20 câu trắc nghiệm Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chương V (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án

Đáp án đúng: A

Thay tọa độ điểm O vào mặt phẳng $2x + 5y - 8z = 0$ ta thấy thỏa mãn.

Đáp án đúng: D

${\vec u_3} = \left( {3; - 2;4} \right)$là một vectơ chỉ phương của △.

Đáp án đúng: D

Ta có $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;2; - 2} \right),\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;1;1} \right)$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q).

Ta có $\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {1.1 + 2.1 + \left( { - 2} \right).1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{{3\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{9}$.

Đáp án đúng: A

Phương trình của mặt cầu tâm $I\left( {1\,;\, - 2\,;\,3} \right)$ bán kính $R = 3$ là ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9$.

Đáp án đúng: C

${\vec n_1} = \left( {2;0; - 3} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α).

Đáp án đúng: D

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {1;2;3} \right)$.

Đường thẳng AB đi qua A(1; 1; −1) và nhận $\overrightarrow {AB} = \left( {1;2;3} \right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình là $\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{3}$.

Đáp án đúng: A

${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y + 4z + 3 = 0$$\Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 3$ .

Bán kính của mặt cầu (S) là $R = \sqrt 3$ .

Đáp án đúng: A

Ta có $d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.1 - 2 + 0 + 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 6 }}$.

Đáp án đúng: C

Mặt phẳng (α) nhận $\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {1;3;2} \right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Mặt phẳng (R) nhận $\overrightarrow {{n_R}} = \left( {1;1; - 2} \right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Ta có $\overrightarrow {{n_\alpha }} .\overrightarrow {{n_R}} = 1.1 + 3.1 + 2.\left( { - 2} \right) = 0$. Do đó $\left( \alpha \right) \bot \left( R \right)$.

Đáp án đúng: D

Phương trình mặt phẳng đi qua điểm $A\,(1;\,0;\,2)$ và vuông góc với giá của vectơ $\overrightarrow a = \left( {2; - 1;3} \right)$ là $2\left( {x - 1} \right) - y + 3\left( {z - 2} \right) = 0$$\Leftrightarrow 2x - y + 3z - 8 = 0$ .

a) Phương trình tham số của đường thẳng d là $\left\{ \begin{array}{l}x = 10 + 7t\\y = t - 4\\z = 15 + 8t\end{array} \right.$.

b) Có $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2; - 1;3} \right)$, $\overrightarrow {{u_d}} = \left( {7;1;8} \right)$.

$\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.7 + \left( { - 1} \right).1 + 3.8} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {3^2}} .\sqrt {{7^2} + {1^2} + {8^2}} }} = \frac{{37}}{{2\sqrt {399} }}$ $\Rightarrow \left( {d,\left( P \right)} \right) \approx 68^\circ$.

c) Mặt phẳng qua M và vuông góc với đường thẳng d nhận $\overrightarrow {{u_d}} = \left( {7;1;8} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là $7\left( {x - 1} \right) + \left( {y - 1} \right) + 8\left( {z - 4} \right) = 0$$\Leftrightarrow 7x + y + 8z - 40 = 0$.

d) Ta có $R = d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.1 - 1 + 3.4 - 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {3^2}} }} = \frac{{12}}{{\sqrt {14} }}$.

Phương trình mặt cầu cần lập là ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = \frac{{72}}{7}$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.

a) Ta có $\overrightarrow {{n_P}} = \left( { - 1;2; - 4} \right),\overrightarrow {{n_Q}} = \left( { - 1;2; - 4} \right)$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q).

Ta có $\overrightarrow {{n_P}} = \overrightarrow {{n_Q}}$ và $4 \ne 10$ nên (P) // (Q).

b) Có $\overrightarrow {OA} = \left( {2;1;0} \right)$, $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( { - 4;8;5} \right)$.

Mặt phẳng (α) đi qua O và nhận $\overrightarrow n = \left( { - 4;8;5} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là

$- 4x + 8y + 5z = 0$.

Suy ra $a = - 4;b = 8;d = 0$. Khi đó $a + b + d = 4$.

c) Lấy điểm B(0; 0; 1) ∈ (P).

Ta có $d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = d\left( {B,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| { - 4 + 10} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{6}{{\sqrt {21} }}$.

d) $d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| { - 2 + 2.1 - 4.0 + 4} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt {21} }}$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

a)Phương trình mặt cầu $(S)$ để mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng trong không gian là ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 7} \right)^2} = 9$.

b) Ta có $IB = \sqrt {{{\left( {5 - 1} \right)}^2} + {{\left( {6 - 3} \right)}^2} + {{\left( {7 - 7} \right)}^2}} = 5 > 3$.

Do đó người dùng điện thoại ở vị trí có toạ độ $B\left( {5;6;7} \right)$ thì không thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó.

c) Có $IA = \sqrt {{{\left( {2 - 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - 3} \right)}^2} + {{\left( {7 - 7} \right)}^2}} = \sqrt 2 < 3$.

Suy ra A nằm trong mặt cầu (S).

d) Người dùng điện thoại ở vị trí có tọa độ $A\left( {2;2;7} \right)$ thì có thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

a) $M\left( {1;0;0} \right)$.

b) $N\left( {0;0;1} \right)$.

c) Mặt phẳng (DMN) có phương trình là $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{1} = 1 \Leftrightarrow 2x + y + 2z - 2 = 0$.

d) Ta có $C'\left( {2;2;2} \right)$.

Khi đó $d\left( {C',\left( {DMN} \right)} \right) = \frac{{\left| {2.2 + 2 + 2.2 - 2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} }} = \frac{8}{3}$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

a) Một vec tơ pháp tuyến của $\left( P \right)$ là $\overrightarrow n = \left( {2;2; - 1} \right).$

b) Đường thẳng d nhận $\overrightarrow n = \left( {2;2; - 1} \right)$ làm một vectơ chỉ phương.

Phương trình chính tắc của đường thẳng d là $\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{z}{{ - 1}}.$

c) Bán kính mặt cầu $R = d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.1 + 2.1 - 0 + 2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 2$ .

Phương trình mặt cầu cần tìm là ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2} = 4.$

d) Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {1;0;3} \right)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB.

$\sin \alpha = \frac{{\left| {1.2 + 0.2 + 3.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2} + {3^2}} .\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{3\sqrt {10} }}$ .

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

Để một người dùng điện thoại ở vị trí $A\left( {m + 100\,;\,m + 370\,;\,0} \right)$ có thể sử dụng dịch vụ của trạm nói trên thì $IA \le 600$$\Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {m + 100 - 200} \right)}^2} + {{\left( {m + 370 - 450} \right)}^2} + {{\left( { - 60} \right)}^2}} \le 600$

$\Leftrightarrow {\left( {m - 100} \right)^2} + {\left( {m - 80} \right)^2} + {\left( { - 60} \right)^2} \le {600^2}$$\Leftrightarrow 2{m^2} - 360m - 340000 \le 0$$\Leftrightarrow - 332 \le m \le 512$.

Vậy giá trị lớn nhất của m là 512.

Trả lời: 512.

Vì M ∈ △nên $\left\{ \begin{array}{l}a = 1 + 2t\\b = 2 - t\\2 = 2t\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 1\\t = 1\end{array} \right.$.

Vì A ∈ (S) nên ${\left( { - 3} \right)^2} + {\left( {1 - 1} \right)^2} + {\left( { - 2 - 2} \right)^2} = {R^2}$$\Leftrightarrow R = 5$.

Do đó $T = a + b + {R^2} = 3 + 1 + 25 = 29$.

Trả lời: 29.

Đường thẳng ${d_2}:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{z}{2}$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} = \left( {1; - 2;2} \right)$.

Giả sử đường thẳng △ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_\Delta }}$.

Do $0^\circ \le \left( {\Delta ,{d_2}} \right) \le 90^\circ$ mà theo giả thiết △ tạo d$_{2}$ góc lớn nhất nên $\left( {\Delta ,{d_2}} \right) = 90^\circ$ $\Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }} \bot \overrightarrow {{u_{{d_2}}}}$.

Lại có △ ⊥ d$_{1}$ nên $\overrightarrow {{u_\Delta }} \bot \overrightarrow {{u_{{d_1}}}}$. Do đó chọn $\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left[ {\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} ,\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} } \right] = \left( {4;5;3} \right)$.

Ta có phương trình đường thẳng △ là $\frac{{x - 1}}{4} = \frac{{y + 1}}{5} = \frac{{z - 2}}{3}$.

Vậy a = 5; b = 3 → ${a^2} + {b^2} = 34$.

Trả lời: 34.

M chính là giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng (Oxy).

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {5;10; - 2} \right)$.

Đường thẳng AB đi qua điểm A(5; 0; 5) và nhận $\overrightarrow {AB} = \left( {5;10; - 2} \right)$làm vectơ chỉ phương có phương trình là $\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + 5t\\y = 10t\\z = 5 - 2t\end{array} \right.$.

Vì M ∈ (Oxy) → z = 0 → 5 – 2t = 0 $\Leftrightarrow t = \frac{5}{2}$.

Với $t = \frac{5}{2}$ thì $\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{35}}{2}\\y = 25\\z = 0\end{array} \right.$ $\Rightarrow M\left( {\frac{{35}}{2};25;0} \right)$.

Suy ra $a = \frac{{35}}{2};b = 25$. Do đó $a + b = \frac{{35}}{2} + 25 = 42{,}5$.

Trả lời: 42,5.

Vùng phủ sáng chính là hình cầu tâm I bán kính R = 4000.

Khi đó tọa độ điểm H chính là giao điểm của đường thẳng ID và mặt cầu tâm I, bán kính R.

Ta có phương trình mặt cầu (S) là ${\left( {x - 21} \right)^2} + {\left( {y - 35} \right)^2} + {\left( {z - 50} \right)^2} = {4000^2}$.

Đường thẳng ID đi qua điểm I(21; 35; 50) và nhận $\overrightarrow {ID} = \left( {5100;623; - 50} \right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình là $\left\{ \begin{array}{l}x = 21 + 5100t\\y = 35 + 623t\\z = 50 - 50t\end{array} \right.$.

Vì H  ID $\Rightarrow H\left( {21 + 5100t;35 + 623t;50 - 50t} \right)$.

Mà H  (S) nên ${\left( {5100t} \right)^2} + {\left( {623t} \right)^2} + {\left( { - 50t} \right)^2} = {4000^2}$$\Leftrightarrow 26400629{t^2} = {4000^2}$$\Leftrightarrow t \approx \pm 0{,}78$.

Với $t \approx - 0{,}78$$\Rightarrow H\left( { - 3957; - 450{,}94;89} \right)$ và $\overrightarrow {IH} = \left( { - 3978; - 485{,}94;39} \right)$.

Khi đó $\overrightarrow {ID} = - \frac{{50}}{{39}}\overrightarrow {IH}$ nên hai vectơ $\overrightarrow {ID} ,\overrightarrow {IH}$ ngược hướng.

Vậy H không thuộc đoạn thẳng ID.

Với $t \approx 0{,}78$$\Rightarrow H\left( {3900;520{,}94;11} \right)$ và $\overrightarrow {IH} = \left( {3978;485{,}94; - 39} \right)$.

Khi đó $\overrightarrow {ID} = \frac{{50}}{{39}}\overrightarrow {IH}$ nên hai vectơ $\overrightarrow {ID} ,\overrightarrow {IH}$ cùng hướng.

Vậy H thuộc đoạn thẳng ID.

Vậy ví trí cuối cùng trên đoạn ID sao cho người đi biển còn có thể nhìn thấy được ánh sáng từ ngọn hải đăng là điểm $H\left( {3900;520{,}94;11} \right)$ có cao độ là 11.

Trả lời: 11.