20 câu trắc nghiệm Toán 9 Kết nối tri thức Bài 11. Tỉ số lượng giác của góc nhọn (Đúng sai - trả lời ngắn) có đáp án

Đáp án đúng là: A

Theo định nghĩa tỉ số lượng giác trong tam giác vuông, ta có tam giác $MNP$ vuông tại $M$ nên $\cos \alpha = \frac{{MP}}{{NP}}.$

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: A

Theo định nghĩa tỉ số lượng giác trong tam giác vuông, ta có các tỉ số lượng giác của góc nhọn $\alpha$ luôn dương và $\sin \alpha < 1\,;\,\,\cos \alpha < 1.$

Do đó $0 < \sin \alpha < 1\,;\,\,0 < \cos \alpha < 1.$

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: C

Theo định nghĩa tỉ số lượng giác trong tam giác vuông, ta có $\cot \beta = \frac{1}{{\tan \beta }}.$

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: C

Phương án A, B, D đúng.

Phương án C sai. Sửa lại: Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối được gọi là côtang của góc $\alpha ,$ kí hiệu $\cot \alpha .$

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: C

Vì $\alpha ,\beta$ là hai góc phụ nhau nên $\beta = 90^\circ - \alpha .$

Theo định lí tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau, ta có:

$$\sin \alpha = \cos \left( {90^\circ - \alpha } \right) = \cos \beta ;$$

$$\tan \alpha = \cot \left( {90^\circ - \alpha } \right) = \cot \beta .$$

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: C

Vì $\alpha ,\beta$ là hai góc phụ nhau nên $\beta = 90^\circ - \alpha .$

Theo định lí tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau, ta có:

$$\sin \alpha = \cos \left( {90^\circ - \alpha } \right) = \cos \beta ;$$

$$\tan \alpha = \cot \left( {90^\circ - \alpha } \right) = \cot \beta .$$

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: A

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác $ABC$ vuông tại $C$, ta được:

$A{B^2} = A{C^2} + B{C^2} = {1^2} + {2^2} = 5.$ Suy ra $AB = \sqrt 5 {\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Vì tam giác $ABC$ vuông tại $C$ nên $\sin B = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{1}{{\sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt 5 }}{5};\,\,\cos B = \frac{{BC}}{{AB}} = \frac{2}{{\sqrt 5 }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}.$

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: B

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác $ABC$ vuông tại $C$, ta được:

$$B{C^2} = A{B^2} - A{C^2} = {1{,}5^2} - {1{,}2^2} = 0{,}81.$$

Suy ra $BC = 0{,}9{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Vì tam giác $ABC$ vuông tại $C$ nên $\tan B = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{1{,}2}}{{0{,}9}} = \frac{4}{3}.$

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: C

⦁ Cách 1: Ta có: $J = \tan 76^\circ - \cot 14^\circ = \tan 76^\circ - \cot \left( {90^\circ - 76^\circ } \right) = \tan 76^\circ - \tan 76^\circ = 0.$

⦁ Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay:

Ta có: $\cot 14^\circ = \frac{1}{{\tan 14^\circ }}.$

Đầu tiên, ta đưa máy tính về chế độ “độ”, sau đó ấn liên tiếp các phím

$\boxed{\ \tan \ }\ \boxed{\ 7\ }\ \boxed{\ 6\ }\ \boxed{^{\circ}\ '\ "}\ \boxed{\ )\ }\ \boxed{\ -\ }\ \boxed{\ 1\ }\ \boxed{\ \div \ }\ \boxed{\ \tan \ }\ \boxed{\ 1\ }\ \boxed{\ 4\ }\ \boxed{^{\circ}\ '\ "}\ \boxed{\ )\ }\ \boxed{\ =\ }$

Màn hình hiện lên kết quả: $0.$ Nghĩa là, $J = 0.$

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: B

Đầu tiên, ta đưa máy tính về chế độ “độ”, sau đó ấn liên tiếp các phím

$\boxed{\text{SHIFT}}\ \boxed{\ \sin \ }\ \boxed{\ 0\ }\ \boxed{\ \cdot \ }\ \boxed{\ 7\ }\ \boxed{\ 5\ }\ \boxed{\ =\ }$

Màn hình hiện lên kết quả $48^\circ 35'25.36'',$ làm tròn đến độ ta được kết quả $49^\circ .$

Vậy ta chọn phương án B.

a) Đúng.

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có: $\tan \alpha = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{4}{3}.$

b) Đúng.

Vì $\tan \alpha = \frac{4}{3}$ nên $\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = 1:\frac{4}{3} = \frac{3}{4}$

c) Sai.

Áp dụng định lí Pythagore, ta có: $BC = \sqrt {A{C^2} + A{B^2}} = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5\,\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)$

Suy ra $\cos \alpha = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{3}{5}$.

d) Sai.

Ta có: $\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}$ nên $\sin \alpha = \tan \alpha \cdot \cos \alpha = \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{3} = \frac{4}{5}$.

a) Đúng.

Vì tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên $AD$ vừa là đường phân giác, vừa là đường cao của tam giác đó.

Do đó $AD \bot CB$ tại $D$. Do đó, tam giác $ABD$ vuông tại $D$.

b) Đúng.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác $ABD$ vuông tại $D$, có:

$$A{D^2} + B{D^2} = A{B^2}$$

$$A{D^2} = A{B^2} - B{D^2}$$

$$A{D^2} = 9$$

$AD = 3$ (cm).

c) Sai.

Vì tam giác $ABD$ vuông tại $D$, ta có: $\tan \widehat B = \frac{{AD}}{{BD}} = \frac{3}{4}$. Vậy $\tan \widehat B = \frac{3}{4}$.

d) Sai.

Vì tam giác $ABD$ vuông tại $D$nên $\cot \widehat B = \frac{{BD}}{{AD}} = \frac{4}{3}$.

Vì tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên $\widehat B = \widehat C$ suy ra $\tan \widehat B = \tan \widehat C = \frac{3}{4}$.

Vì $\frac{3}{4} < \frac{4}{3}$ nên $\tan \widehat C < \cot \widehat B$.

a) Sai.

Trong tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $\cot B = \frac{{AB}}{{AC}}$, suy ra $\cot 60^\circ = \frac{{AB}}{{AC}}$.

Do đó, $\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$.

b) Đúng.

Theo a) có $\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$ nên $AC = \frac{{3AB}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{3 \cdot 2\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} = 6$ (cm).

Vậy $AC = 6\,\,{\rm{cm}}$.

c) Đúng.

Vì tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $\cos 60^\circ = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{2\sqrt 3 }}{{BC}}$.

Suy ra $BC = \frac{{2\sqrt 3 }}{{\cos 60^\circ }} = 4\sqrt 3$ (cm).

d) Sai.

Vì $AB = \frac{2}{3}AN$ nên $AN = 3\sqrt 3 \,\,{\rm{cm}}$, do đó $BN = 5\sqrt 3 \,\,{\rm{cm}}$.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác $NAC$ vuông tại $A$ có:

$C{N^2} = A{N^2} + A{C^2} = {\left( {3\sqrt 3 } \right)^2} + {6^2} = 63$, do đó $CN = \sqrt {63} \,\,{\rm{cm}}$.

Lại có $BC = 4\sqrt 3 \,\,{\rm{cm}}{\rm{,}}\,\,NB = 5\sqrt 3 \,\,{\rm{cm}}$.

Do đó, $BN$ là cạnh lớn nhất trong tam giác $BNC$.

a) Sai.

Xét tam giác $ABC,$ có: $\cot \beta = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{5}{{12}}.$

b) Sai.

Xét tam giác $ABC,$ có: $\tan \beta = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{12}}{5}.$

c) Đúng.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác $ABC$ có: $B{C^2} = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{{12}^2} + {5^2}} = 13\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

Suy ra $\sin \beta = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{12}}{{13}}$.

d) Sai.

Ta có: $\cos \beta = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{5}{{13}} < \frac{{12}}{{13}}$.

Vậy $\cos \beta < \sin \beta$.

a) Đúng.

Vì ba góc $A,\,\,B,\,\,C$ lần lượt tỉ lệ thuận với $\frac{{\widehat A}}{3} = \frac{{\widehat B}}{2} = \frac{{\widehat C}}{1}$.

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: $\frac{{\widehat A}}{3} = \frac{{\widehat B}}{2} = \frac{{\widehat C}}{1} = \frac{{\widehat A + \widehat B + \widehat C}}{{3 + 2 + 1}} = \frac{{180^\circ }}{6} = 30^\circ$.

Do đó, $\widehat A = 90^\circ ,\,\,\widehat B = 60^\circ ,\,\,\widehat C = 30^\circ$.

Vậy tam giác $ABC$ vuông tại $A$.

b) Sai.

Vì $\widehat B = 60^\circ$ nên $\sin B = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

c) Sai.

Vì $\widehat C = 30^\circ$ nên $\cos C = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$. Vậy $\sin B = \cos C.$

d) Sai.

Vì tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $\tan B = \frac{{AC}}{{AB}}$, do đó $BC = 2\sqrt 3 \,\,\,{\rm{cm}}$.

Vậy $AC = AB\sqrt 3$.

Đáp án: 0,5

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác $DEF$ vuông tại $D$, ta được:

$D{F^2} = E{F^2} - D{E^2} = {\left( {\sqrt {10} } \right)^2} - {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} = 8.$ Suy ra $DF = 2\sqrt 2 {\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Vì tam giác $DEF$ vuông tại $D$ nên $\cot E = \frac{{DE}}{{DF}} = \frac{{\sqrt 2 }}{{2\sqrt 2 }} = \frac{1}{2} = 0{,}5.$

Đáp án: 30

Gọi $MNPQ$ là mảnh vườn hình chữ nhật và $\alpha$ là góc giữa đường chéo $NQ$ và chiều dài $MN$ của mảnh vườn hình chữ nhật.

Vì tam giác $MNQ$ vuông tại $M$ nên $\tan \alpha = \tan \widehat {MNQ} = \frac{{MQ}}{{MN}} = \frac{{10\sqrt 3 }}{{30}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}.$

Sử dụng máy tính cầm tay, chuyển máy tính về chế độ “độ”, sau đó ấn liên tiếp các phím

$\boxed{\text{SHIFT}}\ \boxed{\ \tan \ }\ \boxed{\ \sqrt{}}\ \boxed{\ 3\ }\ \boxed{\ ⊳\ }\ \boxed{\ \div \ }\ \boxed{\ 3\ }\ \boxed{\ =\ }$

Màn hình hiện lên kết quả: $30.$ Nghĩa là, $\alpha = 30^\circ .$

Do đó góc giữa đường chéo và chiều dài của mảnh vườn bằng $30^\circ .$

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án: 70

Giả sử bóng trên mặt đất của cột đèn và tia nắng mặt trời tạo nên một góc nghiêng $\alpha .$

Suy ra cùng lúc đó, bóng trên mặt đất của tòa nhà và tia nắng mặt trời cũng tạo nên một góc nghiêng $\alpha .$

Vì tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $\tan \alpha = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{7}{4}$ (1)

Vì tam giác $DEF$ vuông tại $E$ nên $\tan \alpha = \frac{{DE}}{{EF}} = \frac{{DE}}{{80}}$ (2)

Từ (1), (2), ta thu được $\frac{{DE}}{{80}} = \frac{7}{4}.$

Do đó $DE = \frac{7}{4} \cdot 80 = 140$ (m).

Như vậy, chiều cao của tòa nhà là $140$ m.

Vậy tòa nhà đó cao $140:2 = 70$ (tầng).

Đáp án: 1.

Vì số đo ba góc $A,\,\,B,\,\,C$ lần lượt tỉ lệ với 9; 4 và 5 nên ta có $\frac{{\widehat A}}{9} = \frac{{\widehat B}}{4} = \frac{{\widehat C}}{5}$.

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: $\frac{{\widehat A}}{9} = \frac{{\widehat B}}{4} = \frac{{\widehat C}}{5} = \frac{{\widehat A + \widehat B + \widehat C}}{{9 + 4 + 5}} = \frac{{180^\circ }}{{18}} = 10^\circ .$

Suy ra $\widehat A = 90^\circ ,\;\,\widehat B = 40^\circ ,\;\,\widehat C = 50^\circ .$

Do đó, tam giác $ABC$ vuông tại $A$.

Suy ra $\widehat B,\,\,\widehat C$ là hai góc phụ nhau, do đó $\sin B = \cos C$.

Vậy $T = \frac{{\sin B}}{{\cos C}} = 1$.

Đáp án: 0,75

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác $ABC$, có:

$$A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}$$

$$9{a^2} + 16{a^2} = B{C^2}$$

$BC = 5a$.

Vì $\widehat {BAH},\,\,\widehat {ABH}$ là hai góc phụ nhau nên $\tan \widehat {BAH} = \cot \widehat {ABH}$.

Mà $\tan \widehat {ABC} = \cot \widehat {ABH} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{3a}}{{4a}} = \frac{3}{4} = 0{,}75$.

Suy ra $\tan \widehat {BAH} = 0{,}75$.