20 câu trắc nghiệm Toán 9 Kết nối tri thức Bài 15. Độ dài của cung tròn. Diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên (Đúng sai - trả lời ngắn) có đáp án

Đáp án đúng là: B

Chu vi đường tròn có bán kính $R = 9$ là: $C = 2\pi R = 2\pi \cdot 9 = 18\pi .$

Vậy chu vi đường tròn có bán kính $R = 9$ là $18\pi .$

Đáp án đúng là: C

Công thức tính diện tích hình vành khuyên tạo bởi hai đường tròn đồng tâm có bán kính $R$ và $r$ (với $R > r)$ là: ${S_v} = \pi \left( {{R^2} - {r^2}} \right).$

Đáp án đúng là: D

Tỉ số giữa độ dài cung $n^\circ$ và chu vi đường tròn (cùng bán kính) luôn bằng $\frac{n}{{360}}.$

Nghĩa là, $\frac{l}{C} = \frac{n}{{360}}.$

Đáp án đúng là: A

Hình quạt tròn là phần hình tròn giới hạn bởi một cung tròn và hai bán kính đi qua hai đầu mút của cung tròn đó.

Đáp án đúng là: B

Độ dài cung tròn cần tìm là: $l = \frac{n}{{180}}\pi R = \frac{{30}}{{180}}\pi \cdot 4 = \frac{{2\pi }}{3}{\rm{\;(dm)}}{\rm{.}}$

Vậy độ dài cung tròn cần tìm bằng $\frac{{2\pi }}{3}\,\,{\rm{dm}}.$

Đáp án đúng là: D

Ta có $l = \frac{n}{{180}}\pi R.$

Suy ra $n = \frac{l}{{\pi R}} \cdot 180 = \frac{{30{,}8}}{{3{,}14 \cdot 22}} \cdot 180 \approx 80^\circ .$

Đáp án đúng là: A

Vì $IB = ID$ (cùng bằng bán kính của đường tròn $\left( I \right)$ đường kính $AB$) nên tam giác $IBD$ cân tại $I.$

Mà $\widehat {IBD} = 60^\circ ,$ do đó tam giác $IBD$ đều.

Suy ra $\widehat {BID} = 60^\circ$ nên

Bán kính đường tròn $\left( I \right)$ là: $R = \frac{{AB}}{2} = \frac{5}{2}{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Độ dài cung nhỏ $BD$ của đường tròn $\left( I \right)$ là: $l = \frac{n}{{180}}\pi R = \frac{{60}}{{180}}\pi \cdot \frac{5}{2} = \frac{{5\pi }}{6}{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Đáp án đúng là: A

Vì $OA = OM = 10{\rm{\;(cm)}}$ nên tam giác $OAM$ cân tại $O.$

Mà $\widehat {BAM} = 45^\circ$, suy ra tam giác $OAM$ vuông cân tại $O.$

Do đó số đo cung nhỏ $AM$ là:

Diện tích hình quạt $AOM$ là: $S = \frac{n}{{360}}\pi {R^2} = \frac{{90}}{{360}}\pi \cdot {10^2} = 25\pi {\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}).$

Vậy diện tích hình quạt $AOM$ bằng $25\pi {\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}.$

Đáp án đúng là: C

Ta có $OB = OC$ nên tam giác $OBC$ cân tại $O.$ Suy ra $\widehat {OCB} = \widehat {OBC} = 30^\circ .$

Tam giác $OBC$ có: $\widehat {BOC} + \widehat {OCB} + \widehat {OBC} = 180^\circ$ (định lí tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra $\widehat {BOC} = 180^\circ - \left( {\widehat {OCB} + \widehat {OBC}} \right) = 180^\circ - \left( {30^\circ + 30^\circ } \right) = 120^\circ .$

Do đó

Bán kính đường tròn $\left( O \right)$ là: $R = \frac{{AB}}{2} = \frac{{2\sqrt 2 }}{2} = \sqrt 2 {\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Diện tích hình quạt $BAC$ là: ${S_q} = \frac{n}{{360}} \cdot \pi {R^2} = \frac{{240}}{{360}} \cdot \pi \cdot {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} = \frac{{4\pi }}{3}{\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}).$

Vậy diện tích hình quạt $BAC$ bằng $\frac{{4\pi }}{3}{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}.$

Đáp án đúng là: B

Bán kính của hai đường tròn đồng tâm lần lượt là $R = \frac{8}{2} = 4{\rm{\;(cm)}}$ và $r = \frac{6}{2} = 3{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Diện tích hình vành khuyên cần tìm là: ${S_v} = \pi \left( {{R^2} - {r^2}} \right) = \pi \left( {{4^2} - {3^2}} \right) = 7\pi {\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}$

Do đó diện tích hình vành khuyên cần tìm là $7\pi {\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}.$

a) Đúng.

Có $\Delta ABC$ đều nên $\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = 60^\circ$.

Các $\Delta BOD,\,\Delta OEC$ cân có góc $60^\circ$ suy ra $\Delta BOD,\,\,\Delta OEC$ đều.

Do đó, $\widehat {BOD} = \widehat {EOC} = 60^\circ$.

Suy ra $\widehat {DOE} = 180^\circ - \widehat {BOD} - \widehat {EOC} = 60^\circ$.

b) Đúng.

Vì $\widehat {BOD} = \widehat {EOC} = \widehat {DOE} = 60^\circ$ nên .

c) Đúng.

Ta có $R = OB = \frac{{BC}}{2} = \sqrt 3 \,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)$

Diện tích hình quạt giới hạn bởi $OB,\,OC$ và cung nhỏ $BD$ là ${S_q} = \frac{{60}}{{360}} \cdot \pi \cdot {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} = \frac{\pi }{2}\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)$.

d) Sai.

Diện tích tam giác $BOD$ là: $\frac{{{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} \cdot \sqrt 3 }}{4} = \frac{{3\sqrt 3 }}{4}\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)$.

Diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây $BD$ và cung nhỏ $BD$ là: $\frac{\pi }{2} - \frac{{3\sqrt 3 }}{4} \approx 0{,}27\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)$.

a) Đúng.

Số đo cung lớn $AB$ là $360^\circ - 100^\circ = 260^\circ .$

b) Sai.

Độ dài cung nhỏ $AB$ là ${l_1} = \frac{{100}}{{180}} \cdot \pi \cdot 8 = \frac{{40\pi }}{9}\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

c) Sai.

Độ dài cung lớn $AB$ là ${l_1} = \frac{{260}}{{180}} \cdot \pi \cdot 8 = \frac{{104\pi }}{9}\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

Do đó, độ dài cung lớn $AB$ so với cung nhỏ $AB$ là: $\frac{{104\pi }}{9}:\frac{{40\pi }}{9} = 2{,}6$ (lần)

d) Đúng.

Diện tích hình quạt giới hạn bởi $OA,\,OB$ và cung lớn $AB$ là: ${S_q} = \frac{{260}}{{360}} \cdot \pi \cdot {8^2} \approx 145{,}2\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)$.

a) Đúng.

Số đo cung lớn $AB$ là: $360^\circ - 90^\circ = 270^\circ$.

Độ dài cung lớn $AB$ là: ${l_1} = \frac{{270}}{{180}} \cdot \pi \cdot 12 = 18\pi \,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)$

b) Sai.

Diện tích hình quạt giới hạn bởi $OA,\,OB$ và cung nhỏ $AB$ là: ${S_q} = \frac{{90}}{{360}} \cdot \pi \cdot {12^2} = 36\pi \,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)$.

c) Đúng.

Diện tích tam giác $AOB$ là $\frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 12 = 72\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)$.

d) Sai.

Diện tích hình viên phân giới hạn bởi $AB$ và cung nhỏ $AB$ là: $36\pi - 72 \approx 41{,}1\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)$.

a) Sai.

Độ dài cung nhỏ $AB$ là ${l_1} = \frac{{60}}{{180}} \cdot \pi \cdot 5{,}1 = \frac{{17\pi }}{{10}}$.

b) Đúng.

Diện tích hình quạt giới hạn bởi $OA,\,OB$ và cung nhỏ $AB$ là ${S_q} = \frac{{60}}{{360}} \cdot \pi \cdot {\left( {5{,}1} \right)^2} \approx 13{,}62\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)$.

c) Đúng.

Vì $\Delta AOB$ cân tại $O$ có $\widehat {AOB} = 60^\circ$ nên $\Delta AOB$ đều.

Diện tích tam giác $AOB$ là: ${S_{AOB}} = \frac{{{R^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{{5{,}1}^2} \cdot \sqrt 3 }}{4} \approx 11{,}26\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)$.

d) Sai.

Diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây $AB$ và cung nhỏ $AB$ là $13{,}62 - 11{,}26 \approx 2{,}63\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)$.

a) Đúng.

Độ dài cung $AB$ là ${l_1} = \frac{{140}}{{180}} \cdot \pi \cdot 20 = \frac{{140\pi }}{9}$.

b) Sai.

Độ dài cung $CD$ là ${l_2} = \frac{{140}}{{180}} \cdot \pi \cdot 10 = \frac{{70\pi }}{9}.$

c) Sai.

Chu vi mảnh giấy làm quạt đó là: ${l_1} + BD + {l_2} + AC = \frac{{140\pi }}{9} + 10 + \frac{{70\pi }}{9} + 10 = 20 + \frac{{70}}{3}\pi \approx 93\,\,{\rm{cm}}$.

d) Đúng.

Diện tích mảnh giấy là: $\frac{{140}}{{360}}\pi \left( {{{20}^2} - {{10}^2}} \right) = \frac{{350}}{3}\pi \approx 366{,}5\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)$.

Đáp án: 1231

Bán kính $R = 3r = 3 \cdot 7 = 21{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Diện tích của hình vành khuyên đó là: ${S_v} = \pi \left( {{R^2} - {r^2}} \right) = \pi \left( {{{21}^2} - {7^2}} \right) = 392\pi \approx 1\,\,231{\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}$

Đáp án: 14

Độ dài đoạn hàng rào từ $A$ đến $B$ của sân cỏ là:

$$l = \frac{n}{{180}}\pi R = \frac{{80}}{{180}}\pi \cdot 10 = \frac{{40\pi }}{9} \approx 14\,\,{\rm{(m)}}{\rm{.}}$$

Do đó độ dài đoạn hàng rào từ $A$ đến $B$ của sân cỏ bằng khoảng $14{\rm{\;m}}.$

Đáp án: 460

Kẻ $OH \bot AB$ tại $H.$

Tam giác $OAB$ cân tại $O$ (do $OA = OB = R$) có $OH$ là đường cao, suy ra $OH$ cũng là đường trung tuyến của tam giác. Do đó $H$ là trung điểm $AB.$

Vì vậy $HB = \frac{{AB}}{2} = \frac{{55}}{2} = {\rm{27}}{\rm{,5\;(cm)}}{\rm{.}}$

Tam giác $OAB$ cân tại $O$ có $OH$ là đường cao, suy ra $OH$ cũng là đường phân giác của tam giác.

Do đó $\widehat {BOH} = \frac{{\widehat {AOB}}}{2} = \frac{{95^\circ }}{2} = 47{,}5^\circ .$

Vì tam giác $OBH$ vuông tại $H$ nên:

⦁ $\sin \widehat {BOH} = \frac{{HB}}{{OB}},$ suy ra $OB = \frac{{HB}}{{\sin \widehat {BOH}}} = \frac{{27{,}5}}{{\sin 47{,}5^\circ }}{\rm{\;(cm);}}$

⦁ $\tan \widehat {BOH} = \frac{{HB}}{{OH}},$ suy ra $OH = \frac{{HB}}{{\tan \widehat {BOH}}} = \frac{{27{,}5}}{{\tan 47{,}5^\circ }}{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Diện tích tam giác $OAB$ là:

$${S_{\Delta OAB}} = \frac{1}{2} \cdot OH \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot \frac{{27{,}5}}{{\tan 47{,}5^\circ }} \cdot 55 = \frac{{3025}}{{4 \cdot \tan 47{,}5^\circ }} \approx 693{\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}$$

Diện tích hình quạt tròn $AOB$ là:

$${S_{hqAOB}} = \frac{n}{{360}} \cdot \pi {R^2} = \frac{{95}}{{360}} \cdot \pi \cdot O{B^2} = \frac{{19}}{{72}} \cdot \pi \cdot {\left( {\frac{{27{,}5}}{{\sin 47{,}5^\circ }}} \right)^2} \approx 1\,\,153{\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}$$

Khi đó, diện tích hình viên phân cần tìm là:

$$S = {S_{hqAOB}} - {S_{\Delta OAB}} \approx 1\,\,153 - 693 \approx 460{\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}$$

Đáp án: 735

Diện tích hình vành khuyên màu trắng tạo bởi hai đường tròn đồng tâm có bán kính bằng $15{\rm{\;cm}},\,\,18{\rm{\;cm}}$ là:

$${S_1} = \pi \left( {{{18}^2} - {{15}^2}} \right) = 99\pi {\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}$$

Diện tích hình vành khuyên màu trắng tạo bởi hai đường tròn đồng tâm có bán kính bằng $21{\rm{\;cm}},\,\,24{\rm{\;cm}}$ là:

$${S_2} = \pi \left( {{{24}^2} - {{21}^2}} \right) = 135\pi {\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}$$

Tổng diện tích hai hình vành khuyên đó là:

$$S = {S_1} + {S_2} = 99\pi + 135\pi = 234\pi \approx 735{\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}$$

Do đó tổng diện tích hai hình vành khuyên đó bằng $735{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{.}}$

Đáp án: 0,35

Bán kính của đường tròn lớn là: $90:2 = 45{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Bán kính của đường tròn nhỏ là: $60:2 = 30{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Diện tích bề mặt trên chiếc đèn chính là diện tích hình vành khuyên được giới hạn bởi hai đường tròn có bán kính lần lượt là $45{\rm{\;cm}},\,\,30{\rm{\;cm}}$ và bằng:

$S = \pi \left( {{{45}^2} - {{30}^2}} \right) = 3\,\,534{,}29{\rm{\;}}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right) \approx 0{,}35{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}$.