20 câu trắc nghiệm Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chương II (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án

Vì N là điểm đối xứng với M qua I nên I là trung điểm của MN.

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}{x_N} = 2{x_I} - {x_M}\\{y_N} = 2{y_I} - {y_M}\\{z_N} = 2{z_I} - {z_M}\end{array} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_N} = 2.2 + 5\\{y_N} = 2.3 - 2\\{z_N} = 2.1 - 3\end{array} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_N} = 9\\{y_N} = 4\\{z_N} = - 1\end{array} \right.$Þ N(9; 4; −1).

Do đó $ON = \sqrt {{9^2} + {4^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = 7\sqrt 2$.

$\overrightarrow m = 3\overrightarrow a - 2\overrightarrow b + \overrightarrow c = \left( {3 - 6 + \left( { - 6} \right);6 - 0 + 1;6 - \left( { - 2} \right) + \left( { - 1} \right)} \right) = \left( { - 9;7;7} \right)$.

Ta có T = −9 + 7 + 7 = 5.

Gọi M là trung điểm của BC.

Khi đó $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AM} = 2.\frac{3}{2}\overrightarrow {AG} = 3\overrightarrow {AG} = 3\left( {0;2; - 3} \right) = \left( {0;6; - 9} \right)$.

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( { - 5;0; - 10} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {3;0; - 6} \right),\overrightarrow {BC} = \left( {8;0;4} \right)$.

Ta có $\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC} = 3.8 + 0.0 + \left( { - 6} \right).4 = 0$ Þ $\overrightarrow {AC} \bot \overrightarrow {BC}$.

Do đó DBC vuông tại C.

Ta có $\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( { - 1; - 1;5} \right)$.

Suy ra $\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right).\overrightarrow b = \left( { - 1} \right).\left( { - 2} \right) + \left( { - 1} \right).1 + 5.2 = 11$.

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( { - 5; - 4; - 1} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {3;1;2} \right)$.

Ta có $\cos A = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}}$$= \frac{{\left( { - 5} \right).3 + \left( { - 4} \right).1 + \left( { - 1} \right).2}}{{\sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{3^2} + {1^2} + {2^2}} }}$$= \frac{{ - 21}}{{14\sqrt 3 }}$$= \frac{{ - \sqrt 3 }}{2}$

Suy ra $\widehat A = 150^\circ$.

Gọi M(x; y; z) là điểm nằm trên cạnh BC sao cho MC = 2MB Þ $\overrightarrow {MC} = - 2\overrightarrow {MB}$.

Ta có $\overrightarrow {MC} = \left( { - 3 - x;6 - y;4 - z} \right),\overrightarrow {MB} = \left( { - x;3 - y;1 - z} \right)$.

Khi đó $\left\{ \begin{array}{l} - 3 - x = 2x\\6 - y = - 2\left( {3 - y} \right)\\4 - z = - 2\left( {1 - z} \right)\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 4\\z = 2\end{array} \right.$Þ M(−1; 4; 2).

Ta có $AM = \sqrt {{{\left( { - 1 - 2} \right)}^2} + {4^2} + {2^2}} = \sqrt {29}$.

a) $\overrightarrow {SA} = \left( {a - 4; - 2; - 2} \right),\overrightarrow {SB} = \left( { - 4;b - 2; - 2} \right),\overrightarrow {SC} = \left( { - 4; - 2;c - 2} \right)$.

b) Theo đề có $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SB} = 0\\\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SC} = 0\\\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {SC} = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4\left( {a - 4} \right) - 2\left( {b - 2} \right) + 4 = 0\\ - 4\left( {a - 4} \right) + 4 - 2\left( {c - 2} \right) = 0\\16 - 2\left( {b - 2} \right) - 2\left( {c - 2} \right) = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4a + 2b = 24\\4a + 2c = 24\\2b + 2c = 24\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 6\\c = 6\end{array} \right.$.

c) $SA = \sqrt {{{\left( {3 - 4} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = 3$; $SB = \sqrt {{{\left( { - 4} \right)}^2} + {{\left( {6 - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = 6$;

$SC = \sqrt {{{\left( { - 4} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( {6 - 2} \right)}^2}} = 6$.

d) ${V_{S.ABC}} = \frac{1}{6}.SA.SB.SC = \frac{1}{6}.3.6.6 = 18$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

a) Tọa độ trung điểm của AB là $\left( {\frac{{1 + 2}}{2};\frac{{2 + 1}}{2};\frac{{3 + 5}}{2}} \right) = \left( {\frac{3}{2};\frac{3}{2};4} \right)$.

b) $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \left( {5;7;10} \right)$.

c) $\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 1;2} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {1;2; - 1} \right)$.

Ta có $\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{1.1 + \left( { - 1} \right).2 + 2.\left( { - 1} \right)}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{ - 3}}{6} = \frac{{ - 1}}{2}$.

Suy ra $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = 120^\circ$.

Do đó góc giữa hai đường thẳng AB và AC là 60°.

d) Vì I Î (Oxz) nên I(a; 0; c).

Suy ra $\overrightarrow {IB} = \left( {2 - a;1;5 - c} \right),\overrightarrow {IC} = \left( {2 - a;4;2 - c} \right)$$\Rightarrow 3\overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IC} = \left( {4 - 2a; - 1;13 - 2c} \right)$.

Khi đó $\left| {3\overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IC} } \right| = \sqrt {{{\left( {4 - 2a} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( {13 - 2c} \right)}^2}} \ge 1$.

Dấu bằng xảy ra khi a = 2; $c = \frac{{13}}{2}$.

Khi đó a – 2b + 2c = 15.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

a) Khoảng cách từ M đến mặt phẳng tọa độ (xOz) bằng $\left| {{y_M}} \right| = 5$.

b) Khoảng cách từ M đến trục Oz bằng $\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2}} = \sqrt {29} .$

c) M' đối xứng với M qua mặt phẳng (yOz) là M'(−2; −5; 4).

d) M' đối xứng với M qua trục Oy là M'(−2; −5; −4).

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

a) Ta có $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC}$.

b) Ta có $\overrightarrow {A'M} = \overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {AM}$$= \overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM}$$= \overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {A'B'} + \overrightarrow {MC}$$= \overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {A'B'} - \overrightarrow {CM}$.

c) $\overrightarrow {A'M} .\overrightarrow {AC} = \left( {\overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {A'B'} - \overrightarrow {CM} } \right).\overrightarrow {AC}$$= \overrightarrow {A'A} .\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {A'B'} .\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {CM} .\overrightarrow {AC}$

$= - \overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CM} .\overrightarrow {CA}$$= \left| {\overrightarrow {AB} .} \right|\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) + \left| {\overrightarrow {CM} } \right|.\left| {\overrightarrow {CA} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {CM} ,\overrightarrow {CA} } \right)$

$= {a^2}.\cos 60^\circ + \frac{{{a^2}}}{2}.\cos 60^\circ = \frac{{3{a^2}}}{4}$.

d) Ta có $\overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {BC'} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BB'} } \right)\left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CC'} } \right)$

$= \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CC'} + \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {CC'}$

$= - \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {BB'}$

$= - \left| {\overrightarrow {BA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) + {\left| {\overrightarrow {BB'} } \right|^2}$

$= - {a^2}.\cos 60^\circ + {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2}$

$= - \frac{{{a^2}}}{2} + {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2}$$= \frac{{3{a^2}}}{2}$.

Khi đó $\cos \left( {\overrightarrow {AB'} ,\overrightarrow {BC'} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {BC'} }}{{\left| {\overrightarrow {AB'} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC'} } \right|}} = \frac{{\frac{{3{a^2}}}{2}}}{{a\sqrt 3 .a\sqrt 3 }} = \frac{1}{2}$$\Rightarrow \left( {\overrightarrow {AB'} ,\overrightarrow {BC'} } \right) = 60^\circ$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

a) $\overrightarrow {DM} = \frac{{\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {{\rm{DC}}} }}{2}$$\Rightarrow \overrightarrow {DM} = \frac{{\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {{\rm{CD}}} }}{{ - 2}}$

b) $\overrightarrow {AH} = \frac{{\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {A{\rm{D}}} }}{2}$,$\overrightarrow {AM} = \frac{{\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} }}{2}$$\Rightarrow \overrightarrow {AH} = \frac{{\frac{{\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} }}{2} + \overrightarrow {A{\rm{D}}} }}{2}$

$\Rightarrow \overrightarrow {AH} = \frac{{\overrightarrow {A{\rm{D}}} }}{2} + \frac{{\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} }}{4}$

c) $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AH} = \overrightarrow {AB} .(\frac{{\overrightarrow {A{\rm{D}}} }}{2} + \frac{{\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} }}{4})$$= \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {A{\rm{D}}} }}{2} + \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{4}$$= \frac{{A{B^2}}}{4} = \frac{{{a^2}}}{4}$

d) $\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB}$,$\overrightarrow {AH} = \frac{{\overrightarrow {A{\rm{D}}} }}{2} + \frac{{\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} }}{4}$

Vậy $\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AH} = (\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} ).(\frac{{\overrightarrow {A{\rm{D}}} }}{2} + \frac{{\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} }}{4})$

$$\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AH} = \frac{{\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {A{\rm{D}}} }}{2} + \frac{{\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AC} }}{4} - \frac{{\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} }}{2} - \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{4}$$

$\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AH} = \frac{{\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AC} }}{4} - \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB} }}{4} = 0$ .

Vậy góc giữa vectơ $\overrightarrow {AH}$ và $\overrightarrow {BC}$ bằng $90^\circ$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

Gọi A'(x1; y1; z1), B'(x2; y2; z2), C((x3; y3; z3).

Do tính chất hình hộp ta có $\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {DD'}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = 0\\{y_1} = 0\\{z_1} = - 3\end{array} \right.$ Þ A'(0; 0; −3).

$\overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {DD'}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} - 3 = 0\\{y_2} = 0\\{z_2} = - 3\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = 3\\{y_2} = 0\\{z_2} = - 3\end{array} \right.$Þ B'(3; 0; −3).

$\overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AB}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_3} = 3\\{y_3} - 3 = 0\\{c_3} = 0\end{array} \right.$ Þ C(3; 3; 0).

Tọa độ trọng tâm G của tam giác A'B'C là G(2; 1; −2) Þ a = 2; b = 1; c = −2.

Suy ra a + b + c = 2 + 1 – 2 = 1.

Trả lời: 1.

Gắn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ.

Gọi I, K lần lượt là trung điểm của OA, SQ.

$OA = 2IA = 2\sqrt {{5^2} - {4^2}} = 6$.

Gọi H là vị trí chiếc đèn, KH = 30 cm = 0,3 m. Gọi G là giao điểm của hai đường chéo của hình chữ nhật OABC, suy ra HG = 4 – 0,3 = 3,7 m.

Do đó H(3; 5; 3,7).

Ta thấy OH = AH = CH = BH nên tổng chiều dài sợi dây màu xanh tối thiểu bạn An cần mua là 4OH.

Ta có $\overrightarrow {OH} = \left( {3;5;3{,}7} \right) \Rightarrow 4OH = 4\sqrt {{3^2} + {5^2} + {{\left( {3{,}7} \right)}^2}} \approx 27{,}6$ m.

Trả lời: 27,6.

Từ giả thiết ta có A(300; 200; 100), B(1200; 2100; 250).

Suy ra $\overrightarrow {AB} = \left( {900;1900;150} \right)$.

Suy ra a = 900; b = 1900; c = 150. Do đó a + b + c = 2950.

Trả lời: 2950.

Cả hai lực tạo với nhau một góc 80° là $\overrightarrow {{F_1}}$ và $\overrightarrow {{F_2}}$, ta có $\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = 50N$.

Lực còn lại là $\overrightarrow {{F_3}}$, ta có $\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = 60N$.

Gọi $\overrightarrow F$ là hợp lực của ba lực trên ta có:

$\left| {\overrightarrow F } \right| = \sqrt {{{\left( {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} } \right)}^2}}$

$= \sqrt {{{\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|}^2} + {{\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|}^2} + {{\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right|}^2} + 2\left( {\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} } \right) + \left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_3}} } \right) + \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {{F_3}} ,\overrightarrow {{F_2}} } \right)} \right)}$

$= \sqrt {{{50}^2} + {{50}^2} + {{60}^2} + 2\left( {50.50.\cos 80^\circ + 50.60.\cos 60^\circ + 60.50.\cos 60^\circ } \right)} \approx 124$ N.

Trả lời: 124.

Ta có: $P = \left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} } \right| = \left| {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right|$.

Vẽ hình vuông $OAEB$, ta có $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OE}$. (Quy tắc hình bình hành)

Vẽ hình chữ nhật $OCFE$, ta có $\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OE} = \overrightarrow {OF}$. (Quy tắc hình bình hành)

Suy ra: $P = \left| {\overrightarrow {OF} } \right| = OF$.

Xét hình vuông $OAEB$, cạnh $16$, có đường chéo $OE = 16\sqrt 2$.

Xét tam giác vuông $OEF$, vuông tại $E$, có $OF = \sqrt {O{E^2} + E{F^2}} = \sqrt {{{\left( {16\sqrt 2 } \right)}^2} + {{16}^2}} = 16\sqrt 3 \approx 27{,}7$

Vậy $P \approx 27{,}7$(N).

Trả lời: 27,7.