20 câu trắc nghiệm Toán 8 Chân trời sáng tạo Bài 3. Tính chất đường phân giác của tam giác (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án

Đáp án đúng là: A

$\Delta ABC$ có $\frac{{CE}}{{BE}} = \frac{{AC}}{{AB}}$ nên $AE$ là đường phân giác của $\Delta ABC.$

Đáp án đúng là: A

Vì $AD$ là đường phân giác của $\Delta ABC$ nên $\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{BD}}{{DC}}.$

Đáp án đúng là: D

$\Delta ABC$ có: $\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{BD}}{{DC}}\left( { = \frac{2}{3}} \right)$ nên $AD$ là tia phân giác của $\widehat {BAC}$ trong $\Delta ABC.$

Do đó, $\widehat {DAC} = \frac{1}{2}\widehat {BAC} = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ .$ Vậy $\widehat {DAC} = 45^\circ .$

Đáp án đúng là: B

Vì $EM$ là tia phân giác của $\widehat {DEF}$ trong $\Delta DEF$ nên $\frac{{ED}}{{EF}} = \frac{{DM}}{{MF}}.$

Suy ra $EF = \frac{{MF \cdot ED}}{{DM}} = \frac{{56 \cdot 45}}{{35}} = 72\;\left( {{\rm{cm}}} \right).$ Vậy $x = 72\;{\rm{cm}}.$

Đáp án đúng là: C

Vì $AD$ là đường phân giác của $\Delta ABC$ nên $\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{BD}}{{DC}}.$ Suy ra: $DC = \frac{{AC \cdot BD}}{{AB}} = \frac{{16 \cdot 8}}{{10}} = 12{,}8\;\left( {{\rm{cm}}} \right).$

Do đó, $BC = CD + DB = 12{,}8 + 8 = 20{,}8\;\left( {{\rm{cm}}} \right).$ Vậy $BC = 20{,}8\;{\rm{cm}}{\rm{.}}$

Đáp án đúng là: A

Vì $OM$ là tia phân giác của $\widehat {EOF}$ trong $\Delta OEF$ nên $\frac{{EM}}{{MF}} = \frac{{OE}}{{OF}} = \frac{4}{3}.$ Suy ra $EM = \frac{4}{3}MF.$

Đáp án đúng là: B

$\Delta ABC$ có $\frac{{DC}}{{BD}} = \frac{{AC}}{{AB}}\left( { = \frac{3}{4}} \right)$ nên $AD$ là tia phân giác của $\widehat {BAC}.$ Do đó, $\widehat {BAC} = 2\widehat {DAC}.$

Đáp án đúng là: D

$\Delta ABC$ có $\frac{{AI}}{{BI}} = \frac{{AC}}{{BC}}$ nên $CI$ là tia phân giác của $\widehat {ACB}.$

Vì $D$ là giao điểm của hai đường phân giác $AE$ và $CI$ của $\Delta ABC$ nên $BD$ là đường phân giác của $\widehat {ABC}$ trong $\Delta ABC.$ Do đó, $\widehat {ABD} = \widehat {DBC}.$

Đáp án đúng là: B

Vì $D$ là giao điểm của hai đường phân giác góc $BAC$ và góc $ABC$ của $\Delta ABC$ nên $CD$ là đường phân giác của $\Delta ABC.$ Suy ra $CE$ là tia phân giác của $\widehat {ACB}.$ Do đó, $\frac{{EA}}{{BE}} = \frac{{AC}}{{BC}}.$

Đáp án đúng là: D

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $BC = AD = 10\;{\rm{cm}},\;AB = DC = 8\;{\rm{cm}}.$

Vì $BE$ là tia phân giác của $\widehat {ABC}$ trong $\Delta ABC$ nên $\frac{{EC}}{{AE}} = \frac{{BC}}{{BA}} = \frac{{10}}{8} = \frac{4}{5}.$ Vậy $\frac{{EC}}{{AE}} = \frac{4}{5}.$

a) Đúng.

Vì $AM$ là tia phân giác của $\widehat {BAC}$ trong $\Delta ABC$ nên $\frac{{BM}}{{MC}} = \frac{{AB}}{{AC}}.$

b) Sai.

Vì $CN$ là tia phân giác của $\widehat {BCA}$ trong $\Delta ABC$ nên $\frac{{BN}}{{AN}} = \frac{{BC}}{{AC}}.$

c) Đúng.

Vì $\Delta ABC$ cân tại $B$ nên $AB = BC.$

Vì $AB = BC,\;\frac{{BN}}{{AN}} = \frac{{BC}}{{AC}},\;\frac{{BM}}{{MC}} = \frac{{AB}}{{AC}}$ nên $\frac{{BM}}{{MC}} = \frac{{BN}}{{AN}}.$

$\Delta ABC$ có: $\frac{{BM}}{{MC}} = \frac{{BN}}{{AN}}$ (định lí Thalès đảo) nên $MN\;{\rm{//}}\;AC.$

d) Đúng.

Vì $MN\;{\rm{//}}\;AC$ nên tứ giác $MNAC$ là hình thang. Lại có: $\widehat {NAC} = \widehat {MCA}$ (do $\Delta ABC$ cân tại $B$).

Do đó, tứ giác $MNAC$ là hình thang cân.

a) Sai.

Vì $BI$ là tia phân giác của $\widehat {ABD}$ trong $\Delta ABD$ nên $\frac{{IA}}{{ID}} = \frac{{BA}}{{BD}}.$

b) Đúng.

Vì $\frac{{IA}}{{ID}} = \frac{{BA}}{{BD}}$ nên $\frac{{IA}}{{AB}} = \frac{{ID}}{{BD}}.$

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: $\frac{{IA}}{{AB}} = \frac{{ID}}{{BD}} = \frac{{IA + ID}}{{AB + BD}} = \frac{{AD}}{{AB + BD}}.$

Suy ra $\frac{{ID}}{{BD}} = \frac{{AD}}{{AB + BD}}.$

Vậy $\frac{{AD}}{{ID}} = \frac{{AB + BD}}{{BD}}.$

c) Đúng.

Vì $CI$ là tia phân giác của $\widehat {ACD}$ trong $\Delta ACD$ nên $\frac{{IA}}{{ID}} = \frac{{CA}}{{CD}}.$ Suy ra: $\frac{{IA}}{{CA}} = \frac{{ID}}{{CD}}.$

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: $\frac{{IA}}{{CA}} = \frac{{ID}}{{CD}} = \frac{{IA + ID}}{{CA + CD}} = \frac{{AD}}{{CA + CD}}.$

Vậy $\frac{{AD}}{{ID}} = \frac{{CA + CD}}{{CD}}.$

d) Sai.

Vì $\frac{{AD}}{{ID}} = \frac{{CA + CD}}{{CD}} = \frac{{AB + BD}}{{BD}}$ nên theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{{AD}}{{ID}} = \frac{{CA + CD}}{{CD}} = \frac{{AB + BD}}{{BD}} = \frac{{CA + CD + AB + BD}}{{CD + BD}} = \frac{{CA + AB + BC}}{{BC}}.$

Vậy $\frac{{DI}}{{DA}} = \frac{{BC}}{{AB + BC + CA}}.$

a) Đúng.

Vì $BF$ là tia phân giác của $\widehat {ABC}$ trong $\Delta ABC$ nên $\frac{{FA}}{{FC}} = \frac{{BA}}{{BC}}.$

b) Đúng.

Vì $AE$ là tia phân giác của $\widehat {DAB}$ trong $\Delta ABD$ nên $\frac{{BE}}{{ED}} = \frac{{AB}}{{AD}}.$

Ta có: $BC = AD$ (do tứ giác $ABCD$ là hình bình hành), $\frac{{FA}}{{FC}} = \frac{{BA}}{{BC}},\;\frac{{BE}}{{ED}} = \frac{{AB}}{{AD}}$ nên $\frac{{EB}}{{ED}} = \frac{{FA}}{{FC}}.$

c) Sai.

Vì $\frac{{EB}}{{ED}} = \frac{{FA}}{{FC}}$ nên $\frac{{BE + DE}}{{ED}} = \frac{{AF + FC}}{{FC}}$ hay $\frac{{BD}}{{ED}} = \frac{{AC}}{{FC}}.$ Suy ra $\frac{{2OD}}{{ED}} = \frac{{2OC}}{{FC}}$ hay $\frac{{OD}}{{ED}} = \frac{{OC}}{{FC}}.$

d) Đúng.

$\Delta DOC$ có: $\frac{{OD}}{{ED}} = \frac{{OC}}{{FC}}$ nên $EF\;{\rm{//}}\;DC$ (Định lí Thalès đảo).

Mà $DC\;{\rm{//}}\;AB$ (do tứ giác $ABCD$ là hình bình hành) nên $EF\;{\rm{//}}\;AB\;{\rm{//}}\;CD.$

a) Sai.

Vì $\Delta ABC$ vuông cân tại $A$ nên $\widehat {ABC} = \widehat {ACB}.$

Vì $BE$ là tia phân giác của $\widehat {ABC}$ nên $\widehat {ABI} = \widehat {IBH} = \frac{1}{2}\widehat {ABC}.$

$\Delta BIH$ vuông tại $H$ nên: $\widehat {BIH} + \widehat {HBI} = 90^\circ$ suy ra $\widehat {BIH} = 90^\circ - \widehat {HBI} = 90^\circ - \frac{1}{2}\widehat {ABC}.$

Mà $\widehat {BIH} = \widehat {AIE}$ (hai góc đối đỉnh) nên $\widehat {AIE} = 90^\circ - \frac{1}{2}\widehat {ABC}.$

$\Delta ABE$ vuông tại $A$ nên: $\widehat {IEA} + \widehat {ABI} = 90^\circ$ suy ra $\widehat {IEA} = 90^\circ - \widehat {ABI} = 90^\circ - \frac{1}{2}\widehat {ABC}.$

Do đó, $\widehat {AIE} = \widehat {IEA}.$ Do đó, $\Delta IAE$ cân tại $A.$ Do đó, $AI = AE.$

b) Đúng.

Vì $BI$ là tia phân giác của $\widehat {ABH}$ trong tam giác $ABH$ nên $\frac{{AI}}{{IH}} = \frac{{AB}}{{BH}}.$ Suy ra $\frac{{AB}}{{IA}} = \frac{{BH}}{{HI}}.$

c) Đúng.

Vì $BE$ là tia phân giác của $\widehat {ABC}$ trong tam giác $\Delta ABC$ nên $\frac{{AE}}{{EC}} = \frac{{AB}}{{BC}}.$ Suy ra $\frac{{AB}}{{AE}} = \frac{{BC}}{{EC}}.$

Vì $\frac{{AB}}{{IA}} = \frac{{BH}}{{HI}},\;\frac{{AB}}{{AE}} = \frac{{BC}}{{EC}},\;AI = AE$ nên $\frac{{BH}}{{IH}} = \frac{{BC}}{{EC}}.$

d) Sai.

Vì $\frac{{BH}}{{IH}} = \frac{{BC}}{{EC}}$ nên $EC = \frac{{BC \cdot HI}}{{BH}}.$

Vì $\Delta ABC$ vuông cân tại $A$ nên $AH$ là đường cao đồng thời là đường trung tuyến của $\Delta ABC.$

Do đó, $BC = 2BH.$ Suy ra: $EC = \frac{{2BH \cdot HI}}{{BH}} = 2HI.$ Vậy $EC = 2IH.$

a) Đúng.

Vì tứ giác $ABCD$ là hình vuông nên $CB = CD.$

Vì $M$ là trung điểm của $CD$ nên $\frac{{CM}}{{CD}} = \frac{1}{2}.$ Do đó, $\frac{{CM}}{{CB}} = \frac{1}{2}.$

b) Đúng.

Vì tứ giác $ABCD$ là hình vuông nên $CA$ là tia phân giác của góc $BCD.$

Vì $CE$ là tia phân giác của $\widehat {BCM}$ trong $\Delta BCM$ nên $\frac{{BE}}{{EM}} = \frac{{BC}}{{CM}} = 2.$ Do đó, $BE = 2EM.$

c) Đúng.

Theo đề bài, $E$ là điểm gặp nhau của hai bạn nên bạn Minh đi theo quãng đường $ME,$ bạn Dũng đi theo quãng đường $BE.$ Mà hai bạn đi với vận tốc bằng nhau nên thời gian bạn Dũng đi gấp hai lần thời gian bạn Minh thì hai bạn gặp nhau tại điểm $E.$

d) Sai.

Bạn Minh gặp bạn Dũng lúc $13$ giờ $30$ phút và xuất phát lúc $13$ giờ nên thời gian bạn Minh đi quãng đường $ME$ là $30$ phút. Do đó, thời gian bạn Dũng đi quãng đường $BE$ là $1$ giờ.

Bạn Dũng xuất phát từ lúc: $13$ giờ $30$ phút $- \;1$ giờ $= 12$ giờ $30$ phút.

Vậy bạn Dũng cần xuất phát lúc $12$ giờ $30$ phút thì hai bạn gặp nhau tại điểm $E$ lúc $13$ giờ $30$ phút.

Đáp án: $2{,}5$

$\Delta ABC$ có $AD$ là tia phân

: $\frac{{AE}}{{EC + AE}} = \frac{2}{{3 + 2}} = \frac{2}{5}.$giác của $\widehat {BAC}$ nên $\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}.$

$\Delta ABC$ có $DE\;{\rm{//}}\;BC$ nên theo định lí Thalès ta có: $\frac{{AE}}{{EC}} = \frac{{BD}}{{DC}} = \frac{2}{3}.$ Do đó

Suy ra $\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{2}{5}.$ Do đó, $AC = 2{,}5AE.$

Vậy số thích hợp điền vào “…” là $2{,}5.$

Đáp án: $2{,}3$

Vì $BE$ là tia phân giác của $\widehat {ABC}$ trong $\Delta ABC$ nên $\frac{{EA}}{{EC}} = \frac{{AB}}{{CB}} = \frac{5}{8}.$ Suy ra: $EC = \frac{8}{5}EA.$

Lại có: $AE + EC = AC$ nên $AE + \frac{8}{5}AE = 6,$ suy ra $\frac{{13}}{5} \cdot AE = 6.$ Vậy $AE \approx 2{,}3\;{\rm{cm}}{\rm{.}}$

Đáp án: $50$

Vì $I$ là trung điểm của $BC$ nên $BI = IC.$

Vì $IM$ là tia phân giác của góc $AIB$ trong $\Delta IAB$ nên $\frac{{IB}}{{IA}} = \frac{{BM}}{{MA}}.$

Vì $IN$ là tia phân giác của góc $AIC$ trong $\Delta IAC$ nên $\frac{{IC}}{{IA}} = \frac{{NC}}{{NA}}.$

Vì $BI = IC,\;\frac{{IB}}{{IA}} = \frac{{BM}}{{MA}},\;\frac{{IC}}{{IA}} = \frac{{NC}}{{NA}}$ nên $\frac{{BM}}{{MA}} = \frac{{NC}}{{NA}}.$

$\Delta ABC$ có $\frac{{BM}}{{MA}} = \frac{{NC}}{{NA}}$ nên $MN\;{\rm{//}}\;BC$ (định lí Thalès đảo). Do đó, $\widehat {AMN} = \widehat B = 50^\circ$ (hai góc đồng vị)

Vậy $\widehat {AMN} = 50^\circ .$

Đáp án: $48$

Vì $\frac{{BD}}{{BC}} = \frac{2}{5}$ nên $\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{2}{3}.$ Vì $\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{5}{9}$ nên $\frac{{AE}}{{BE}} = \frac{5}{4}.$

Vì chu vi $\Delta ABC$ bằng $148\;{\rm{cm}}$ nên $AB + AC + BC = 148.$

Vì $AD$ là tia phân giác của $\widehat {CAB}$ trong $\Delta ABC$ nên $\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{BD}}{{DC}} = \frac{2}{3}.$ Suy ra $\frac{{AB}}{2} = \frac{{AC}}{3}.$

Vì $CE$ là tia phân giác của $\widehat {ACB}$ trong $\Delta ABC$ nên $\frac{{CA}}{{CB}} = \frac{{AE}}{{EB}} = \frac{5}{4}.$ Suy ra $\frac{{AC}}{5} = \frac{{BC}}{4}.$

Vì $\frac{{AB}}{2} = \frac{{AC}}{3},\;\frac{{AC}}{5} = \frac{{BC}}{4}$ nên $\frac{{AB}}{{10}} = \frac{{AC}}{{15}} = \frac{{BC}}{{12}}.$

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: $\frac{{AB}}{{10}} = \frac{{AC}}{{15}} = \frac{{BC}}{{12}} = \frac{{AB + AC + BC}}{{10 + 15 + 12}} = \frac{{148}}{{37}} = 4.$

Do đó, $BC = 4 \cdot 12 = 48\;\left( {{\rm{cm}}} \right).$ Vậy $BC = 48\;{\rm{cm}}{\rm{.}}$

Đáp án: $40$

Vì $\frac{{AI}}{{AH}} = \frac{3}{5}$ nên $\frac{{AI}}{{IH}} = \frac{3}{2}.$

Vì $BI$ là tia phân giác của $\widehat {ABH}$ trong $\Delta AHB$ nên $\frac{{AB}}{{BH}} = \frac{{AI}}{{IH}} = \frac{3}{2}.$

Do đó, $BH = \frac{2}{3}AB = \frac{2}{3} \cdot 12 = 8\;\left( {{\rm{cm}}} \right).$

Vì $AB = AC = 12\;{\rm{cm}}$ nên $\Delta ABC$ cân tại $A.$

Nên $AH$ là đường cao đồng thời là đường trung tuyến của tam giác đó.

Suy ra: $BC = 2BH = 2 \cdot 8 = 16\;\left( {{\rm{cm}}} \right).$

Chu vi $\Delta ABC$ là: $AB + AC + BC = 12 + 12 + 16 = 40\;\left( {{\rm{cm}}} \right).$

Vậy chu vi $\Delta ABC$ bằng $40\;{\rm{cm}}{\rm{.}}$