do đó phương án B là khẳng định đúng.

⦁ $\tan B = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}.$ Do đó phương án C là khẳng định đúng.

⦁ $\cot B = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}.$ Do đó phương án D là khẳng định sai.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: C

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A,$ có: $A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}$ (Định lí Pythagore)

Suy ra $A{B^2} = B{C^2} - A{C^2} = {8^2} - {6^2} = 28.$

Do đó $AB = 2\sqrt 7$ (cm).

Vì tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $\tan C = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{2\sqrt 7 }}{6} = \frac{{\sqrt 7 }}{3}.$

Do đó ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: B

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$, có:

⦁ $\cos B = \frac{{AB}}{{BC}}.$ Suy ra $BC = \frac{{AB}}{{\cos B}} = \frac{5}{{\frac{5}{8}}} = 8$ (cm);

⦁ $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}$ (theo định lí Pythagore)

Suy ra $A{C^2} = B{C^2} - A{B^2} = {8^2} - {5^2} = 39.$ Do đó $AC = \sqrt {39}$ (cm).

Đáp án đúng là: B

Vì tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $AB = AC.\tan C = 12.\tan 40^\circ \approx 10{,}07$ (m).

Do đó chiều cao $AB$ của cột cờ khoảng $10{,}07$ m.

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: A

Tam giác $ABC$ nhọn có $CH$ là đường cao nên $CH \bot AB$ tại $H.$

Vì tam giác $BCH$ vuông tại $H$ nên $HC = BC.\sin B.$

Vậy ta chọn phương án A.

a) Đúng.

Ta có $\tan B = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{5}{{12}}$ nên $AC = AB \cdot \frac{5}{{12}} = 6 \cdot \frac{5}{{12}} = \frac{5}{{12}} = 2{,}5\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

b) Đúng.

Áp dụng định lí Pythagore, ta có:

$$A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}$$

$${6^2} + {2{,}5^2} = B{C^2}$$

$$B{C^2} = 42{,}25$$

$BC = 6{,}5\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

c) Sai.

Vì $\tan B = \frac{5}{{12}}$ nên tính được $\widehat B \approx 23^\circ .$

d) Sai.

Có $\widehat B + \widehat C = 90^\circ$ nên $\widehat C = 90^\circ - 23^\circ = 67^\circ$.

a) Sai.

Ta có: $A = {\left( {\cot x + \tan x} \right)^2} = {\cot ^2}x + 2\cot x \cdot \tan x + {\tan ^2}x = {\tan ^2}x + {\cot ^2}x + 2.$

b) Sai.

Ta có: $B = {\left( {\cot x - \tan x} \right)^2} = {\cot ^2}x - 2\cot x \cdot \tan x + {\tan ^2}x = {\cot ^2}x + {\tan ^2}x - 2.$

Do đó, $A \ne B$.

c) Đúng.

Ta có: $A + B = {\cot ^2}x + {\tan ^2}x - 2 + {\cot ^2}x + {\tan ^2}x + 2 = 2\left( {{{\cot }^2}x + {{\tan }^2}x} \right)$.

d) Đúng.

Ta có: $A - B - 4 = {\cot ^2}x + {\tan ^2}x + 2 - {\cot ^2}x - {\tan ^2}x + 2 - 4 = 0$.

a) Sai.

Vì $\Delta IKA$ vuông với $K$ nên $AK = AI \cdot \sin I = 8 \cdot \sin 40^\circ \,\,\left( {\rm{m}} \right)$.

b) Sai.

Vì $\Delta IKA$ vuông tại $K$ nên $IK = AI \cdot \cos I = 8 \cdot \cos 40^\circ \,\,\left( {\rm{m}} \right)$.

c) Đúng.

Vì $\Delta INA$ vuông tại $A$ nên $IN = AI \cdot \cos I$ suy ra $IN = \frac{{AI}}{{\cos I}} = \frac{8}{{\cos 40^\circ }}\,\,\left( {\rm{m}} \right)$.

d) Đúng.

Có ${S_{AIN}} = \frac{1}{2} \cdot AK \cdot IN = \frac{1}{2} \cdot 8\sin 40^\circ \approx 27\,\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)$.

a) Sai.

Vì $\Delta DBC$ vuông tại $C$ nên $BC = CD \cdot \cot \widehat {CBD} = 20\cot 34^\circ \,\,\left( {{\rm{cm}}} \right).$

b) Sai.

Vì $\Delta DBC$ vuông tại $C$ nên $CD = BD \cdot \sin \widehat {CBD}$, suy ra $BD = \frac{{20}}{{\sin 34^\circ }}$ (cm).

c) Đúng.

Vì $\Delta ABD$ vuông tại $B$ nên $AB = BD \cdot \tan \widehat {BDA} = \frac{{20}}{{\sin 34^\circ }} \cdot \tan 38^\circ \approx 27{,}94\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

d) Đúng.

Vì $\Delta ABD$ vuông tại $B$ nên $BD = AD \cdot \cos \widehat {BDA}$ nên $AD = \frac{{20}}{{\sin 34^\circ }}:\cos 38^\circ \approx 45{,}39\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

Do đó, chu vi tứ giác $ABCD$ là:

$$AB + BC + CD + AD = 27{,}94 + 20 + 20 \cdot \cot 34^\circ + 45{,}39 \approx 122{,}98\,\,{\rm{cm}}\,\,\left( { < 123\,\,{\rm{cm}}} \right)$$

a) Sai.

Từ hình vẽ, ta xét tam giác vuông $ABC$, có:

$AC = AB.\tan \widehat {CBA} = 48.\tan 80^\circ \approx 272{,}22{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right){\rm{.}}$

b) Sai.

Do người đó có tầm mắt $1{,}65{\rm{ m}}$ nên chiều cao của tòa nhà là:

$272{,}22 - 1{,}65 = 270{,}57{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$.

Vậy tòa nhà cao khoảng $270{,}57{\rm{ m}}$.

c) Đúng.

Khoảng cách từ xe thu gom phế thải ở $E$ đến chân tòa nhà là độ dài đoạn $EA$.

Xét tam giác vuông $EAD$, ta có:

$$EA = \frac{{AD}}{{\tan \widehat {DEA}}} = \frac{{200}}{{\tan 65^\circ }} \approx 93{,}26{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right){\rm{.}}$$

d) Đúng

Khoảng cách của hai xe thu gom phế thải là $93{,}26 - 48 = 45{,}26{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right){\rm{.}}$

Vậy hai xe thu gom phế thải cách nhau một khoảng $45{,}26{\rm{ m}}$.

Đáp án: 1

Với $0^\circ < \alpha < 70^\circ$, ta có: $90^\circ - \left( {70^\circ - \alpha } \right) = \alpha + 20^\circ ;\,\,\,90^\circ - \left( {80^\circ - \alpha } \right) = \alpha + 10^\circ .$

Do đó:

$$A = \tan \alpha \cdot \tan \left( {\alpha + 10^\circ } \right) \cdot \tan \left( {\alpha + 20^\circ } \right) \cdot \tan \left( {70^\circ - \alpha } \right) \cdot \tan \left( {80^\circ - \alpha } \right) \cdot \tan \left( {90^\circ - \alpha } \right)$$

$$\,\,\,\,\, = \tan \alpha \cdot \tan \left( {\alpha + 10^\circ } \right) \cdot \tan \left( {\alpha + 20^\circ } \right) \cdot \cot \left( {\alpha + 20^\circ } \right) \cdot \cot \left( {\alpha + 10^\circ } \right) \cdot \cot \alpha$$

$$\,\,\,\,\, = \left( {\tan \alpha \cdot \cot \alpha } \right) \cdot \left[ {\tan \left( {\alpha + 10^\circ } \right) \cdot \cot \left( {\alpha + 10^\circ } \right)} \right] \cdot \left[ {\tan \left( {\alpha + 20^\circ } \right) \cdot \cot \left( {\alpha + 20^\circ } \right)} \right]$$

$$\,\,\,\,\, = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1.$$

Đáp án: 5.

Ta mô hình hóa bài toán như hình vẽ bên.

Khoảng cách từ gốc cây đến điểm bị gãy là $AB.$

Khoảng cách từ điểm thân tre bị gãy đến ngọn cây là $BC.$

Khoảng cách từ ngọn cây chạm đất đến gốc là $AC.$

Đặt độ dài $BC = x{\rm{\;(m)}}\,\,\left( {0 < x < 9} \right)$.

Suy ra: $AB = 9 - x.$

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$ ta có: $AB = BC \cdot \cos B$

Suy ra $9 - x = x \cdot \cos 32^\circ$

$\left( {1 + \cos 32^\circ } \right) \cdot x = 9$

$x = \frac{9}{{1 + \cos 32^\circ }}$

$$x \approx {\rm{5\;m}}{\rm{.}}$$

Do đó điểm gãy cách gốc khoảng $5$ m.

Đáp án:18,4

Xét tam giác $NMI$ vuông tại $I$, có: $\tan N = \frac{{MI}}{{NI}}$ nên $MN = \frac{{11{,}5}}{{\tan 70^\circ }} \approx 4{,}2\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

Xét tam giác $MIP$ vuông tại $I$, có: $\tan P = \frac{{MI}}{{IP}}$ nên $IP = \frac{{11{,}5}}{{\tan 38^\circ }} \approx 14{,}2\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

Do đó, $NP = NI + IP = 4{,}2 + 14{,}2 = 18{,}4\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

Đáp án: −4

Ta có: $\frac{{{{\left( {\cos \alpha - \sin \alpha } \right)}^2} - {{\left( {\cos \alpha + \sin \alpha } \right)}^2}}}{{\cos \alpha .\sin \alpha }}$

$= \frac{{\left( {\cos \alpha - \sin \alpha + \cos \alpha + \sin \alpha } \right)\left( {\cos \alpha - \sin \alpha - \cos \alpha - \sin \alpha } \right)}}{{\cos \alpha .\sin \alpha }}$

$= \frac{{2\cos \alpha .\left( { - 2\sin \alpha } \right)}}{{\cos \alpha .\sin \alpha }}$

$= \frac{{ - 4\cos \alpha .\sin \alpha }}{{\cos \alpha .\sin \alpha }} = - 4$.

Vậy $a = - 4$.

Đáp án: 15

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: $\frac{{\widehat A}}{{18}} = \frac{{\widehat C}}{5} = \frac{{\widehat B}}{{13}} = \frac{{\widehat A + \widehat B + \widehat C}}{{18 + 5 + 13}} = \frac{{180^\circ }}{{36}} = 5^\circ$.

Suy ra $\widehat A = 90^\circ ,\,\,\widehat B = 65^\circ$. Do đó, tam giác $ABC$ vuông tại $A$.

Suy ra $AC = AB \cdot \tan B = 7 \cdot \tan 65^\circ \approx 15\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)$.