20 câu trắc nghiệm Toán 8 Kết nối tri thức Bài 14. Hình thoi và hình vuông (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án

Đáp án đúng là: A

Hình vuông là hình $1.$

Đáp án đúng là: A

Hình thoi là hình $1.$

Đáp án đúng là: C

Tứ giác $HEMF$ có: $HE = EM = MF = FH$ nên tứ giác $HEMF$ là hình thoi.

Do đó: $FE \bot HM$ tại $G,$ $EF$ là tia phân giác của $\widehat {HEM},$ $G$ là trung điểm của $FE.$

Câu sai là: $FE = HM.$

Đáp án đúng là: B

Tứ giác $ABCD$ có: $\widehat A = \widehat B = \widehat C = 90^\circ$ nên tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật.

Mà $AB = BC$ nên tứ giác $ABCD$ là hình vuông. Do đó, $AC = BD = 6\;{\rm{cm}}{\rm{.}}$ Vậy $AC = 6\;{\rm{cm}}{\rm{.}}$

Đáp án đúng là: C

Vì tứ giác $ABCD$ là hình vuông nên $\widehat {ABC} = \widehat {DAB} = 90^\circ ,\;AC = BD,\;\widehat {CAB} = \frac{1}{2}\widehat {DAB} = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ .$

Do đó, ta chọn đáp án C.

Đáp án đúng là: D

Để một tứ giác là một hình thoi, ta có thể chứng minh:

+ Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi.

+ Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi.

+ Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.

Câu sai là: Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình thoi.

Đáp án đúng là: D

Hình thoi $ABCD$ có: $\widehat A = 90^\circ$ nên $ABCD$ là hình vuông. Do đó, $AC = BD.$

Đáp án đúng là: D

Câu sai là: Hình chữ nhật có hai cạnh bằng nhau là hình vuông.

Đáp án đúng là: B

Diện tích hình thoi $ABCD$ bằng $40\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}$ nên $\frac{1}{2}AC \cdot BD = 40\;\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)$ hay $AC \cdot BD = 80\;\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).$

Vì tứ giác $ABCD$ là hình thoi nên: $OA = \frac{1}{2}AC,\;OB = \frac{1}{2}BD$ và $AC \bot BD$ tại $O.$

Tam giác $AOB$ vuông tại $O$ nên diện tích tam giác $AOB$ là:

${S_{\Delta AOB}} = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OB = \frac{1}{2} \cdot \left( {\frac{1}{2}AC} \right)\left( {\frac{1}{2}BD} \right) = \frac{1}{8} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{8} \cdot 80 = 10\;\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).$

Vậy diện tích tam giác $AOB$ bằng $10\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}.$

Đáp án đúng là: B

Hình bình hành $ABCD$ có $AB = AD$ nên tứ giác $ABCD$ là hình thoi.

Do đó, $BD$ là tia phân giác của $\widehat {ABC}.$ Vậy $\widehat {ABC} = 2\widehat {ABD}.$

a) Đúng.

Tứ giác $ABCD$ có: Hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $Q.$ Mà $Q$ vừa là trung điểm của $AC$ vừa là trung điểm của $BD$ nên tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.

Lại có: $AC \bot BD$ tại $Q$ nên hình bình hành $ABCD$ là hình thoi.

b) Đúng.

Vì tứ giác $ABCD$ là hình thoi nên $BC = AB = 4\;{\rm{cm}}{\rm{.}}$ Vậy $BC = 4\;{\rm{cm}}{\rm{.}}$

c) Sai.

Vì $ABCD$ là hình thoi nên $AC$ là tia phân giác của $\widehat {BAD}.$ Do đó, $\widehat {QAD} = \frac{1}{2}\widehat {BAD} = \frac{1}{2} \cdot 130^\circ = 65^\circ .$

Tam giác $QAD$ vuông tại $Q$ nên $\widehat {QAD} + \widehat {QDA} = 90^\circ .$ Do đó, $\widehat {QDA} = 90^\circ - \widehat {QAD} = 90^\circ - 65^\circ = 25^\circ .$

Vậy $\widehat {ADB} = 25^\circ .$

d) Đúng.

Vì tứ giác $ABCD$ là hình thoi nên $CA$ là tia phân giác của $\widehat {BCD}.$

Để hình thoi $ABCD$ là hình vuông thì $\widehat {BCD} = 90^\circ .$ Khi đó, $\widehat {ACD} = \frac{1}{2}\widehat {BCD} = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ .$

Vậy để tứ giác $ABCD$ là hình vuông thì cần thêm điều kiện $\widehat {ACD} = 45^\circ .$

a) Sai.

Tứ giác $ABCD$ có: $AB = CD,\;AB\;{\rm{//}}\;CD.$ Do đó, tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.

b) Đúng.

Vì $E$ là trung điểm của $AB$ nên $AB = 2AE.$ Mà $AB = 2AD\;\left( {gt} \right)$ nên $AE = AD.$

c) Đúng.

Vì $F$ là trung điểm của $CD$ nên $CD = 2DF.$ Mà $AB = CD\;\left( {gt} \right),\;AB = 2AE\;\left( {cmt} \right)$ nên $AE = DF.$

Tứ giác $AEFD$ có: $AE = DF,\;AE\;{\rm{//}}\;DF$ nên tứ giác $AEFD$ là hình bình hành.

Mà $AE = AD\;\left( {cmt} \right)$ nên tứ giác $AEFD$ là hình thoi.

d) Đúng.

Vì tứ giác $ABCD$ là hình bình hành nên $\widehat D = \widehat B.$

Để hình thoi $AEFD$ là hình vuông thì $\widehat D = 90^\circ .$ Khi đó, $\widehat B = \widehat D = 90^\circ .$

Vậy điều kiện để tứ giác $AEFD$ là hình vuông là $\widehat B = 90^\circ .$

a) Đúng.

Vì $AM$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $BC$ của tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $AM = \frac{1}{2}BC,$ mà $BM = MC = \frac{1}{2}BC$ nên $AM = BM = MC.$

b) Đúng.

Vì $H$ là hình chiếu của $M$ trên $AB$ nên $MH \bot AB$ tại $H.$

Vì $AM = BM$ nên tam giác $ABM$ cân tại $M.$ Do đó, $HM$ vừa là đường cao đồng thời là đường trung tuyến của tam giác $ABM$ nên $H$ là trung điểm của $AB.$

c) Sai.

Vì $D$ đối xứng với $M$ qua $H$ nên $H$ là là trung điểm của $DM.$

Tứ giác $AMBD$ có: Hai đường chéo $AB$ và $DM$ cắt nhau tại $H.$ Mà $H$ vừa là trung điểm của $AB$ vừa là trung điểm của $DM$ nên tứ giác $AMBD$ là hình bình hành.

Mà $MD \bot AB$ tại $H$ nên hình bình hành $AMBD$ là hình thoi.

Do đó, $AB$ là tia phân giác của $\widehat {DAM}.$ Suy ra $\widehat {DAB} = \widehat {BAM}.$

d) Đúng.

Để hình thoi $AMBD$ là hình vuông thì $\widehat {DBM} = 90^\circ .$

Mà $BA$ là tia phân giác của $\widehat {DBM}$ nên $\widehat {ABC} = \frac{1}{2}\widehat {DBM} = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ .$

Theo giả thiết, tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên tam giác $ABC$ vuông cân tại $A.$

Vậy để tứ giác $AMBD$ là hình vuông thì tam giác $ABC$ vuông cân tại $A.$

a) Đúng.

Vì tam giác $ABO$ vuông tại $O$ nên $AO \bot BO$ tại $O$ hay $AC \bot BD$ tại $O.$

Vì $C$ đối xứng với điểm $A$ qua $O$ nên $O$ là trung điểm của $AC.$

Tứ giác $ABCD$ có: $O$ là giao điểm của $AC,\;BD.$ Mà $O$ vừa là trung điểm của $BD$ vừa là trung điểm của $AC$ nên tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.

Lại có: $AC \bot BD$ tại $O$ nên tứ giác $ABCD$ là hình thoi.

b) Sai.

Vì chu vi hình thoi $ABCD$ bằng $40\;{\rm{cm}}$ nên $4AB = 40$ suy ra $AB = 10\;{\rm{cm}}.$ Vậy $AB = 10\;{\rm{cm}}.$

c) Sai.

Vì tứ giác $ABCD$ là hình thoi nên $AB = BC.$ Do đó tam giác $ABC$ cân tại $B.$

Do đó, $\widehat {ACB} = \widehat {CAB}.$

Vì tứ giác $ABCD$ là hình thoi nên $AC$ là tia phân giác của $\widehat {DAB}.$ Do đó, $\widehat {DAB} = 2\widehat {CAB}.$

Vậy $\widehat {DAB} = 2\widehat {ACB}.$

d) Đúng.

Nếu $\widehat {DAB} = 120^\circ$ thì:

Vì tứ giác $ABCD$ là hình thoi nên $\widehat {BAD} = \widehat {DCB} = 120^\circ ,\;\widehat {ADC} = \widehat {ABC}.$

Lại có: $\widehat {BAD} + \widehat {DCB} + \widehat {ADC} + \widehat {ABC} = 360^\circ$

$120^\circ + 120^\circ + \widehat {ABC} + \widehat {ABC} = 360^\circ$

$2\widehat {ABC} = 120^\circ$

$\widehat {ABC} = 60^\circ .$

Tam giác $ABC$ cân tại $B$ có $\widehat {ABC} = 60^\circ$ nên tam giác $ABC$ đều.

Vậy điều kiện để tam giác $ABC$ đều là $\widehat {DAB} = 120^\circ .$

a) Đúng.

Vì $CK \bot OB$ tại $K$ nên $\widehat {CKO} = 90^\circ .$ Vì $CH \bot OA$ tại $H$ nên $\widehat {CHO} = \widehat {CHA} = 90^\circ .$

Vì tam giác $AOB$ vuông tại $O$ nên $\widehat {AOB} = 90^\circ$ hay $\widehat {HOK} = 90^\circ .$

Tứ giác $HCKO$ có: $\widehat {CKO} = \widehat {HOK} = \widehat {CHO} = 90^\circ$ nên tứ giác $HCKO$ là hình chữ nhật.

Do đó, $\widehat {HCK} = 90^\circ .$

b) Đúng.

Hình chữ nhật $HCKO$ có: $OC$ là tia phân giác của $\widehat {HOK}$ nên tứ giác $HCKO$ là hình vuông.

c) Sai.

Vì tứ giác $HCKO$ là hình vuông nên $CO$ là tia phân giác của $\widehat {HCK}.$

Suy ra: $\widehat {OCK} = \frac{1}{2}\widehat {HCK} = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ .$ Vậy $\widehat {OCK} = 45^\circ .$

d) Đúng.

Vì tam giác $AHC$ vuông tại $H$ nên $\widehat A + \widehat {HCA} = 90^\circ .$

Ta có: $\widehat {HCA} + \widehat {HCK} + \widehat {KCB} = 180^\circ$ nên $\widehat {KCB} + \widehat {HCA} = 180^\circ - \widehat {HCK} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ .$

Do đó, $\widehat A = \widehat {KCB}.$

Đáp án: $1$

Tứ giác $ABCD$ có: $\widehat A = \widehat C,\;\widehat B = \widehat D$ nên tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.

Mà $AB = BC$ nên hình bình hành $ABCD$ là hình thoi. Do đó, $DA = DC.$

Do đó, số thích hợp để điền vào dấu “…” là $1.$

Đáp án: $6$

Vì tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật nên $\widehat {ABM} = \widehat {BAN} = \widehat C = 90^\circ ,\;AB = CD.$

Vì $M$ là trung điểm của $BC$ nên $BM = MC.$

Tam giác $ABM$ và tam giác $DCM$ có: $\widehat {ABM} = \widehat C = 90^\circ ,\;AB = CD,\;BM = MC.$

Do đó, $\Delta ABM = \Delta DCM\left( {c - g - c} \right)$ nên $AM = DM.$

Suy ra, $\Delta ADM$ cân tại $M.$ Do đó, $MN$ là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của $\Delta ADM.$

Do đó, $\widehat {ANM} = 90^\circ .$

Tứ giác $ANMB$ có: $\widehat {ABM} = \widehat {BAN} = \widehat {ANM} = 90^\circ$ nên tứ giác $ANMB$ là hình chữ nhật $\left( 1 \right).$

Suy ra: $\widehat {BMN} = 90^\circ \;\left( 2 \right).$

Vì $AM \bot MD$ nên $\widehat {AMD} = 90^\circ .$

Vì $MN$ là đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác của $\Delta ADM$ nên

$\widehat {AMN} = \frac{1}{2}\widehat {AMD} = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ \;\left( 3 \right).$

Từ $\left( 2 \right),\;\left( 3 \right)$ ta có: $MA$ là tia phân giác của $\widehat {BMN}\;\left( 4 \right).$

Từ $\left( 1 \right),\;\left( 4 \right)$ ta có: Tứ giác $ANMB$ là hình vuông. Do đó, $BN = AM = 6\;{\rm{cm}}.$

Đáp án: $30$

Vì tam giác $ABD$ cân tại $A$ nên $AM$ là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác đó.

Suy ra: $AM \bot BD$ tại $M$ hay $AC \bot BD$ tại $M.$

Vì $C$ là điểm đối xứng với $A$ qua $M$ nên $M$ là trung điểm của $AC.$

Tứ giác $ABCD$ có: $M$ là giao điểm của hai đường chéo $AC,\;BD.$ $M$ vừa là trung điểm của $BD,$ vừa là trung điểm của $AC$ nên tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.

Lại có: $AC \bot BD$ tại $M$ nên hình bình hành $ABCD$ là hình thoi. Do đó, $AB = BC = CD = DA.$

Vì rằng chu vi tam giác $BCD$ bằng $30\;{\rm{cm}}$ nên $BC + BD + CD = 30,$ suy ra $AB + BD + AD = 30.$

Vậy chu vi tam giác $BAD$ bằng $30\;{\rm{cm}}{\rm{.}}$

Đáp án: $45$

Vì tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ nên $\widehat B = \widehat C = 45^\circ .$

Vì $GD \bot BC,\;FE \bot BC$ nên $\widehat {GDB} = \widehat {FEC} = \widehat {FED} = 90^\circ .$

Tam giác $BDG$ có: $\widehat B = 45^\circ ,\;\widehat {GDB} = 90^\circ$ nên tam giác $BDG$ vuông cân tại $D.$ Do đó, $BD = DG.$

Tam giác $FEC$ có: $\widehat C = 45^\circ ,\;\widehat {FEC} = 90^\circ$ nên tam giác $FEC$ vuông cân tại $E.$ Do đó, $FE = EC.$

Vì $BD = DG,\;FE = EC,\;BD = DE = EC$ nên $DG = DE = FE.$

Tứ giác $GFED$ có: $DG = FE,\;DG{\rm{//}}FE$ (cùng vuông góc với $BC$) nên tứ giác $GFED$ là hình bình hành.

Lại có: $\widehat {FED} = 90^\circ$ nên tứ giác $GFED$ là hình chữ nhật.

Mà $DG = DE$ nên tứ giác $GFED$ là hình vuông.

Suy ra: $\widehat {DGF} = 90^\circ$ và $GE$ là tia phân giác của $\widehat {DGF}.$ Do đó, $\widehat {DGE} = \frac{1}{2}\widehat {DGF} = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ .$

Vậy $\widehat {DGE} = 45^\circ .$

Đáp án: $45$

Vì tứ giác $ABCD$ là hình vuông nên $AB = BC = CD = DA,\;\widehat A = \widehat B = \widehat C = \widehat D = 90^\circ .$

Vì $AB = BC = CD = DA,\;AE = BF = CG = HD$ nên:

$AB - AE = BC - BF = CD - CG = DA - HD$ hay $EB = FC = DG = AH.$

Tam giác $AEH$ và tam giác $BFE$ có: $\widehat A = \widehat B = 90^\circ ,\;AE = BF,\;AH = EB.$

Suy ra: $\Delta AEH = \Delta BFE\;\left( {c - g - c} \right)$ nên $HE = EF.$

Chứng minh tương tự ta có:

+ $\Delta CGF = \Delta BFE\;\left( {c - g - c} \right)$ nên $GF = EF.$

+ $\Delta CGF = \Delta DHG\;\left( {c - g - c} \right)$ nên $GF = HG.$

+ $\Delta AEH = \Delta DHG\;\left( {c - g - c} \right)$ nên $HE = HG.$

Do đó, $HE = EF = FG = GH.$ Suy ra, tứ giác $HEFG$ là hình thoi $\left( 1 \right).$

Vì $\Delta AEH = \Delta BFE\;\left( {cmt} \right)$ nên $\widehat {AHE} = \widehat {BEF}.$

Ta có: $\widehat {AHE} + \widehat {HEA} = 90^\circ$ nên $\widehat {FEB} + \widehat {HEA} = 90^\circ .$

Mà $\widehat {HEA} + \widehat {HEF} + \widehat {FEB} = 180^\circ$ nên $\widehat {HEF} = 180^\circ - \left( {\widehat {FEB} + \widehat {HEA}} \right) = 90^\circ \;\left( 2 \right).$

Từ $\left( 1 \right),\;\left( 2 \right)$ ta có tứ giác $HEFG$ là hình vuông. Do đó, $EG$ là tia phân giác của $\widehat {HEF}.$

Suy ra: $\widehat {HEG} = \frac{1}{2}\widehat {HEF} = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ .$ Vậy $\widehat {HEG} = 45^\circ .$