20 câu trắc nghiệm Toán 9 Kết nối tri thức Bài 9. Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai (Đúng sai - trả lời ngắn) có đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có $\sqrt {\frac{3}{7}} = \frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 7 }} = \frac{{\sqrt 3 .\sqrt 7 }}{{\sqrt 7 .\sqrt 7 }} = \frac{{\sqrt {27} }}{7}$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $\sqrt {96} = \sqrt {16 \cdot 6} = \sqrt {16} \cdot \sqrt 6 = 4\sqrt 6$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $3\sqrt {11} = \sqrt {{3^2}.11} = \sqrt {9.11} = \sqrt {99}$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $\sqrt {{A^2}B} = \sqrt {{A^2}} .\sqrt B = \left| A \right|\sqrt B = - A\sqrt B$ (do $A < 0$).

Đáp án đúng là: C

Với hai số $a,b$ không âm thì $a\sqrt b = \sqrt {{a^2}b}$ nên khẳng định C là khẳng định sai.

Đáp án đúng là: B

Ta có $\sqrt {200\sqrt 3 - 100}$

$= \sqrt {100.2\sqrt 3 - 100}$

$= \sqrt {100.\left( {2\sqrt 3 - 1} \right)}$

$= \sqrt {100} .\sqrt {2\sqrt 3 - 1}$

$= 10\sqrt {2\sqrt 3 - 1}$.

Đáp án đúng là: D

Ta có $\frac{{x + \sqrt 5 }}{{\sqrt x }} = \frac{{\left( {x + \sqrt 5 } \right)\sqrt x }}{{\sqrt x \cdot \sqrt x }} = \frac{{\sqrt x \left( {x + \sqrt 5 } \right)}}{x}$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $\sqrt {128{a^4}{b^4}} - 5{b^2}$

$= \sqrt {2.64{a^4}{b^4}} - 5{b^2}$

$= \sqrt {2.{{\left( {8{a^2}{b^2}} \right)}^2}} - 5{b^2}$

$= \sqrt 2 .\sqrt {{{\left( {8{a^2}{b^2}} \right)}^2}} - 5{b^2}$

$= \sqrt 2 .8{a^2}{b^2} - 5{b^2}$

$= {b^2}\left( {8\sqrt 2 {a^2} - 5} \right)$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $3\sqrt 5 - \sqrt {6 - 2\sqrt 5 }$

$= 3\sqrt 5 - \sqrt {{1^2} - 2.1.\sqrt 5 + {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}}$

$= 3\sqrt 5 - \sqrt {{{\left( {1 - \sqrt 5 } \right)}^2}}$

$= 3\sqrt 5 - \left| {1 - \sqrt 5 } \right|$

$= 3\sqrt 5 - \left( {\sqrt 5 - 1} \right)$

$= 2\sqrt 5 + 1$.

Đáp án đúng là: B

ĐKXĐ: $x \ge 0,x \ne 4$.

Ta có $\frac{1}{{2 + \sqrt x }} - \frac{1}{{2 - \sqrt x }}$

$= \frac{{2 - \sqrt x - \left( {2 + \sqrt x } \right)}}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}}$

$= \frac{{ - 2\sqrt x }}{{{2^2} - {{\left( {\sqrt x } \right)}^2}}}$$= - \frac{{2\sqrt x }}{{4 - {x^2}}}$.

a) Sai.

Với mọi $x \ge 0$, ta có điều kiện xác định của biểu thức $A$ là:

• $x + 2\sqrt x - 3 \ne 0$ hay $\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right) \ne 0$ suy ra $\sqrt x + 3 \ne 0$ (luôn đúng) và $\sqrt x - 1 \ne 0$.

Do đó $x \ne 1$.

• $\sqrt x - 1 \ne 0$ suy ra $x \ne 1$.

• $\sqrt x + 3 \ne 0$ (luôn đúng với $x \ge 0$).

Vậy điều kiện xác định của $A$ là $x \ge 0,\,\,x \ne 1$.

b) Đúng.

Với $x \ge 0,\,\,x \ne 1$, ta có:

$A = \frac{{15\sqrt x - 19}}{{x + 2\sqrt x - 3}} - \frac{{3\sqrt x - 2}}{{1 - \sqrt x }} - \frac{{2\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 3}}$

$= \frac{{15\sqrt x - 19}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} + \frac{{\left( {3\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} - \frac{{\left( {2\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}$

$= \frac{{15\sqrt x - 19 + 3x + 7\sqrt x - 6 - 2x - \sqrt x + 3}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}$

$= \frac{{x + 21\sqrt x - 22}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}$

$= \frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 22} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}$

$= \frac{{\sqrt x + 22}}{{\sqrt x + 3}}$

Vậy $A = \frac{{\sqrt x + 22}}{{\sqrt x + 3}}$ với $x \ge 0,\,\,x \ne 1$.

c) Đúng.

Ta có: $A = \frac{{\sqrt x + 22}}{{\sqrt x + 3}} = 1 + \frac{{19}}{{\sqrt x + 3}}$ với $x \ge 0,\,\,x \ne 1$.

Để $A$ nhận giá trị nguyên thì $\frac{{19}}{{\sqrt x + 3}}$ nguyên.

Suy ra $\sqrt x + 3$ là Ư(19).

d) Sai.

Mà Ư(19)$= \left\{ {1;\,\,19;\,\, - 1;\,\, - 19} \right\}$.

Nhận thấy $\sqrt x + 3 \ge 3$ với $x \ge 0,\,\,x \ne 1$.

Suy ra $\sqrt x + 3$ = 19 hay $x = 256$ (thỏa mãn).

Vậy $x = 256$ thì $A$ nhận giá trị nguyên.

a) Đúng.

Diện tích hình chữ nhật ${S_1} = \sqrt {12} .\sqrt {18} = \sqrt {12.18} = 6\sqrt 6 .$

b) Đúng.

Diện tích hình thang ${S_2} = \frac{{\left( {\sqrt {12} + \sqrt {24} } \right).h}}{2}$.

c) Đúng.

Phương trình biểu diễn bài toán trên là: ${S_1} = {S_2}$

Hay $\frac{{\left( {\sqrt {12} + \sqrt {24} } \right).h}}{2} = 6\sqrt 6$

d) Sai.

Ta có: $\frac{{\left( {\sqrt {12} + \sqrt {24} } \right).h}}{2} = 6\sqrt 6$

Suy ra $\left( {\sqrt {12} + \sqrt {24} } \right).h = 12\sqrt 6$

Do đó, $h = \frac{{12\sqrt 6 }}{{\left( {\sqrt {12} + \sqrt {24} } \right)}}$

$h = \frac{{12\sqrt 6 \left( {\sqrt {24} - \sqrt {12} } \right)}}{{\left( {\sqrt {12} + \sqrt {24} } \right)\left( {\sqrt {24} - \sqrt {12} } \right)}}$

$h = \frac{{12\sqrt 6 .\sqrt {24} - 12\sqrt 6 .\sqrt {12} }}{{{{\left( {\sqrt {24} } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt {12} } \right)}^2}}}$

$h = \frac{{12\sqrt {6.24} - 12\sqrt {6.12} }}{{12}}$

$h = \sqrt {144} - \sqrt {72}$

$h = 12 - 6\sqrt 2$.

a) Sai.

Với mọi $a \ge 0$, ta có:

• $a - 16 \ne 0$ nên $a \ne 16.$

• $\sqrt a + 4 \ne 0$ (luôn đúng)

• $\sqrt a - 4 \ne 0$ nên $\sqrt a \ne 4$ suy ra $a \ne 16.$

Vậy điều kiện xác định của $C$ là $a \ge 0,{\rm{ }}a \ne 16$.

b) Đúng.

Với $a \ge 0,{\rm{ }}a \ne 16$, ta có:

$C = \frac{a}{{a - 16}} - \frac{2}{{\sqrt a - 4}} - \frac{2}{{\sqrt a + 4}}$

$$= \frac{a}{{\left( {\sqrt a - 4} \right)\left( {\sqrt a + 4} \right)}} - \frac{{2\left( {\sqrt a + 4} \right)}}{{\left( {\sqrt a - 4} \right)\left( {\sqrt a + 4} \right)}} - \frac{{2\left( {\sqrt a - 4} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 4} \right)\left( {\sqrt a - 4} \right)}}$$

$$= \frac{{a - 2\sqrt a - 8 - 2\sqrt a + 8}}{{\left( {\sqrt a - 4} \right)\left( {\sqrt a + 4} \right)}}$$

$$= \frac{{a - 4\sqrt a }}{{\left( {\sqrt a - 4} \right)\left( {\sqrt a + 4} \right)}}$$

$$= \frac{{\sqrt a \left( {\sqrt a - 4} \right)}}{{\left( {\sqrt a - 4} \right)\left( {\sqrt a + 4} \right)}}$$

$$= \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a + 4}}.$$

Vậy với $a \ge 0,{\rm{ }}a \ne 16$ có $C = \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a + 4}}.$

c) Đúng.

Ta có $C = \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a + 4}} < \frac{{\sqrt a + 4}}{{\sqrt a + 4}}$ với mọi $a \ge 0,{\rm{ }}a \ne 16$.

Do đó, $C < 1$ với mọi x thuộc tập xác định.

b) Đúng.

Ta có: $a = 9 - 4\sqrt 5 = 5 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt 5 + 4 = {\left( {\sqrt 5 - 2} \right)^2}$.

Thay vào $C,$ ta được:

$C = \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a + 4}} = \frac{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 2} \right)}^2}} }}{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 2} \right)}^2}} + 4}} = \frac{{\sqrt 5 - 2}}{{\sqrt 5 + 2}} = \frac{{{{\left( {\sqrt 5 - 2} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt 5 + 2} \right)\left( {\sqrt 5 - 2} \right)}} = \frac{{9 - 4\sqrt 5 }}{{5 - 4}} = 9 - 4\sqrt 5$.

Vậy giá trị của $C = 9 - 4\sqrt 5$ tại $a = 9 - 4\sqrt 5 .$

a) Đúng.

Với mọi $a \ge 0$, ta có:

• $a - \sqrt a \ne 0$ suy ra $\sqrt a \left( {\sqrt a - 1} \right) \ne 0$, do đó $a \ne 0$ và $a \ne 1.$

• $a + \sqrt a \ne 0$ suy ra $\sqrt a \left( {\sqrt a + 1} \right) \ne 0$, do đó $a \ne 0$.

• $a - 1 \ne 0$ suy ra $a \ne 1.$

Do đó, điều kiện xác định của $T$ là $a > 0,{\rm{ }}a \ne 1$.

b) Đúng.

Với $a > 0,{\rm{ }}a \ne 1$, ta có:

$$T = \left( {\frac{{a\sqrt a - 1}}{{a - \sqrt a }} - \frac{{a\sqrt a + 1}}{{a + \sqrt a }}} \right):\frac{{a + 1}}{{a - 1}}$$

$$= \left[ {\frac{{a\sqrt a - 1}}{{\left( {\sqrt a - 1} \right)\sqrt a }} - \frac{{a\sqrt a + 1}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\sqrt a }}} \right] \cdot \frac{{a - 1}}{{a + 1}}$$

$$= \left[ {\frac{{\left( {a\sqrt a - 1} \right)\left( {\sqrt a + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)\sqrt a }} - \frac{{\left( {a\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)\sqrt a }}} \right] \cdot \frac{{a - 1}}{{a + 1}}$$

$$= \frac{{\left( {a\sqrt a - 1} \right)\left( {\sqrt a + 1} \right) - \left( {a\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)\sqrt a }} \cdot \frac{{a - 1}}{{a + 1}}$$

$$= \frac{{{a^2} + a\sqrt a - \sqrt a - 1 - {a^2} + a\sqrt a - \sqrt a + 1}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)\sqrt a }} \cdot \frac{{a - 1}}{{a + 1}}$$

$$= \frac{{2a\sqrt a - 2\sqrt a }}{{\left( {a + 1} \right)\sqrt a }}$$

$= \frac{{2\left( {a - 1} \right)}}{{a + 1}}$.

Vậy với $a > 0,{\rm{ }}a \ne 1$ ta được $T = \frac{{2\left( {a - 1} \right)}}{{a + 1}}$.

c) Sai.

Vì biểu thức $T$ có điều kiện xác định là $a > 0,{\rm{ }}a \ne 1$, tức là tại $a = 1$ thì biểu thức $T$ không có giá trị.

d) Đúng.

Thay $a = 3$ (thỏa mãn điều kiện) vào $T$, ta được: $T = \frac{{2\left( {3 - 1} \right)}}{{3 + 1}} = \frac{{2.2}}{4} = 1.$

a) Đúng.

Với $x \ge 0;\,\,x \ne 9$, ta có:

$B = \frac{4}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{2x - \sqrt x - 13}}{{x - 9}} - \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}}$

$= \frac{{4\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} + \frac{{2x - \sqrt x - 13}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} - \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$

$= \frac{{4\sqrt x - 12 + 2x - \sqrt x - 13 - x - 3\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$

$= \frac{{x - 25}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \frac{{x - 25}}{{x - 9}} = \frac{{\left( {\sqrt x + 5} \right)\left( {\sqrt x - 5} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$.

b) Đúng.

Ta có: $P = \frac{B}{A} = \frac{{\left( {\sqrt x + 5} \right)\left( {\sqrt x - 5} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}:\frac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x - 3}}$

$= \frac{{\left( {\sqrt x + 5} \right)\left( {\sqrt x - 5} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 5}} = \frac{{\sqrt x - 5}}{{\sqrt x + 3}}$.

c) Sai.

Ta có: $P = \frac{{\sqrt x - 5}}{{\sqrt x + 3}} = 1 - \frac{8}{{\sqrt x + 3}}$.

Để $P$ đạt giá trị nguyên thì $\frac{8}{{\sqrt x + 3}}$ nhận giá trị nguyên.

Suy ra $\sqrt x + 3$ là Ư(8).

Nhận thấy $\sqrt x + 3 \ge 3$ với $x \ge 0;\,\,x \ne 9$.

Do đó, $\sqrt x + 3 \in {\rm{\{ }}4;\,\,8\}$

Với $\sqrt x + 3 = 4$ thì $x = 1$ (thỏa mãn).

Với $\sqrt x + 3 = 8$ thì $x = 25$ (thỏa mãn).

Do đó, có hai giá trị nguyên của $x$ để $P$ nguyên.

d) Đúng.

Thay $x = 25$ (thỏa mãn) vào $P$ được $P = \frac{{\sqrt {25} - 5}}{{\sqrt {25} + 3}} = \frac{{5 - 5}}{{5 + 3}} = \frac{0}{8} = 0$.

Đáp án: 27

Với $x = 2$, ta có:

$5\sqrt {3x} - \sqrt {12x} + \sqrt {75x} - 15$

$= 5\sqrt {3.2} - \sqrt {12.2} + \sqrt {75.2} - 15$

$= 5\sqrt 6 - \sqrt {24} + \sqrt {150} - 15$

$= 5\sqrt 6 - \sqrt {4.6} + \sqrt {25.6} - 15$

$= 5\sqrt 6 - \sqrt 4 .\sqrt 6 + \sqrt {25} .\sqrt 6 - 15$

$= 5\sqrt 6 - 2.\sqrt 6 + 5.\sqrt 6 - 15$

$= \sqrt 6 .\left( {5 - 2 + 5} \right) - 15$

$= 8\sqrt 6 - 15$$= 8\sqrt {3.2} - 15$

Suy ra $a = 8,\,\,b = 3,\,\,c = 15$.

Vậy $S = a + b + c = 9 + 3 + 15 = 27$.

Đáp án: 0

Với $x > 0,\,\,x \ne 9$, ta có:

$A = \frac{{\sqrt x + 15}}{{x - 9}} - \frac{x}{{x - 3\sqrt x }} + \frac{{2\sqrt x + 5}}{{\sqrt x + 3}}$

$A = \frac{{\left( {\sqrt x + 15} \right)\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} - \frac{{x\left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} + \frac{{\left( {2\sqrt x + 5} \right)\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}$

$A = \frac{{x + 15\sqrt x - x\sqrt x - 3x + 2x\sqrt x + 5x - 6x - 15\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$

$A = \frac{{x\sqrt x - 3x}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \frac{{x\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}}$.

Với $A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} > 0$

Lại có: $A = 1 - \frac{3}{{\sqrt x + 3}} < 1$.

Do đó $0 < A < 1$.

Vậy $x > 0,\,\,x \ne 9$ không tồn tại giá trị của $x$ để $A$ nhận giá trị là số nguyên.

Đáp án: 4

$D = \left( {\frac{{\sqrt {22} - \sqrt {11} }}{{1 - \sqrt 2 }} + \frac{{\sqrt {21} - \sqrt 7 }}{{1 - \sqrt 3 }}} \right)\left( {\sqrt 7 - \sqrt {11} } \right)$

$$= \left[ {\frac{{\left( {\sqrt {22} - \sqrt {11} } \right)\left( {1 + \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {1 - \sqrt 2 } \right)\left( {1 + \sqrt 2 } \right)}} + \frac{{\left( {\sqrt {21} - \sqrt 7 } \right)\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}{{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}} \right]\left( {\sqrt 7 - \sqrt {11} } \right)$$

$$= \left[ {\frac{{\left( {\sqrt {22} - \sqrt {11} } \right)\left( {1 + \sqrt 2 } \right)}}{{ - 1}} - \frac{{\left( {\sqrt {21} - \sqrt 7 } \right)\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}{2}} \right]\left( {\sqrt 7 - \sqrt {11} } \right)$$

$$= \left[ { - \left( {\sqrt {44} - \sqrt {22} + \sqrt {22} - \sqrt {11} } \right) - \frac{{\sqrt {21} - \sqrt 7 + \sqrt {63} - \sqrt {21} }}{2}} \right]\left( {\sqrt 7 - \sqrt {11} } \right)$$

$$= \left[ { - \sqrt {44} + \sqrt {11} - \frac{{\sqrt 7 \left( {\sqrt 9 - 1} \right)}}{2}} \right]\left( {\sqrt 7 - \sqrt {11} } \right)$$

$$= \left[ { - 2\sqrt {11} + \sqrt {11} - \sqrt 7 } \right]\left( {\sqrt 7 - \sqrt {11} } \right)$$

$$= \left( { - \sqrt {11} - \sqrt 7 } \right)\left( {\sqrt 7 - \sqrt {11} } \right)$$

$$= - \left( {\sqrt {11} + \sqrt 7 } \right)\left( {\sqrt 7 - \sqrt {11} } \right)$$

$$= - \left[ {{{\left( {\sqrt 7 } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt {11} } \right)}^2}} \right]$$

$= - \left( { - 4} \right) = 4$.

Đáp án: −0,4

Ta có: $P = \left( {\frac{{2\sqrt {xy} }}{{x - y}} - \frac{{\sqrt x + \sqrt y }}{{2\sqrt x - 2\sqrt y }}} \right).\frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x - \sqrt y }}$

$= \left[ {\frac{{4\sqrt {xy} }}{{2\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}} - \frac{{\sqrt x + \sqrt y }}{{2\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)}}} \right].\frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x - \sqrt y }}$

$= \left[ {\frac{{4\sqrt {xy} }}{{2\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}} - \frac{{\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}}{{2\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}}} \right].\frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x - \sqrt y }}$

$= \frac{{4\sqrt {xy} - {{\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}^2}}}{{2\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}}.\frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x - \sqrt y }}$

$= \frac{{4\sqrt {xy} - x - 2\sqrt {xy} - y}}{{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}}.\frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x - \sqrt y }}$

$= \frac{{ - \left( {x + 2\sqrt {xy} + y} \right)}}{{2\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}}.\frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x - \sqrt y }}$

$= \frac{{ - {{\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}^2}}}{{2\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}}.\frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x - \sqrt y }}$

$= \frac{{ - \sqrt x }}{{\sqrt x + \sqrt y }}$

Với $\frac{x}{y} = \frac{4}{9}$ suy ra $y = \frac{{9x}}{4}$.

Do đó, $P = \frac{{ - \sqrt x }}{{\sqrt x + \sqrt y }} = \frac{{ - \sqrt x }}{{\sqrt x + \frac{3}{2}\sqrt x }} = \frac{{ - \sqrt x }}{{\frac{5}{2}\sqrt x }} = - \frac{2}{5} = - 0{,}4$.

Đáp án: 3

Với $x > 0$, ta có:

$A = \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}} \right):\frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x }}$

$= \left[ {\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{\sqrt x .\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}} \right]:\frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x }}$

$= \frac{{\sqrt x + 1 + x}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}.\frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x }}$

$= \frac{{\sqrt x + 1 + x}}{{\sqrt x }}$.

Với $x > 0$, $P = \frac{{\sqrt x + 1 + x}}{{\sqrt x }} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{x}{{\sqrt x }} = 1 + \frac{1}{{\sqrt x }} + \sqrt x$

Vì $x > 0$, áp đụng BĐT Cauchy, ta có:

$\frac{1}{{\sqrt x }} + \sqrt x \ge 2\sqrt {\frac{1}{{\sqrt x }}.\sqrt x }$ hay $1 + \frac{1}{{\sqrt x }} + \sqrt x \ge 1 + 2$ hay $A \ge 3$.

Vậy GTNN của $A = 3$ khi $\frac{1}{{\sqrt x }} = \sqrt x$ hay $x = 1$.