20 câu trắc nghiệm Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 3. Ứng dụng hình học của tích phân (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án

Chọn A

Diện tích cần tìm là $S = \int\limits_0^{\ln 4} {\left| {{e^x} - 2} \right|dx}$$= \int\limits_0^{\ln 2} {\left| {{e^x} - 2} \right|dx} + \int\limits_{\ln 2}^{\ln 4} {\left| {{e^x} - 2} \right|dx}$$= - \int\limits_0^{\ln 2} {\left( {{e^x} - 2} \right)dx} + \int\limits_{\ln 2}^{\ln 4} {\left( {{e^x} - 2} \right)dx}$

$= \left. {\left( {2x - {e^x}} \right)} \right|_0^{\ln 2} + \left. {\left( {{e^x} - 2x} \right)} \right|_{\ln 2}^{\ln 4}$$= 2\ln 2 - 1 + 2 - 2\ln 2 = 1$.

Chọn D

Diện tích cần tìm là $\int\limits_0^2 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}$.

Chọn A

Diện tích cần tìm là $S = \int\limits_0^2 {\left| {{3^x}} \right|dx} = \int\limits_0^2 {{3^x}dx}$.

Chọn A

Diện tích cần tìm là $S = \int\limits_0^\pi {\left| {\cos x} \right|dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos xdx} - \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\cos xdx}$$= \left. {\sin x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} - \left. {\sin x} \right|_{\frac{\pi }{2}}^\pi$$= 1 + 1 = 2$.

Chọn A

Diện tích cần tìm là $S = \int\limits_0^4 {\left| {\sqrt x - \left( {x - 2} \right)} \right|dx}$$= \int\limits_0^4 {\left( {\sqrt x - \left( {x - 2} \right)} \right)dx}$$= \left. {\left( {\frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{{{x^2}}}{2} + 2x} \right)} \right|_0^4 = \frac{{16}}{3}$.

Chọn C

Diện tích cần tìm là $S = \int\limits_{ - 2}^2 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} + \int\limits_1^2 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}$$= - \int\limits_{ - 2}^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx}$$= - a + b$.

Chọn B

Thể tích cần tìm là $V = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {x\sqrt x } \right)}^2}dx} = \pi \int\limits_0^1 {{x^3}dx} = \left. {\pi \frac{{{x^4}}}{4}} \right|_0^1 = \frac{\pi }{4}$.

Chọn C

Thể tích cần tìm là$V = \pi \int\limits_1^2 {{{\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)}^2}dx}$.

Chọn C

Thể tích cần tìm là $V = \int\limits_1^3 {\left( {3{x^2} + 2x} \right)dx} = \left. {\left( {{x^3} + {x^2}} \right)} \right|_1^3 = 34$.

Chọn A

Thể tích vật thể tròn xoay cần tìm là $V = \pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\tan xdx} = \pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\sin x}}{{\cos x}}dx}$$= - \pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{d\left( {\cos x} \right)}}{{\cos x}}}$

$= \left. { - \pi \ln \left| {\cos x} \right|} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} = - \pi \ln \frac{{\sqrt 2 }}{2}$$= - \pi \ln \frac{1}{{\sqrt 2 }}$$= - \pi \left( {\ln 1 - \ln \sqrt 2 } \right)$$= \frac{\pi }{2}\ln 2$.

a) $\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - 2x} \right)dx} = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - {x^2}} \right)_0^1} \right| = - \frac{2}{3}$.

b) Diện tích cần tìm là $S = \int\limits_1^2 {\left| {{x^2} - 2x} \right|dx}$$= - \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} - 2x} \right)dx}$$= \left. { - \left( {\frac{{{x^3}}}{3} - {x^2}} \right)} \right|_1^2 = \frac{2}{3}$.

c) Phương trình hoành độ giao điểm: ${x^2} - 2x = x \Leftrightarrow {x^2} - 3x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 3\end{array} \right.$.

Ta có diện tích cần tìm là $S = \int\limits_0^3 {\left| {{x^2} - 2x - x} \right|dx} = \int\limits_0^3 {\left| {{x^2} - 3x} \right|dx}$$= - \int\limits_0^3 {\left( {{x^2} - 3x} \right)dx}$$= \left. { - \left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{3{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^3 = \frac{9}{2}$.

d) Thể tích cần tìm là $V = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {{x^2} - 2x} \right)}^2}dx}$$= \pi \int\limits_0^1 {\left( {{x^4} - 4{x^3} + 4{x^2}} \right)dx}$$= \left. {\pi \left( {\frac{{{x^5}}}{5} - {x^4} + \frac{{4{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^1 = \frac{{8\pi }}{{15}}$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

a) Diện tích cần tìm là $S = \int\limits_0^2 {\left| {\sqrt {x + 2} - x} \right|dx}$$= \int\limits_0^2 {\left( {\sqrt {x + 2} - x} \right)dx}$$= \int\limits_0^2 {\sqrt {x + 2} dx} - \int\limits_0^2 {xdx}$

$= \left. {\frac{2}{3}{{\left( {x + 2} \right)}^{\frac{3}{2}}}} \right|_0^2 - \left. {\frac{{{x^2}}}{2}} \right|_0^2 = \frac{{16}}{3} - \frac{{4\sqrt 2 }}{3} - 2 = \frac{{10}}{3} - \frac{{4\sqrt 2 }}{3}$.

b) Thể tích cần tìm là $V = \pi \int\limits_1^3 {{x^2}dx} = \left. {\pi \frac{{{x^3}}}{3}} \right|_1^3 = \frac{{26\pi }}{3}$.

c) Diện tích hình phẳng D cần tìm là $S = \int\limits_0^2 {\sqrt {x + 2} dx}$$= \left. {\frac{2}{3}{{\left( {x + 2} \right)}^{\frac{3}{2}}}} \right|_0^2$$= \frac{2}{3}\left( {8 - 2\sqrt 2 } \right) = \frac{{16}}{3} - \frac{{4\sqrt 2 }}{3}$.

d) Thể tích cần tìm là $V = \pi \int\limits_0^2 {\left( {x + 2} \right)dx} = \left. {\pi \left( {\frac{{{x^2}}}{2} + 2x} \right)} \right|_0^2 = 8\pi$.

Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

a) ${S_H} = \int\limits_{ - 2}^2 {\left| {{x^2} - 4} \right|dx} = - \int\limits_{ - 2}^2 {\left( {{x^2} - 4} \right)dx}$.

b) ${S_H} = - \int\limits_{ - 2}^2 {\left( {{x^2} - 4} \right)dx} = \left. { - \left( {\frac{{{x^3}}}{3} - 4x} \right)} \right|_{ - 2}^2 = \frac{{32}}{3}$.

c) ${V_H} = \pi \int\limits_{ - 2}^2 {{{\left( {{x^2} - 4} \right)}^2}dx}$.

d) ${V_H} = \pi \int\limits_{ - 2}^2 {{{\left( {{x^2} - 4} \right)}^2}dx}$$= \pi \int\limits_{ - 2}^2 {\left( {{x^4} - 8{x^2} + 16} \right)dx}$$= \left. {\pi \left( {\frac{{{x^5}}}{5} - \frac{{8{x^3}}}{3} + 16x} \right)} \right|_{ - 2}^2 = \frac{{512\pi }}{{15}}$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.

a) Mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại $x\left( { - 1 \le x \le 1} \right)$ cắt vật thể (T) theo mặt cắt có diện tích không đổi S(x) liên tục [−1; 1].

b) $V = \int\limits_{ - 1}^1 {S\left( x \right)dx}$.

c) Diện tích của mặt cắt là $S\left( x \right) = {\left( {2\sqrt {1 - {x^2}} } \right)^2} = 4\left( {1 - {x^2}} \right)$.

d) Thể tích vật thể (T) là $V = \int\limits_{ - 1}^1 {S\left( x \right)dx} = \int\limits_{ - 1}^1 {{{\left( {2\sqrt {1 - {x^2}} } \right)}^2}dx} = \frac{{16}}{3}$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

a) Phương trình hoành độ giao điểm: ${x^2} - 3x + 2 = x - 1 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 = 0$$\Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = 3$.

Diện tích cần tính là ${S_2} = \int\limits_1^3 {\left| {x - 1 - \left( {{x^2} - 3x + 2} \right)} \right|dx} = \int\limits_1^3 {\left( { - {x^2} + 4x - 3} \right)dx} = \left. {\left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + 2{x^2} - 3x} \right)} \right|_1^3 = \frac{4}{3}$.

b) ${S_1} = \int\limits_0^1 {\left| {{x^2} - 3x + 2 - \left( {x - 1} \right)} \right|dx} = \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - 4x + 3} \right)dx}$$= \left. {\frac{{{x^3}}}{3} - 2{x^2} + 3x} \right|_0^1 = \frac{4}{3}$.

c) ${S_1} = {S_2} = \frac{4}{3}$.

d) Diện tích cần tìm là $S = \int\limits_0^3 {\left| {{x^2} - 3x + 2 - \left( {x - 1} \right)} \right|dx} = \int\limits_0^3 {\left| {{x^2} - 4x + 3} \right|dx}$$= \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - 4x + 3} \right)dx} + \int\limits_1^3 {\left( { - {x^2} + 4x - 3} \right)dx} = {S_1} + {S_2} = 2.\frac{4}{3} = \frac{8}{3}$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

Diện tích hình phẳng cần tìm là $V = \int\limits_0^3 {\left| {{x^2} - 4} \right|dx}$$= \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - 4} \right|dx} + \int\limits_2^3 {\left| {{x^2} - 4} \right|dx}$

$= - \int\limits_0^2 {\left( {{x^2} - 4} \right)dx} + \int\limits_2^3 {\left( {{x^2} - 4} \right)dx}$$= - \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - 4x} \right)} \right|_0^2 + \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - 4x} \right)} \right|_2^3$$= \frac{{16}}{3} + \frac{7}{3} = \frac{{23}}{3} \approx 7{,}67$.

Trả lời: 7,67.

Ta có $\int\limits_0^5 {f'\left( x \right)dx} = \int\limits_0^2 {f'\left( x \right)dx} + \int\limits_2^5 {f'\left( x \right)dx}$$= {S_A} - {S_B} = 2 - 3 = - 1$.

Mà $\int\limits_0^5 {f'\left( x \right)dx} = \left. {f\left( x \right)} \right|_0^5 = f\left( 5 \right) - f\left( 0 \right)$.

Suy ra $f\left( 5 \right) - f\left( 0 \right) = - 1 \Rightarrow f\left( 5 \right) = - 1 + f\left( 0 \right) = - 1 + 4 = 3$.

Trả lời: 3.

Chọn trục Ox sao cho O trùng với tâm của đáy, chiều dương của trục là chiều hướng lên trên. Khi cắt chậu nước bằng mặt phẳng song song với đáy và cách mặt đáy x thì mặt phẳng đó cắt trục Ox tại điểm có hoành độ x. Mặt cắt là hình tròn có bán kính $\left( {10 + \sqrt x } \right)$ cm.

Diện tích của mặt cắt là $S\left( x \right) = \pi {\left( {10 + \sqrt x } \right)^2}$.

Dung tích của chậu là $V = \int\limits_0^{16} {S\left( x \right)dx} = \pi \int\limits_0^{16} {{{\left( {10 + \sqrt x } \right)}^2}dx} = \pi \int\limits_0^{16} {\left( {100 + 20\sqrt x + x} \right)dx}$

$= \left. {\pi \left( {100x + \frac{{40}}{3}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^{16} = \frac{{7744}}{3}\pi \approx 8109$ cm3.

Trả lời: 8109.

Gọi $S$ là diện tích hình (H), suy ra $S = \int\limits_{ - 4}^0 {\sqrt {x + 4} dx} = \frac{{16}}{3}$.

Gọi S1 là diện tích hình (H1) giới hạn bởi đường thẳng d, trục tung và trục hoành.

Do $d:ax + by - 16 = 0$ đi qua $A\left( {0;2} \right)$ suy ra $b = 8$.

Theo giả thiết ${S_1} = \frac{S}{2} = \frac{8}{3}$ mà ${S_1} = \frac{1}{2}OA.OB \Rightarrow OB = \frac{8}{3} \Rightarrow B\left( { - \frac{8}{3};0} \right)$.

Do $B \in d \Rightarrow a = - 6$.

Vậy $a + b = 2$.

Trả lời: 2.

Diện tích phần tô màu là ${S_2} = \int\limits_0^4 {\frac{1}{4}{x^2}dx} = \left. {\frac{1}{4}\frac{{{x^3}}}{3}} \right|_0^4 = \frac{{16}}{3}$.

Diện tích phần không tô màu là ${S_1} = 16 - \frac{{16}}{3} = \frac{{32}}{3}$.

Vậy $\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = 2$.

Trả lời: 2.