20 câu Trắc nghiệm Toán 7 Chân trời sáng tạo Bài 8. Tính chất ba đường cao của tam giác (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án

Đáp án đúng là: C

Đường cao của $\Delta ABC$ trong hình là $CH$.

Đáp án đúng là: C

Khi tam giác $ABC$ nhọn thì trực tâm $H$ của tam giác $ABC$ nằm bên trong tam giác.

Do đó ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: A

Vì $\Delta ABC$ vuông tại $A$ hay $AB \bot AC$ tại $A$.

Do đó, $A$ là trực tâm của $\Delta ABC$.

Đáp án đúng là: D

Nếu trực tâm $H$ nằm bên ngoài tam giác $MNP$ thì tam giác $MNP$ là tam giác tù.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: B

Trong $\Delta ABC$ có trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm cách đều ba cạnh trùng nhau, khi đó $\Delta ABC$ đều.

Đáp án đúng là: D

Vì $\Delta ABC$ cân tại $A$ có $AM$ là đường trung tuyến, đường cao xuất phát từ $A$.

Đáp án đúng là: B

Vì $\Delta MNP$ có $MP$ là đường cao đồng thời là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh $M$ nên $\Delta MNP$ là tam giác cân.

Đáp án đúng là: C

Hình c là hình biểu diễn giao điểm của ba đường cao trong tam giác.

Đáp án đúng là: D

Trong $\Delta MNP$ cân tại $M$ nên đường phân giác $MS$ cũng chính là đường cao.

Do đó, hai đường cao $PQ$ và $MS$ cắt nhau tại $K$ thì $K$ là trực tâm của $\Delta MNP$.

Suy ra $NK \bot MP$.

Do đó, cả A, B, C đều đúng.

Vậy khẳng định D là sai.

Đáp án đúng là: D

Vì $\Delta DMN$ cân tại $D$, đường cao $HD$nên $DH$ còn đồng thời là đường trung trực, đường phân giác.

Vậy, $DH$ là đường trung trực ứng với cạnh $MN$.

a) Sai.

Xét tam giác $ABC$, ta có $\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ$ (tổng ba góc trong tam giác)

Suy ra, $\widehat C = 180^\circ - \left( {\widehat A + \widehat B} \right) = 180^\circ - \left( {90^\circ + 60^\circ } \right) = 30^\circ$.

Do đó, $\widehat {ACB} = 30^\circ$.

b) Sai.

Xét $\Delta ABE$ và $\Delta EBH$, ta có:

$\widehat {EAB} = \widehat {EHB} = 90^\circ$ (gt)

$AB = HB$ (gt)

$EB$ chung (gt)

Do đó, $\Delta ABE = \Delta HBE$ (ch – cgv)

c) Đúng.

Có $\Delta ABE = \Delta HBE$ (ch – cgv) nên $\widehat {ABE} = \widehat {HBE}$ (hai góc tương ứng).

Do đó, $BE$ là phân giác của $\widehat B$.

d) Đúng.

Xét tam giác $KBC$ có $CA \bot KB$ (gt), $KH \bot BC$ (gt)

Mà $KH$ cắt $CA$ ở $E$.

Do đó, $E$ là trực tâm của tam giác $KBC$.

Từ đây suy ra $BE$ vuông góc với $KC.$

a) Đúng.

Xét $\Delta ADB$ và $\Delta EDB$, ta có:

$AB = BE$ (gt)

$DB$ chung (gt)

$\widehat {BAD} = \widehat {DEB} = 90^\circ$ (gt)

Do đó, $\Delta ADB = \Delta EDB$ (ch – cgv)

b) Sai.

Xét tam giác $EDB$ vuông tại $E$, do đó $DC > DE$ (tính chất cạnh và góc đối diện trong tam giác)

c) Đúng.

Ta có $\Delta ADB = \Delta EDB$ (ch – cgv) nên $DA = DE$.

Mà $DC > DE$ nên $DC > DA$.

d) Đúng.

Xét tam giác $FBC$ có $FD \bot BC$ tại $E$, $FB \bot CD$ tại $A$.

Mà hai đường cao $FE,CA$ cắt nhau tại $D$.

Do đó, $D$ là trực tâm của tam giác $FBC$.

a) Đúng.

Ta có: $MQ = MP$ (gt) nên $\Delta MPQ$ cân tại $M.$

b) Sai.

Có $\Delta MPQ$ cân tại $M$ nên $\widehat {MPQ} = \frac{{180^\circ - \widehat {PMQ}}}{2} = \frac{{180 - 90^\circ }}{2} = 45^\circ$.

Vì $MR = MN$ (gt) nên $\Delta MNR$ cân tại $M$.

Do đó, $\widehat {SRP} = \frac{{180^\circ - \widehat {RMN}}}{2} = \frac{{180^\circ - 90^\circ }}{2} = 45^\circ$.

c) Đúng.

Ta có: $\widehat {RSP} + \widehat {SRP} + \widehat {SPR} = 180^\circ$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\widehat {RSP} = 180^\circ - \left( {\widehat {SRP} + \widehat {SPR}} \right) = 90^\circ$

Suy ra $PQ \bot NR$.

d) Đúng.

Xét $\Delta PRN$ có: $MN \bot RP$ (gt) và $PS \bot RN$ (cmt)

Mà $NM$ giao $PS$ tại $Q$.

Do đó, $Q$ là trực tâm $\Delta PRN$.

a) Đúng.

Theo giả thiết, ta có $CH \bot AB\,;{\rm{ }}BH \bot AC$ nên $H$ là trực tâm tam giác $ABC$.

b) Đúng.

Vì $H$ là trực tâm tam giác $ABC$ nên $AH \bot BC$ hay $AM \bot BC$

Xét tam giác $BAM$ ta có

$\widehat {BAM} = 180^\circ - \widehat {AMB} - \widehat {MBA}$$180^\circ - 90^\circ - \widehat {MBA} = 90^\circ - \widehat {MBA}\,\,\,\,\,(1)$

Xét tam giác $BCE$ ta có

$\widehat {ECB} = 180^\circ - \widehat {CEB} - \widehat {MBE}$$= 180^\circ - 90^\circ - \widehat {MBA} = 90^\circ - \widehat {MBA}\,\,\,\,\,(2)$

Từ $(1),\,\,(2)$ suy ra $\widehat {BAM} = \widehat {ECB}$.

b) Sai.

Xét hai tam giác vuông $AKE$ và $AHE$ có

$EK = EH$, $AE$ là cạnh chung.

Do đó $\Delta AKE = \Delta AHE$ (hai cạnh góc vuông bằng nhau).

d) Đúng.

Vì $\Delta AKE = \Delta AHE$ (cmt)

Suy ra $\widehat {KAE} = \widehat {HAE}$ (hai góc tương ứng).

Mà $\widehat {HAE} = \widehat {KCB}$ (câu a) nên $\widehat {KAB} = \widehat {KCB}$.

a) Sai.

Xét $\Delta ABE$ và $\Delta ADC$ có:

$AE = AD$ (gt)

$\widehat {BAE} = \widehat {CAD} = 90^\circ$ (gt)

$AB = AC$ (do $\Delta ABC$ vuông cân tại $A$)

Do đó, $\Delta ABE = \Delta ACD$ (c.g.c)

b) Đúng.

Vì $\Delta ABE = \Delta ACD$ (cmt) nên $\widehat {ACD} = \widehat {ABE}$ (hai góc tương ứng)

Ta có: $\widehat {FDB} = \widehat {ADC}$ (hai góc đối đỉnh)

$\widehat {ADC} + \widehat {DCA} = 90^\circ$

Từ đây, suy ra $\widehat {FDB} + \widehat {FBD} = \widehat {ADC} + \widehat {DCA} = 90^\circ$.

Trong $\Delta FDB$ có: $\widehat {DFB} = 180^\circ - \left( {\widehat {FDB} + \widehat {FBD}} \right) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

c) Đúng.

Do $\widehat {DFB} = 90^\circ$ nên $CD \bot BE$.

Xét $\Delta BEC$ có $AB \bot EC,\,\,CD \bot BE$.

Mà hai đường cao $AB,\,\,CD$ cắt nhau tại $D$ nên $D$ là trực tâm của $\Delta BEC$.

d) Đúng.

Vì $D$ là trực tâm của $\Delta BEC$ nên $ED$ là đường cao của $\Delta BEC$.

Suy ra $ED \bot BC$.

Đáp án: 45

Ta có $\widehat {DAC} + \widehat {DCA} = 90^\circ$ (do $\Delta ADC$ vuông tại $D$) và $\widehat {EBC} + \widehat {ECB} = 90^\circ$ (do $\Delta BCE$ vuông tại $E$)

Suy ra $\widehat {DAC} + \widehat {DCA} = \widehat {ECB} + \widehat {BEC} = 90^\circ$ nên $\widehat {DAC} = \widehat {CBE}$.

Xét $\Delta AHE$ và $\Delta BCE$ có $\widehat {AEH} = \widehat {BEC} = 90^\circ$, $AH = BC$ (giả thiết), $\widehat {HAE} = \widehat {CBE}$ (cmt)

Do đó, $\Delta AHE = \Delta BCE$ (ch – gn) suy ra $AE = BE$ (hai cạnh tương ứng)

Xét $\Delta ABE$ có $AE = BE$ và $\widehat {AEB} = 90^\circ$ nên $\Delta ABE$ vuông cân tại $E$.

Do đó, $\widehat {BAC} = \widehat {BAE} = 45^\circ$.

Đáp án: 125

Vì $AE = AB$ nên $\Delta ABE$ cân tại $A$.

Mặt khác $AD$ là phân giác góc $A$ của $\Delta ABC$.

Suy ra $AI$ là đường cao của $\Delta ABE$.

Có $BF \bot AE$ nên .$BF$. là đường cao của $\Delta ABE$.

Mà $H$ là giao điểm của $BF$ và $AI$ nên $H$ là trực tâm của $\Delta ABE$.

Có $AD$ là phân giác góc $A$ của $\Delta ABC$ nên $\widehat {HAF} = \frac{{\widehat {BAC}}}{2} = 35^\circ$.

Vì $\Delta AHF$ vuông tại $F$ nên $\widehat {AHF} = 90^\circ - \widehat {HAF} = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$.

Vì $\widehat {DHF}$ và $\widehat {AHF}$ là hai góc kề bù nên $\widehat {DHF} = 180^\circ - \widehat {AHF} = 180^\circ - 55^\circ = 125^\circ$

Vậy $\widehat {DHF} = 125^\circ$.

Đáp án: 110

Tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $AM$ là đường trung tuyến.

Suy ra $AM$ cũng là đường cao của tam giác $ABC$.

Mà $BH$ cũng là đường cao của tam giác $ABC$ và $AM$ cắt $BH$ tại $K$.

Do đó $K$ là trực tâm của tam giác $ABC$.

Suy ra $CK \bot AB$.

Vì vậy phương án A, B đúng.

Ta có $\widehat {HKM} = \widehat {HKC} + \widehat {CKM}$

$= 180^\circ - \left( {\widehat {KHC} + \widehat {HCK}} \right) + 180^\circ - \left( {\widehat {KMC} + \widehat {KCM}} \right)$

$$= 180^\circ - 90^\circ - \widehat {HCK} + 180^\circ - 90^\circ - \widehat {KCM}$$

$$= 180^\circ - \left( {\widehat {HCK} + \widehat {KCM}} \right)$$

$= 180^\circ - \widehat {HCM} = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$.

Đáp án: 140

Ta có đường cao $AH,\,\,BK$ cắt nhau tại $I$ nên $I$ là trực tâm của tam giác $ABC.$

Theo tính chất sự đồng quy của ba đường cao suy ra $CI \bot AB$.

Vì tam giác $BKC$ vuông tại $K$ nên $\widehat {KBC} = 90^\circ - \widehat {ACB} = 40^\circ$.

Mà $\Delta BIH$ vuông tại $H$ nên $\widehat {BIH} = 90^\circ - \widehat {KBC}$, suy ra $\widehat {BIH} = 40^\circ$.

Vì $\widehat {HIK},\,\,\widehat {BIH}$ kề bù nên có $\widehat {HIK} = 180^\circ - \widehat {BIH} = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$.

Vậy $\widehat {HIK} = 140^\circ$.

Đáp án: 2

a) Xét $\Delta ABD$ và $\Delta HBD$ có:

$\widehat {BAD} = \widehat {BHD} = 90^\circ$

$BD$ là cạnh chung

$\widehat {ABD} = \widehat {HBD}$ (do $BD$ là tia phân giác của $\widehat {ABD}$).

Do đó $\Delta ABD = \Delta HBD$ (cạnh huyền – góc nhọn).

b) Từ $\Delta ABD = \Delta HBD$ (câu a) suy ra $AD = HD$ (hai cạnh tương ứng).

Xét $\Delta DHC$ vuông tại $H$ có $DC$ là cạnh huyền nên $DC$ là cạnh lớn nhất.

Do đó $DC > HD$ nên $DC > AD.$

c) Xét $\Delta BKC$ có $CA \bot BK,{\rm{ }}KH \bot BC$ và $CA$ cắt $KH$ tại $D.$

Do đó $D$ là trực tâm của $\Delta BKC$, nên $BD \bot KC$. (1)

Gọi $J$ là giao điểm của $BD$ và $KC.$

Xét $\Delta BKJ$ và $\Delta BCJ$ có:

$\widehat {BJK} = \widehat {BJC} = 90^\circ$,

$BJ$ là cạnh chung,

$\widehat {KBJ} = \widehat {CBJ}$ (do $BJ$ là tia phân giác của $\widehat {ABD}$).

Do đó $\Delta BKJ = \Delta BCJ$ (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Suy ra $KJ = CJ$ (hai cạnh tương ứng).

Hay $J$ là trung điểm của $KC.$

Mà theo bài $I$ là trung điểm của $KC$ nên I và $J$ trùng nhau.

Do đó ba điểm $B,{\rm{ }}D,{\rm{ }}I$ thẳng hàng.

Do đó, khẳng định i) và iii) là đúng.