20 câu Trắc nghiệm Toán 7 Cánh diều Bài 9. Đường trung trực của đoạn thẳng (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án

Đáp án đúng là: A

Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng đi qua trung điểm và vuông góc với đoạn thẳng đó nên hình biểu diễn đường trung trực của đoạn thẳng là hình 1.

Đáp án đúng là: B

Ta có điểm

$M$ thuộc đường trung trực $d$ của đoạn thẳng $AB$ nên $MA = MB.$

Đáp án đúng là: C

Đường thẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$ là đường thẳng vuông góc với $AB$ tại trung điểm của $AB.$

Đáp án đúng là: B

Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng $d$ là trung trực của đoạn thẳng $MN$ khi $d \bot MN$ tại $I$ và $IM = IN.$

Do đó, chọn đáp án B.

Đáp án đúng là: A

Điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.

Đáp án đúng là: D

Vì $M$ là một điểm thuộc đường trung trực $d$ của đoạn thẳng $AB$ nên $MA = MB = 5{\rm{ cm}}{\rm{.}}$

Đáp án đúng là: C

Ta có: $IA = IB = \frac{{AB}}{2} = \frac{6}{2} = 3\,\,{\rm{cm}}{\rm{.}}$

Đáp án đúng là: C

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên trực tâm của $\Delta ABC$ trùng với điểm $A$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $AB = 2IA = 2IB = 4\,\,{\rm{cm}}$

a) Đúng.

Vì $\Delta ABC$ cân tại $A$ và $M$ là trung điểm của $BC$ nên $AM$ vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao, đường trung trực trong $\Delta ABC$.

Vậy $AM$ là trung trực của $BC$.

b) Đúng.

Ta chứng minh được $\Delta EMB = \Delta FMC$ (cạnh huyền – góc nhọn) nên $ME = MF$ (hai cạnh tương ứng)

c) Đúng.

Ta chứng minh được $\Delta EAM = \Delta FAM$ (cạnh huyền – góc nhọn) nên $AE = AF$ (hai cạnh tương ứng)

Vì $ME = MF$ và $AE = AF$ nên $M,\,\,A$ cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng $EF$.

Do đó, $AM$ là trung trực của $EF$.

d) Đúng.

Vì $AM$ là trung trực của $EF$ nên $AM \bot EF$.

Lại có $AM$ là trung trực của $BC$ nên $AM \bot BC$.

Từ đây suy ra $EF\parallel BC$.

a) Đúng.

Xét hai tam giác vuông $\Delta AOM$ và $\Delta BOM$ có:

$OM$ chung (gt)

$\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}$ (gt)

Do đó, $\Delta AOM = \Delta BOM$ (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra $AO = OB$ (hai cạnh tương ứng)

Do đó, $O$ cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng $AB$.

Vậy $O$ thuộc đường trung trực của $AB$.

b) Đúng.

Vì $\Delta AOM = \Delta BOM$ (cmt) nên $MA = MB$ (hai cạnh tương ứng)

Suy ra $M$ cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng $AB$.

Do đó, $M$ thuộc đường trung trực của đoạn thẳng $AB$.

Từ phần a) kết hợp suy ra $OM$ là đường trung trực của $AB$.

c) Đúng.

Ta chứng minh được $\Delta BOD = \Delta AOC$ (cạnh góc vuông – góc nhọn)

Suy ra $OC = OD$ (hai cạnh tương ứng) (1)

Chứng minh $\Delta DOM = \Delta COM$ (c.g.c)

Suy ra $MD = MC$ (hai cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) suy ra $OM$ là đường trung trực của $CD$.

d) Sai.

Từ phần b) có $OM$ là đường trung trực của $AB$ nên $OM \bot AB$.

Từ phần c) có $OM$ là đường trung trực của $CD$ nên $OM \bot CD$

Do đó, $AB\parallel CD$.

a) Sai.

Xét $\Delta ABD$ và $\Delta AEC$ có:

$\widehat {ABC} = \widehat {ACB}$ ($\Delta ABC$ cân tại $A$) suy ra $\widehat {ABD} = \widehat {ACE}$

$BD = CE$ (gt)

$AB = AC$ (gt)

Suy ra $\Delta ABD = \Delta ACE$ (c.g.c)

b) Đúng.

Vì $\Delta ABD = \Delta ACE$ (cmt) nên $AD = AE$.

Suy ra $\Delta ADE$ cân tại $A$.

Do đó, $\widehat D = \widehat E$.

Xét hai tam giác vuông $\Delta BHD$ và $\Delta CKE$ có:

$\widehat D = \widehat E$ (cmt)

$BD = CE$ (gt)

Suy ra $\Delta BHD = \Delta CKE$ (cạnh huyền – góc nhọn)

c) Sai.

Ta có: $\Delta BHD = \Delta CKE$ nên $HD = KE$ (hai cạnh tương ứng)

Lại có: $AD - HD = AE - KE$ hay $AH = AK$.

Do đó, ta chỉ ra được $\Delta AHI = \Delta AKI$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra $\widehat {HAI} = \widehat {KAI}$ (hai góc tương ứng)

Xét $\Delta ADM$ và $\Delta EAM$ có:

$\widehat {DAM} = \widehat {MAE}$ (cmt);

$$AD = AE$$

$$\widehat {ADM} = \widehat {MEA}$$

Do đó, $\Delta ADM = \Delta AEM$ (g.c.g)

d) Đúng.

Vì $\Delta ADM = \Delta AEM$ (cmt) nên $DM = ME$ và $\widehat {AMD} = \widehat {EMD}$.

Do đó, $M$ là trung điểm của $DE$ và $\widehat {AMD} = 180^\circ :2 = 90^\circ$ (do $\widehat {AMD},\,\,\widehat {EMD}$ là hai góc kề bù).

Suy ra $AI \bot DE$ tại trung điểm $M$ của $DE$.

Vậy $AI$ là trung trực của $DE.$

a) Đúng.

Vì $\Delta ABC$ cân tại $A$ nên $AD$ vừa là đường phân giác, vừa là đường cao, đường trung trực trong $\Delta ABC$.

Do đó, $AD$ là đường trung trực của $BC$.

b) Sai.

Xét $\Delta MAD$ và $\Delta DAN$ có:

$$\widehat {MAD} = \widehat {NAD}$$

$AD$ chung

Do đó $\Delta MAD = \Delta NAD$ (cạnh huyền – góc nhọn)

c) Đúng.

Từ $\Delta MAD = \Delta NAD$ (cmt) suy ra $MD = ND$ và $AM = AN$ (hai cạnh tương ứng)

Do đó, $AD$ là đường trung trực của $MN$.

d) Đúng.

Ta chứng minh được $\Delta NKE = \Delta CKD$ (c.g.c) nên $\widehat {NEK} = \widehat {KDC}$ (hai góc tương ứng)

Mà hai góc ở vị trí so le trong nên $NE\parallel DC$. (1)

Có $AM = AN$ nên $\Delta MAN$ cân tại $A$, suy ra $\widehat {AMN} = \widehat {ABC} = \frac{{180^\circ - \widehat A}}{2}$

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên $MN\parallel CB$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $NE\parallel DC\parallel MN$ nên ba điểm $M,\,\,N,\,\,E$ thẳng hàng.

a) Sai.

Vì đường trung trực của cạnh $AC$ cắt tia $CB$ tại điểm $D$ nên $D$ cách đều hai đầu mút cả $AC$.

Hay $DC = DA$.

Do đó, $\Delta ADC$ cân tại $D$.

b) Đúng.

Vì $\Delta ABC$ cân tại $A$ nên $\widehat {ABC} = \widehat {ACB}$. (1)

Mà $\Delta ADC$ cân tại $D$ nên $\widehat {DCA} = \widehat {DAC}$. (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat {ABC} = \widehat {DAC}$.

c) Đúng.

Xét $\Delta BAD$ và $\Delta AEC$, có:

$BA = AC$ (gt)

$$\widehat {ABD} = \widehat {EAC}\left( { = 180^\circ - \widehat {ABC} = 180^\circ - \widehat {DAC}} \right)$$

$AE = BD$ (gt)

Do đó, $\Delta BAD = \Delta ACE$ (c.g.c)

Suy ra $AD = CE$ (hai cạnh tương ứng)

d) Đúng.

Vì $AD = CE$ (cmt), mà $AD = DC$ nên $CD = CE$.

Do đó, $C$ cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng $DE$ và $F$ là trung điểm của $DE$,

Do đó $CF$ là đường trung trực của $DE.$

Đáp án: 10

Vì $C$ thuộc trung trực của đoạn thẳng $AB$ nên $C$ cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng $AB$ hay $AC = CB = 10\,\,{\rm{cm}}$.

Vậy $CB = 10\,\,{\rm{cm}}$.

Sử dụng dữ kiện bài toán dưới đây để trả lời Câu 2, 3.

Cho $\Delta ABC$ có $\widehat B - \widehat C = 30^\circ$. Đường trung trực của $BC$ cắt $AC$ ở $K$. Biết $AB = 3{\rm{ cm, }}AC = 5{\rm{ cm}}$.

Đáp án: 30

Ta có $K$ thuộc đường trung trực của $BC$ nên $KB = KC$.

Suy ra $\Delta KBC$ cân tại $K$, do đó $\widehat {KBC} = \widehat C$.

Ta có $\widehat {ABK} = \widehat {ABC} - \widehat {KBC} = \widehat {ABC} - \widehat C = 30^\circ$.

Đáp án: 8

Ta có: $AK + BK = AK + KC = AC = 5\,\,{\rm{cm}}$.

Do đó, chu vi $\Delta ABK$ là: $AB + AK + BK = 3 + 5 = 8\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)$

Sử dụng dữ kiện dưới đây để trả lời Câu 4, 5.

Cho $\Delta ABC$, các đường trung trực của $AB,\,\,AC$ cắt cạnh $BC$ theo thứ tự ở $M$ và $N$. Biết $\widehat B = 30^\circ ,\,\,\widehat C = 45^\circ$.

Đáp án: 75

Ta có: $M$ nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng $AB$.

Do đó, $MA = MB$ suy ra $\Delta AMB$ cân tại $M$.

Do đó, $\widehat B = \widehat {{A_1}} = 30^\circ$.

Tương tự $N$ nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng $AC$

Do đó, $NA = NC$ suy ra $\Delta ANC$ cân tại $N$.

Do đó, $\widehat C = \widehat {{A_2}} = 45^\circ$

Suy ra $\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} = 30^\circ + 45^\circ = 75^\circ$

Đáp án: 30

Ta có: $\widehat {BAC} + \widehat B + \widehat C = 180^\circ$ (tống ba góc trong tam giác)

Do đó, $\widehat {BAC} = 180^\circ - \widehat B - \widehat C = 180^\circ - 30^\circ - 45^\circ = 105^\circ$.

Lại có: $\widehat {BAC} = \widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} + \widehat {MAN}$

Suy ra $\widehat {BAC} - \widehat {{A_1}} - \widehat {{A_2}} = \widehat {MAN}$ nên $\widehat {MAN} = 105^\circ - 75^\circ = 30^\circ$.