20 câu trắc nghiệm Toán 9 Kết nối tri thức Bài 3. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình (Đúng sai - trả lời ngắn) có đáp án

Đáp án đúng là: B

Vì số cốc trà sữa và hồng trà nhóm học sinh đó đã mua là số tự nhiên nên ta có $x,y \in \mathbb{N}$ (1)

Vì nhóm học sinh đó mua tổng cộng 15 cốc trà sữa và hồng trà nên $x \le 15,y \le 15$ (2)

Từ (1), (2), ta thu được điều kiện của hai ẩn $x,y$ là $x,y \in \mathbb{N}$ và $x \le 15,y \le 15.$

Do đó ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: D

Nửa chu vi của mảnh vườn hình chữ nhật là: $50:2 = 25{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$

Vì mảnh vườn hình chữ nhật có nửa chu vi $25{\rm{\;m}}$ nên ta có phương trình $x + y = 25.$

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: A

Xếp mỗi xe $15$ tấn thì còn thừa lại $5$ tấn, suy ra số hàng chở được là $15x$ tấn.

Do đó ta có phương trình $15x = y - 5$ hay $15x - y = - 5$ (1)

Xếp mỗi xe $16$ tấn thì chở được thêm $3$ tấn nữa, suy ra số hàng chở được là $16x$ tấn.

Do đó ta có phương trình $16x = y + 3$ hay $16x - y = 3$ (2)

Từ (1), (2), ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}15x - y = - 5\\16x - y = 3.\end{array} \right.$

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: B

Quãng đường $AB$ là $xy$ (km).

⦁ Nếu ô tô tăng vận tốc thêm $15$ km/h thì vận tốc của ô tô là $x + 15$ (km/h).

Khi đó ô tô đến $B$ sớm hơn dự định là $2$ giờ nên thời gian ô tô đi từ $A$ đến $B$ là $y - 2$ (giờ).

Vì vậy ta có phương trình $\left( {x + 15} \right)\left( {y - 2} \right) = xy$ hay $xy - 2x + 15y - 30 = xy.$

Tức là, $- 2x + 15y = 30$ (1)

⦁ Nếu ô tô giảm vận tốc đi $5$ km/h thì vận tốc của ô tô là $x - 5$ (km/h).

Khi đó ô đến $B$ muộn hơn dự định là $1$ giờ nên thời gian ô tô đi là $y + 1$ (giờ).

Vì vậy ta có phương trình $\left( {x - 5} \right)\left( {y + 1} \right) = xy$ hay $xy + x - 5y - 5 = xy.$

Tức là, $x - 5y = 5$ (2)

Từ (1), (2), ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} - 2x + 15y = 30\\x - 5y = 5.\end{array} \right.$

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: A

Nửa chu vi của sàn phòng hội trường là: $330:2 = 165$ (m)

Vì nửa chu vi của sàn phòng hội trường là $165$ m nên ta có phương trình $x + y = 165$ (1)

Vì sàn phòng hội trường có chiều dài hơn chiều rộng $3$ m nên ta có phương trình $x - y = 3$ (2)

Từ (1), (2), ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 165\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\x - y = 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: B

Gọi chiều dài, chiều rộng của khu đất lần lượt là $x$ (m), $y$ (m).

Điều kiện: $x > y > 0.$

Nửa chu vi của khu đất là: $270:2 = 135$ (m)

Vì nửa chu vi của khu đất là $135$ m nên ta có phương trình $x + y = 135$ (1)

Vì khu đất có chiều dài gấp $5$ lần chiều rộng nên ta có phương trình $x = 5y$ (2)

Từ (1), (2), ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 135\\x = 5y.\end{array} \right.$

Như vậy chỉ có khẳng định (ii) là đúng.

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: D

Trong một ngày, người thứ nhất làm một mình được $\frac{1}{x}$ (công việc).

Trong một ngày, người thứ hai làm một mình được $\frac{1}{y}$ (công việc).

Trong một ngày, cả hai người làm được $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ (công việc).

Vì hai người cùng làm trong $6$ ngày thì xong công việc nên trong một ngày, cả hai người hoàn thành được $\frac{1}{6}$ công việc.

Do đó ta có phương trình $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}$ (1)

Vì người thứ nhất làm trong $3$ ngày và người hai làm trong $3 + 4 = 7$ ngày thì hoàn thành công việc nên ta có phương trình $\frac{3}{x} + \frac{7}{y} = 1$ (2)

Từ (1), (2), ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}\\\frac{3}{x} + \frac{7}{y} = 1.\end{array} \right.$

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: B

Theo kế hoạch hai tổ phải sản xuất $700$ sản phẩm, nên ta có phương trình $x + y = 700$ (1)

Vì tổ một vượt mức $15\%$ và tổ hai vượt mức $20\%$ nên cả hai tổ làm được $820$ sản phẩm nên ta có phương trình $\left( {100\% + 15\% } \right)x + \left( {100\% + 20\% } \right)y = 820$ hay $\frac{{23}}{{20}}x + \frac{6}{5}y = 820$ (2)

Từ (1), (2), ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 700\\\frac{{23}}{{20}}x + \frac{6}{5}y = 820.\end{array} \right.$

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: D

Gọi giá gốc của quyển từ điển và món đồ chơi lần lượt là $x,y$ (nghìn đồng).

Điều kiện: $0 < x,y < 750.$

Tổng số tiền của quyển từ điển và món đồ chơi là $750$ nghìn đồng, nên ta có phương trình $x + y = 750$ (1)

Do quyển từ điển được giảm $20\%$ và món đồ chơi được giảm $10\%$ nên Bình chỉ trả $630$ nghìn đồng. Khi đó ta có phương trình $\left( {100\% - 20\% } \right)x + \left( {100\% - 10\% } \right)y = 630$ hay $\frac{4}{5}x + \frac{9}{{10}}y = 630$ (2)

Từ (1), (2) ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 750\\\frac{4}{5}x + \frac{9}{{10}}y = 630.\end{array} \right.$

⦁ Khi nhân hai vế của phương trình thứ hai với 10, ta được hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 750\\8x + 9y = 6\,\,300.\end{array} \right.$

⦁ Khi nhân hai vế của phương trình thứ nhất với $\frac{4}{5}$, ta được hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\frac{4}{5}x + \frac{4}{5}y = 600\\\frac{4}{5}x + \frac{9}{{10}}y = 630.\end{array} \right.$

Do đó cả A, B, C đều đúng.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: D

Gọi $x,y$ lần lượt là số dãy và số ghế trong một dãy $\left( {x \in {\mathbb{N}^*},\,\,y \in {\mathbb{N}^*}} \right).$

Vì phòng học có tất cả $200$ ghế nên ta có $xy = 200$ (1)

Nếu kê thêm $2$ dãy và mỗi dãy tăng thêm $1$ ghế thì kê được $242$ ghế nên ta có phương trình

$\left( {x + 2} \right)\left( {y + 1} \right) = 242$ hay $xy + x + 2y + 2 = 242$

Tức là, $xy + x + 2y = 240$ (2)

Thế $xy = 200$ vào phương trình (2), ta được $200 + x + 2y = 240$ hay $x + 2y = 40$ (3)

Từ (1), (3), ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}xy = 200\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\x + 2y = 40\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.$

Từ phương trình (3), ta có $x = 40 - 2y$ (*)

Thế (*) vào phương trình (1), ta được $\left( {40 - 2y} \right)y = 200$ hay $2{y^2} - 40y + 200 = 0.$

Giải phương trình:

$$2{y^2} - 40y + 200 = 0$$

$${y^2} - 20y + 100 = 0.$$

$${\left( {y - 10} \right)^2} = 0.$$

$$y - 10 = 0.$$

$y = 10$ (thỏa mãn điều kiện)

Với $y = 10$, ta có $x = 40 - 2y = 40 - 2.10 = 20$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy phòng học ban đầu có $20$ dãy ghế, mỗi dãy có $10$ ghế.

Do đó ta chọn phương án D.

a) Đúng.

Gọi giá niêm yết của quyển sách bồi dưỡng Toán và quyển sách bồi dưỡng Ngữ Văn lần lượt là $x,{\rm{ }}y$ (đồng). Điều kiện xác định $x > 0,{\rm{ }}y > 0.$

Do đó, ý a) là đúng.

b) Đúng.

Vì một quyển sách bồi dưỡng Toán và một quyển sách bồi dưỡng Ngữ Văn với tổng số tiền theo giá niêm yết là $270{\rm{ }}000$ đồng nên ta có phương trình $x + y = 270{\rm{ }}000$. Do đó, ý b) là đúng.

c) Đúng.

Vì An mua vào lúc cửa hàng có chương trình giảm giá nên khi thanh toán quyển sách Toán được giảm giá $10\%$; quyển sách Ngữ Văn được giảm giá $20\%$ nên chỉ cần phải trả $228{\rm{ }}000$ đồng.

Do đó, ta có $\left( {100\% - 10\% } \right)x + \left( {100\% - 20\% } \right)y = 228{\rm{ }}000$ hay $0{,}9x + 0{,}8y = 228{\rm{ }}000$.

Từ đây, ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 270{\rm{ }}000\\0{,}9x + 0{,}8y = 228{\rm{ }}000\end{array} \right.$.

Do đó, ý c) là đúng.

d) Sai.

Từ phương trình $x + y = 270{\rm{ }}000$ suy ra $y = 270{\rm{ }}000 - x$.

Thay $y = 270{\rm{ }}000 - x$ vào $0{,}9x + 0{,}8y = 228{\rm{ }}000$ ta được

$0{,}9x + 0{,}8\left( {270{\rm{ }}000 - x} \right) = 228{\rm{ }}000$

$0{,}9x + 0{,}8 \cdot 270{\rm{ }}000 - 0{,}8x = 228{\rm{ }}000$

$0{,}1x = 228{\rm{ }}000 - 0{,}8 \cdot 270{\rm{ }}000$

$0{,}1x = 12{\rm{ }}000$

$x = 120{\rm{ }}000$

Thay $x = 120{\rm{ }}000$ suy ra $y = 270{\rm{ }}000 - 120{\rm{ }}000 = 150{\rm{ }}000$ (đồng).

Vậy giá niêm yết của quyển sách bồi dưỡng Toán là $120{\rm{ }}000$ đồng và quyển sách bồi dưỡng Ngữ Văn là $150{\rm{ }}000$ đồng.

Vậy ý d) là sai.

a) Đúng.

Gọi $x,\,\,y$ (giờ) lần lượt là số giờ tổ I, tổ II làm riêng để hoàn thành toàn bộ công việc $\left( {x,\,\,y > 0} \right).$

Trong 1 giờ, tổ I làm được $\frac{1}{x}$ (công việc); tổ II làm được $\frac{1}{y}$ (công việc).

Khi đó, trong 1 giờ, cả hai tổ làm được: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ (công việc).

Do đó, ý a) là đúng.

b) Đúng.

Trong 3 giờ, tổ I làm được $\frac{3}{x}$ (công việc).

Trong 5 giờ, tổ II làm được $\frac{5}{y}$ (công việc).

Do đó, ý b) là đúng.

c) Sai.

Theo bài, nếu cả hai tổ cùng làm thì sau $15$ giờ xong công việc nên trong 1 giờ cả hai tổ làm chung được $\frac{1}{{15}}$ (công việc). Ta có phương trình $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{15}}$ (1)

Theo bài, tổ I làm trong 3 giờ, tổ II làm trong 5 giờ thì hoàn thành được $25\% = \frac{1}{4}$ công việc nên ta có phương trình: $\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = \frac{1}{4}$ (2).

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{15}}\\\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = \frac{1}{4}\end{array} \right.$.

Do đó, ý c) là sai.

d) Sai.

Từ phương trình thứ nhất, ta được: $\frac{1}{x} = \frac{1}{{15}} - \frac{1}{y}$.

Thế $\frac{1}{x} = \frac{1}{{15}} - \frac{1}{y}$ vào phương trình thứ hai, ta được:

$3\left( {\frac{1}{{15}} - \frac{1}{y}} \right) + \frac{5}{y} = \frac{1}{4}$ hay $\frac{1}{5} + \frac{2}{y} = \frac{1}{4}$, suy ra $\frac{2}{y} = \frac{1}{{20}}$ nên $y = 40$ (thỏa mãn).

Thay $y = 40$ vào phương trình $\frac{1}{x} = \frac{1}{{15}} - \frac{1}{y}$, ta được:

$\frac{1}{x} = \frac{1}{{15}} - \frac{1}{{40}}$ hay $\frac{1}{x} = \frac{1}{{24}}$, suy ra $x = 24$ (thỏa mãn).

Vậy tổ I làm riêng trong 24 giờ sẽ hoàn thành công việc, tổ II làm riêng trong 40 giờ sẽ hoàn thành công việc.

Do đó, ý d) là sai.

a) Đúng.

Theo đề, mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải là $15$ km nên $y - x = 15.$

Do đó, ý a) là đúng.

b) Sai.

Thời gian xe khách đã đi là: 1 giờ 40 phút + 40 phút = 2 giờ 20 phút = $\frac{7}{3}$ giờ.

Khi hai xe gặp nhau, xe khách đi được quãng đường là: $\frac{7}{3}y$ (km) và xe tải đi được quãng đường là $\frac{2}{3}x$ (km).

Theo bài, quãng đường Thành phố Hồ Chí Minh – Cần Thơ dài 170 km nên ta có phương trình: $\frac{2}{3}x + \frac{7}{3}y = 170$.

Do đó, ý b) là sai.

c) Sai.

Từ đó, ta có hệ phương trình biểu diễn bài toán là: $\left\{ \begin{array}{l}y - x = 15\\\frac{2}{3}x + \frac{7}{3}y = 170\end{array} \right.$.

Do đó, ý c) là sai.

d) Sai.

Thế $y = 15 + x$, thế vào phương trình $\frac{2}{3}x + \frac{7}{3}y = 170$, ta được:

$\frac{2}{3}x + \frac{7}{3}\left( {15 + x} \right) = 170$

$\frac{2}{3}x + 35 + \frac{7}{3}x = 170$

$3x = 135$

$x = 45$ (thỏa mãn).

Thay $x = 45$ vào phương trình (1), ta được: $y = 15 + 45 = 60$ (thỏa mãn).

Vậy vận tốc của xe tải là $45$km/h, vận tốc của xe khách là $60$ km/h.

Vậy ý d) là sai.

a) Đúng.

Theo đề bài, tổng số học sinh hai lớp là học sinh nên ta có phương trình $x + y = 86{\rm{ }}\left( 1 \right)$

Do đó, ý a) là đúng.

b) Sai.

Lớp 9A góp được số giấy báo cũ là $3.5 + 2.\left( {x - 3} \right) = 2x + 9{\rm{ }}\left( {{\rm{kg}}} \right)$.

Lớp 9B góp được số giấy báo cũ là $3.5 + 2.\left( {y - 3} \right) = 2y + 9{\rm{ }}\left( {{\rm{kg}}} \right)$.

Mà lớp 9B góp nhiều hơn lớp 9A ${\rm{8 kg}}$ giấy báo cũ nên ta có phương trình:

$2y + 9 - 2x - 9 = 8$ suy ra $2y - 2x = 8$ hay $y - x = 4{\rm{ }}\left( 2 \right)$

Do đó, ý b) là sai.

c) Đúng.

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 86\\y - x = 4\end{array} \right.$.

Do đó, ý c) là đúng.

d) Đúng.

Cộng theo vế hai phương trình ta được $2y = 90$, suy ra $y = 45$ (TM).

Thay $y = 45$ vào phương trình (1), ta được $x + 45 = 86$, suy ra $x = 41$ (TM).

Vậy lớp 9A có $41$ học sinh, lớp 9B có $45$ học sinh.

Do đó, ý d) là đúng.

a) Đúng.

Tổng thể tích dung dịch là $1{\rm{ 000 ml}}$ nên ta có phương trình $x + y = 1\,\,000$ (1).

Do đó, ý a) là đúng.

b) Sai.

Tổng khối lượng muối trong dung dịch là $0{,}9\%$ của $1{\rm{ 000 ml}}$. Lượng muối trong dung dịch ban đầu là $1{,}5\% .x$ và trong nước cất là $0$.

Do đó ta có: $0{,}015x + 0y = 0{,}009.1\,\,000$ hay $0{,}015x = 9$ (2)

Do đó, ý b) là sai.

c) Sai.

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 1\,\,000\\0{,}015x = 9\end{array} \right.$.

Do đó, ý c) là sai.

d) Đúng.

Giải phương trình $0{,}015x = 9$ ta được $x = 600$ (thỏa mãn).

Thay $x = 600$ vào phương trình (1), được: $y = 1\,000 - 600 = 400$ (thỏa mãn).

Vậy Lan cần pha $600{\rm{ ml}}$ dung dịch nước muối $1{,}5\%$ và $400{\rm{ ml}}$ dung dịch nước cốt $0\%$ để được dung dịch mong muốn.

Do đó, ý d) là đúng.

Đáp án: 20

Gọi $x$ (triệu đồng) là giá niêm yết của máy hút ẩm và $y$ (triệu đồng) là giá niêm yết của quạt cây $\left( {0 < x < 9,\,\,0 < y < 9} \right).$

Tổng số tiền của máy hút ẩm và quạt cây là $9$ triệu đồng nên ta có phương trình $x + y = 9$ (1)

Khi máy hút ẩm được giảm $20\%$ so với giá niêm yết và quạt cây được giảm $10\%$ so với giá niêm yết thì số tiền được giảm giá là 1,6 triệu đồng nên ta có phương trình:

$20\% .x + 10\% .y = 1{,}6$ hay $\frac{1}{5}x + \frac{1}{{10}}y = 1{,}6$ (2)

Từ (1), (2), ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 9\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\frac{1}{5}x + \frac{1}{{10}}y = 1{,}6\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$

Từ phương trình (1), ta có $x = 9 - y$ (*)

Thế (*) vào phương trình (2), ta được $\frac{1}{5}\left( {9 - y} \right) + \frac{1}{{10}}y = 1{,}6$.

Giải phương trình:

$$\frac{1}{5}\left( {9 - y} \right) + \frac{1}{{10}}y = 1{,}6$$

$\frac{9}{5} - \frac{1}{5}y + \frac{1}{{10}}y = 1{,}6$.

$$- \frac{1}{{10}}y = - \frac{1}{5}$$

$y = 2$ (thỏa mãn điều kiện).

Thế $y = 2$ vào phương trình (*), ta được $x = 9 - y = 9 - 2 = 7$ (thỏa mãn điều kiện).

Vì vậy giá niêm yết của máy hút ẩm là $7$ triệu đồng và quạt cây là $2$ triệu đồng.

Do đó số tiền theo giá niêm yết bác Xuân phải trả cho siêu thị khi mua hai máy hút ẩm và ba cái quạt cây là: $2.7 + 3.2 = 20$ (triệu đồng).

Đáp án: 192

Gọi chiều dài, chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật lần lượt là $x{\rm{\;(m)}},\,\,y{\rm{\;(m)}}$$\left( {x > y > 0,\,\,x > 1} \right).$

Vì chu vi của mảnh đất là $56{\rm{\;m}}$ nên ta có phương trình $2\left( {x + y} \right) = 56$ hay $x + y = 28$ (1)

Diện tích của mảnh đất ban đầu là $xy{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}$

Nếu tăng chiều rộng thêm $2{\rm{\;m}}$ và giảm chiều dài đi $1{\rm{\;m}}$ thì lúc này, chiều dài mảnh đất là $x - 1{\rm{\;(m)}}$ và chiều rộng mảnh đất là $y + 2{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$ Khi đó diện tích mảnh đất tăng thêm $18{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}$ nên ta có phương trình $\left( {x - 1} \right)\left( {y + 2} \right) = xy + 18$ hay $xy + 2x - y - 2 = xy + 18$.

Tức là, $2x - y = 20$ (2)

Từ (1), (2), ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 28\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\2x - y = 20\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$

Từ phương trình (2), ta có $y = 2x - 20$ (*)

Thế (*) vào phương trình (1), ta được:

$x + 2x - 20 = 28$ hay $3x = 48$, tức là, $x = 16$ (thỏa mãn điều kiện).

Thế $x = 16$ vào (*), ta được $y = 2 \cdot 16 - 20 = 12$ (thỏa mãn điều kiện).

Do đó chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đó lần lượt là $16{\rm{\;m}}$ và $12{\rm{\;m}}$.

Như vậy, diện tích mảnh đất đó bằng $16 \cdot 12 = 192{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}$

Đáp án: 300

Gọi $x,y$ lần lượt là số sách ở ngăn thứ nhất, ngăn thứ hai ban đầu $\left( {x,y \in {\mathbb{N}^ * }} \right).$

Vì tổng số sách hai ngăn là $500$ cuốn nên ta có phương trình: $x + y = 500$ (1)

Sau khi chuyển $75$ cuốn sách từ ngăn thứ nhất sang ngăn thứ hai thì số sách ở ngăn thứ hai gấp $3$ lần số sách ở ngăn thứ nhất, thì:

⦁ Số sách ở ngăn thứ nhất lúc này là $x - 75$ (cuốn);

⦁ Số sách ở ngăn thứ hai lúc này là $y + 75$ (cuốn).

Ta có phương trình: $y + 75 = 3\left( {x - 75} \right)$ (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 500\\y + 75 = 3\left( {x - 75} \right)\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 500\\3x - y = 300\end{array} \right.$

Giải hệ phương trình trên, ta được: $\left\{ \begin{array}{l}x = 200\\y = 300\end{array} \right.$ (thỏa mãn điều kiện $x,y \in {\mathbb{N}^ * }).$

Vậy lúc đầu ngăn thứ nhất có $200$ cuốn sách, ngăn thứ hai có $300$ cuốn sách.

Đáp án: 47

Gọi số cần tìm là $\overline {ab} \,\,\left( {a,\,b \in \mathbb{N};\,a \ne 0;\,\,a,\,b < 10} \right)$

Theo đề, chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục 3 đơn vị nên ta có $b - a = 3$ (1).

Nếu tăng thêm chữ số hàng đơn vị 1 đơn vị thì được số gấp đôi chữ số hàng chục nên $b + 1 = 2a$ (2)

Từ (1) và (2) có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}b - a = 3\\b + 1 = 2a\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}b - a = 3\\b - 2a = - 1\end{array} \right.$.

Giải phương trình, thực hiện cộng đại số ta được $a = 4$.

Với $a = 4$ suy ra $b = 7.$

Vậy số cần tìm là 47.

Đáp án: 180

Gọi vận tốc ban đầu là $x\,\,\left( {x > 3,\,\,{\rm{km/h}}} \right)$, thời gian chạy dự định là $y\,\,\left( {y > 2} \right)$.

Do đó, độ dài quãng đường $AB$ là $xy\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)$.

Nếu ô tô tăng vận tốc 3 km/h thì rút ngắn 2 giờ so với dự định nên ta có phương trình:

$\left( {x + 3} \right)\left( {y - 2} \right) = xy\,\,\left( 1 \right)$

Nếu ô tô giảm vận tốc đi 3 km/h thì thời gian đi tăng thêm 3 giờ so với dự định nên ta có phương trình: $\left( {x - 3} \right)\left( {y + 3} \right) = xy\,\,\left( 2 \right)$.

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + 3} \right)\left( {y - 2} \right) = xy\,\,\\\left( {x - 3} \right)\left( {y + 3} \right) = xy\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}3y - 2x = 6\\3x - 3y = 9\end{array} \right.$.

Giải phương trình $\left\{ \begin{array}{l}3y - 2x = 6\\3x - 3y = 9\end{array} \right.$, ta có:

Cộng theo vế hai phương trình của hệ, ta được $x = 15$ (thỏa mãn).

Với $x = 15$ thì $y = 12$ (thỏa mãn).

Vậy độ dài quãng đường AB là: $12 \cdot 15 = 180\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)$.