20 câu trắc nghiệm Toán 8 Cánh diều Bài 19. Hình thoi (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án

Đáp án đúng là: A

Hình thoi là hình 1

Đáp án đúng là: D

Trong hình thoi, hai đường chéo vuông góc và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Đáp án đúng là: C

Tứ giác $HEMF$ có: $HE = EM = MF = FH$ nên tứ giác $HEMF$ là hình thoi.

Do đó: $FE \bot HM$ tại $G,$ $EF$ là tia phân giác của $\widehat {HEM},$ $G$ là trung điểm của $FE.$

Câu sai là: $FE = HM.$

Đáp án đúng là: A

Cạnh của hình thoi có chu vi bằng 16 cm là: $16:4 = 4{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)$

Đáp án đúng là: B

Giải sử hình thoi $ABCD$ có hai đường chéo $AC = 10{\rm{ cm}},{\rm{ }}BD = 24{\rm{ cm}}$ cắt nhau tại $O$.

Do đó, $AC \bot BD$ tại $O.$

Đồng thời, $AO = \frac{1}{2}AC = 5{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)$, $DO = \frac{1}{2}DB = 12{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

Xét tam giác vuông $AOD$ vuông tại $O$, áp dụng định lý Pythagore, ta có:

$O{D^2} + O{A^2} = A{D^2}$ suy ra $AD = \sqrt {{5^2} + {{12}^2}} = 13{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

Đáp án đúng là: D

Để một tứ giác là một hình thoi, ta có thể chứng minh:

+ Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi.

+ Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi.

+ Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.

Câu sai là: Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình thoi.

Đáp án đúng là: A

Vì $ABCD$ là hình thoi và $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$ nên đường chéo $AC \bot BD.$

Đáp án đúng là: D

Do đường cao $AH$ kẻ từ đỉnh $A$ đến cạnh $CD$ chia cạnh đó thành hai đoạn bằng nhau nên tam giác $ADC$ cân tại $A$.

Mà ta lại có $AD = DC$ nên $\Delta ADC$ là tam giác đều.

Do đó, $\widehat {ADC} = 60^\circ .$

Vì $ABCD$ là hình thoi nên $\widehat {ADC} = \widehat {ABC} = 60^\circ$ và $\widehat {CAD} = \widehat {BCD} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Đáp án đúng là: B

Diện tích hình thoi $ABCD$ bằng $40\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}$ nên $\frac{1}{2}AC \cdot BD = 40\;\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)$ hay $AC \cdot BD = 80\;\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).$

Vì tứ giác $ABCD$ là hình thoi nên: $OA = \frac{1}{2}AC,\;OB = \frac{1}{2}BD$ và $AC \bot BD$ tại $O.$

Tam giác $AOB$ vuông tại $O$ nên diện tích tam giác $AOB$ là:

${S_{\Delta AOB}} = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OB = \frac{1}{2} \cdot \left( {\frac{1}{2}AC} \right)\left( {\frac{1}{2}BD} \right) = \frac{1}{8} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{8} \cdot 80 = 10\;\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).$

Vậy diện tích tam giác $AOB$ bằng $10\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}.$

Đáp án đúng là: B

Hình bình hành $ABCD$ có $AB = AD$ nên tứ giác $ABCD$ là hình thoi.

Do đó, $BD$ là tia phân giác của $\widehat {ABC}.$ Vậy $\widehat {ABC} = 2\widehat {ABD}.$

a) Đúng.

Tứ giác $ABCD$ có: Hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $Q.$ Mà $Q$ vừa là trung điểm của $AC$ vừa là trung điểm của $BD$ nên tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.

Lại có: $AC \bot BD$ tại $Q$ nên hình bình hành $ABCD$ là hình thoi.

b) Đúng.

Vì tứ giác $ABCD$ là hình thoi nên $BC = AB = 4\;{\rm{cm}}{\rm{.}}$ Vậy $BC = 4\;{\rm{cm}}{\rm{.}}$

c) Sai.

Vì $ABCD$ là hình thoi nên $AC$ là tia phân giác của $\widehat {BAD}.$ Do đó, $\widehat {QAD} = \frac{1}{2}\widehat {BAD} = \frac{1}{2} \cdot 130^\circ = 65^\circ .$

Tam giác $QAD$ vuông tại $Q$ nên $\widehat {QAD} + \widehat {QDA} = 90^\circ .$ Do đó, $\widehat {QDA} = 90^\circ - \widehat {QAD} = 90^\circ - 65^\circ = 25^\circ .$

Vậy $\widehat {ADB} = 25^\circ .$

d) Đúng.

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác $AQB$, ta có:

$A{Q^2} + Q{B^2} = A{B^2}$ suy ra $Q{B^2} = \sqrt {A{B^2} - A{Q^2}} = \sqrt {{4^2} - {{\left( {\sqrt 8 } \right)}^2}} = \sqrt 8 {\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

Do đó, $AQ = QB$.

Suy ra $AC = BD.$

a) Sai.

Tứ giác $ABCD$ có: $AB = CD,\;AB\;{\rm{//}}\;CD.$ Do đó, tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.

b) Đúng.

Vì $E$ là trung điểm của $AB$ nên $AB = 2AE.$ Mà $AB = 2AD\;\left( {gt} \right)$ nên $AE = AD.$

c) Đúng.

Vì $F$ là trung điểm của $CD$ nên $CD = 2DF.$ Mà $AB = CD\;\left( {gt} \right),\;AB = 2AE\;\left( {cmt} \right)$ nên $AE = DF.$

Tứ giác $AEFD$ có: $AE = DF,\;AE\;{\rm{//}}\;DF$ nên tứ giác $AEFD$ là hình bình hành.

Mà $AE = AD\;\left( {cmt} \right)$ nên tứ giác $AEFD$ là hình thoi.

d) Đúng.

Ta chứng minh được $EBCF$ là hình thoi.

Nhận thấy, hai hình thoi $EBCF$ và $AEFD$ có độ dài các cạnh bằng nhau.

Do đó, ${S_{EBCF}} = {S_{AEFD}}$.

Lại có, ${S_{EBCF}} + {S_{AEFD}} = {S_{ABCD}}$ hay $2{S_{EBCF}} = {S_{ABCD}}$ nên ${S_{AEFD}} = \frac{1}{2}{S_{ABCD}}$.

Vậy diện tích tứ giác $ABCD$ gấp hai lần diện tích tứ giác $AEFD$.

a) Đúng.

Vì $AM$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $BC$ của tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $AM = \frac{1}{2}BC,$ mà $BM = MC = \frac{1}{2}BC$ nên $AM = BM = MC.$

b) Đúng.

Vì $H$ là hình chiếu của $M$ trên $AB$ nên $MH \bot AB$ tại $H.$

Vì $AM = BM$ nên tam giác $ABM$ cân tại $M.$ Do đó, $HM$ vừa là đường cao đồng thời là đường trung tuyến của tam giác $ABM$ nên $H$ là trung điểm của $AB.$

c) Sai.

Vì $D$ đối xứng với $M$ qua $H$ nên $H$ là là trung điểm của $DM.$

Tứ giác $AMBD$ có: Hai đường chéo $AB$ và $DM$ cắt nhau tại $H.$ Mà $H$ vừa là trung điểm của $AB$ vừa là trung điểm của $DM$ nên tứ giác $AMBD$ là hình bình hành.

Mà $MD \bot AB$ tại $H$ nên hình bình hành $AMBD$ là hình thoi.

Do đó, $AB$ là tia phân giác của $\widehat {DAM}.$ Suy ra $\widehat {DAB} = \widehat {BAM}.$

d) Đúng.

Ta có, diện tích hình tam giác $ABC$ là: $\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC$.

Diện tích hình thoi $AMBD$ là: $\frac{1}{2} \cdot AB \cdot DM$.

Lại có $DMCA$ là hình bình hành $\left( {MC\parallel AD,DM\parallel AC} \right)$ nên $DM = CA$.

Do đó, $\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot DM$.

Vậy diện tích tứ giác $AMBD$ bằng diện tích tam giác $ABC$.

a) Đúng.

Vì tam giác $ABO$ vuông tại $O$ nên $AO \bot BO$ tại $O$ hay $AC \bot BD$ tại $O.$

Vì $C$ đối xứng với điểm $A$ qua $O$ nên $O$ là trung điểm của $AC.$

Tứ giác $ABCD$ có: $O$ là giao điểm của $AC,\;BD.$ Mà $O$ vừa là trung điểm của $BD$ vừa là trung điểm của $AC$ nên tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.

Lại có: $AC \bot BD$ tại $O$ nên tứ giác $ABCD$ là hình thoi.

b) Sai.

Vì chu vi hình thoi $ABCD$ bằng $40\;{\rm{cm}}$ nên $4AB = 40$ suy ra $AB = 10\;{\rm{cm}}.$ Vậy $AB = 10\;{\rm{cm}}.$

c) Sai.

Vì tứ giác $ABCD$ là hình thoi nên $AB = BC.$ Do đó tam giác $ABC$ cân tại $B.$

Do đó, $\widehat {ACB} = \widehat {CAB}.$

Vì tứ giác $ABCD$ là hình thoi nên $AC$ là tia phân giác của $\widehat {DAB}.$ Do đó, $\widehat {DAB} = 2\widehat {CAB}.$

Vậy $\widehat {DAB} = 2\widehat {ACB}.$

d) Đúng.

Nếu $\widehat {DAB} = 120^\circ$ thì:

Vì tứ giác $ABCD$ là hình thoi nên $\widehat {BAD} = \widehat {DCB} = 120^\circ ,\;\widehat {ADC} = \widehat {ABC}.$

Lại có: $\widehat {BAD} + \widehat {DCB} + \widehat {ADC} + \widehat {ABC} = 360^\circ$

$120^\circ + 120^\circ + \widehat {ABC} + \widehat {ABC} = 360^\circ$

$2\widehat {ABC} = 120^\circ$

$\widehat {ABC} = 60^\circ .$

Tam giác $ABC$ cân tại $B$ có $\widehat {ABC} = 60^\circ$ nên tam giác $ABC$ đều.

Vậy điều kiện để tam giác $ABC$ đều là $\widehat {DAB} = 120^\circ .$

a) Đúng.

Ta có: $AB = AD$ (vì $ABCD$ là hình thoi) và $\widehat A = 60^\circ$.

Suy ra $\Delta ABD$ là tam giác đều.

Mà $BH$ là đường cao trong $\Delta ABD$ nên đồng thời là đường trung tuyến do đó $H$ là trung điểm của $AD$.

b) Đúng.

Xét tứ giác $ABDE$ có hai đường chéo $BE$ và $AD$ cắt nhau tại trung điểm $H$ của mỗi đường.

Do đó, $ABDE$ là hình bình hành.

Mặt khác $AD \bot BE$ nên $ABDE$ là hình thoi.

c) Đúng.

Ta có:

$ABCD$ là hình thoi suy ra $DC = AB,DC\parallel AB$. (1)

$ABDE$ là hình thoi suy ra $DE = AB,DE\parallel AB$. (2)

Từ (1) và (2) suy ra $C,D,E$ thẳng hàng (tiền đề Euclid) và $DC = DE.$

Vậy $D$ là trung điểm của $CE$.

d) Sai.

Kẻ hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $I$.

Suy ra $AC$ vuông góc $BD$ tại trung điểm $I$ của mỗi đường (Do $ABCD$ là hình thoi).

Ta có: $AC = 2AI$ (vì $I$ là trung điểm của $AC$).

$BE = 2BH$ (vì $H$ là trung điểm của $BE$).

Mà $BH = AI$ (Chứng minh $\Delta BHA = \Delta AIB$ (ch – gn)) suy ra $AC = BE.$

Đáp án: $1$

Tứ giác $ABCD$ có: $\widehat A = \widehat C,\;\widehat B = \widehat D$ nên tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.

Mà $AB = BC$ nên hình bình hành $ABCD$ là hình thoi. Do đó, $DA = DC.$

Do đó, số thích hợp để điền vào dấu “…” là $1.$

Đáp án: 9

Cạnh của hình thoi có chu vi bằng 36 cm là: .

Đáp án: $30$

Vì tam giác $ABD$ cân tại $A$ nên $AM$ là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác đó.

Suy ra: $AM \bot BD$ tại $M$ hay $AC \bot BD$ tại $M.$

Vì $C$ là điểm đối xứng với $A$ qua $M$ nên $M$ là trung điểm của $AC.$

Tứ giác $ABCD$ có: $M$ là giao điểm của hai đường chéo $AC,\;BD.$ $M$ vừa là trung điểm của $BD,$ vừa là trung điểm của $AC$ nên tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.

Lại có: $AC \bot BD$ tại $M$ nên hình bình hành $ABCD$ là hình thoi. Do đó, $AB = BC = CD = DA.$

Vì rằng chu vi tam giác $BCD$ bằng $30\;{\rm{cm}}$ nên $BC + BD + CD = 30,$ suy ra $AB + BD + AD = 30.$

Vậy chu vi tam giác $BAD$ bằng $30\;{\rm{cm}}{\rm{.}}$

Đáp án: 10

Giải sử hình thoi $ABCD$ có hai đường chéo $AC = 12{\rm{ cm}},{\rm{ }}BD = 16{\rm{ cm}}$ cắt nhau tại $O$.

Do đó, $AC \bot BD$ tại $O.$

Đồng thời, $AO = \frac{1}{2}AC = 6{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)$, $DO = \frac{1}{2}DB = 8{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

Xét tam giác vuông $AOD$ vuông tại $O$, áp dụng định lý Pythagore, ta có:

$O{D^2} + O{A^2} = A{D^2}$ suy ra $AD = \sqrt {{6^2} + {8^2}} = 10{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

Đáp án: 75

Vì chu vi hình thoi là 24 cm nên độ dài cạnh của hình thoi đó là: $24:4{\rm{ }} = 6{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

Xét tam giác $AHB,$ có $AH = \frac{1}{2}AB$ nên $\widehat {ABH} = 30^\circ$ (tính chất).

Suy ra $\widehat {DAB} = 180^\circ - \widehat {ABC} = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$ (Do $ABCD$ là hình thoi)

Suy ra $\widehat {DAB} = \widehat {DCB} = 150^\circ$ và $\widehat {ABC} = \widehat {CDA} = 30^\circ$.

Lại có, $CA$ tia phân giác của $\widehat {DCB}$ nên ta có $\widehat {DCA} = \widehat {ACB} = \frac{1}{2}\widehat {DCB} = \frac{1}{2} \cdot 150^\circ = 75^\circ$.