20 câu trắc nghiệm Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 3. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án

Ta có $\overrightarrow {BA} = \left( { - 2;4; - 2} \right),\overrightarrow {OB} = \left( {3; - 1;4} \right)$.

Khi đó $\overrightarrow u = 2\overrightarrow {BA} - \overrightarrow {OB}$ = (−4 – 3; 8 + 1; −4 – 4) = (−7; 9; −8).

$\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0$$\Leftrightarrow \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0$$\Leftrightarrow \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {AB}$. Gọi M(x; y; z)

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;3;0} \right)$, $\overrightarrow {MC} = \left( {2 - x;1 - y;3 - z} \right)$.

Vì $\overrightarrow {MC} = \overrightarrow {AB}$ nên $\left\{ \begin{array}{l}2 - x = - 1\\1 - y = 3\\3 - z = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = - 2\\z = 3\end{array} \right.$ Þ M(3; −2; 3).

. Gọi E(x; y; z).

Ta có $\overrightarrow {CE} = \left( {x - 7;y - 4;z + 2} \right)$; $\overrightarrow {EB} = \left( {1 - x;2 - y; - 3 - z} \right)$.

Vì $\overrightarrow {CE} = 2\overrightarrow {EB}$ nên $\left\{ \begin{array}{l}x - 7 = 2\left( {1 - x} \right)\\y - 4 = 2\left( {2 - y} \right)\\z + 2 = 2\left( { - 3 - z} \right)\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = \frac{8}{3}\\z = - \frac{8}{3}\end{array} \right.$ Þ $E\left( {3;\frac{8}{3}; - \frac{8}{3}} \right)$.

Gọi M(a; 0; 0) (a > 0) là điểm thuộc tia Ox.

Ta có $\overrightarrow {AM} = \left( {a - 1; - 2;0} \right),\overrightarrow {BM} = \left( {a + 1;0; - 3} \right)$.

Để tam giác ABM vuông tại M thì $\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BM} = 0$$\Leftrightarrow \left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right) = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1\\a = - 1\end{array} \right.$.

Vì a > 0 nên M(1; 0; 0).

a) Tọa độ vectơ $\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( { - 5;11;0} \right)$.

b) Tọa độ vectơ $\overrightarrow a - \overrightarrow b = \left( {7; - 19;0} \right)$.

c) Tọa độ vectơ $2\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( { - 4;7;0} \right)$.

d) Ta có $\overrightarrow u + \overrightarrow a = \overrightarrow b \Rightarrow \overrightarrow u = \overrightarrow b - \overrightarrow a = \left( { - 7;19;0} \right)$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

a) $AB = \sqrt {{{\left( { - \frac{8}{3} - 2} \right)}^2} + {{\left( {\frac{4}{3} - 2} \right)}^2} + {{\left( {\frac{8}{3} - 1} \right)}^2}} = 5$.

b) Ta có $\overrightarrow {OA} = \left( {2;2;1} \right),\overrightarrow {OB} = \left( { - \frac{8}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3}} \right)$ $\Rightarrow \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} = - \frac{{16}}{3} + \frac{8}{3} + \frac{8}{3} = 0$ $\Rightarrow \overrightarrow {OA} \bot \overrightarrow {OB}$.

Do đó tam giác OAB vuông tại O.

c) Có OA = 3; OB = 4; AB = 5.

Gọi D là chân đường phân giác trong góc $\widehat {AOB}$ Þ D thuộc đoạn AB.

Theo tính chất của phân giác trong ta có:

$\frac{{DA}}{{DB}} = \frac{{OA}}{{OB}} = \frac{3}{4}$ $\Rightarrow \overrightarrow {DA} = - \frac{3}{4}\overrightarrow {DB} \Rightarrow D\left( {0;\frac{{12}}{7};\frac{{12}}{7}} \right)$.

d) Tam giác OAB có diện tích $S = \frac{1}{2}OA.OB = 6$, nửa chu vi $P = \frac{{OA + OB + AB}}{2} = 6$

$\Rightarrow r = \frac{S}{p} = 1$ là bán kính đường tròn nội tiếp; chiều cao $OH = \frac{{OA.OB}}{{AB}} = \frac{{12}}{5}$.

Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OAB Þ I thuộc đoạn OD.

Ta có $\frac{{DI}}{{DO}} = \frac{r}{{OH}} = \frac{5}{{12}}$ $\Rightarrow \overrightarrow {DI} = \frac{5}{{12}}\overrightarrow {DO}$ Þ I(0; 1; 1) hay a = 0; b = 1; c = 1.

Vậy S = a + b + c = 2.

Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

. a) Dựa vào hình vẽ ta thấy máy bay đang ở độ cao 9 km.

b) Máy bay ở tọa độ (150; 300;9).

c) Vận tốc gió 10 m/s = 36 km/h.

Quãng đường máy bay bay được là 750 + 36 = 786 km.

Do đó tọa độ của máy bay là (150; 1086; 9).

d) Quãng đường máy bay bay được là $800.\frac{1}{2} = 400$ km. Do đó tọa độ máy bay là (150; 686; 9).

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

a) Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {6;2; - 6} \right)$.

b) Ta có $\overrightarrow {BC} = \left( {15;3; - 3} \right)$.

Ta có $\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|}}$$= \frac{{6.15 + 2.3 - 6.\left( { - 3} \right)}}{{\sqrt {{6^2} + {2^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}} .\sqrt {{{15}^2} + {3^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{114}}{{\sqrt {18468} }}$

$\Rightarrow \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) \approx 33^\circ$.

c) Có $\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AB} = \left( {21;5; - 9} \right)$.

Do đó $\left| {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{21}^2} + {5^2} + {{\left( { - 9} \right)}^2}} = \sqrt {547}$.

d) Điểm N thuộc đoạn AB thỏa mãn NA = 3NB nên $\overrightarrow {NA} = - 3\overrightarrow {NB}$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 5 - a = - 3\left( {1 - a} \right)\\ - b = - 3\left( {2 - b} \right)\\7 - c = - 3\left( {1 - c} \right)\end{array} \right.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{1}{2}\\b = \frac{3}{2}\\c = \frac{5}{2}\end{array} \right.$. Do đó $a + b + c = - \frac{1}{2} + \frac{3}{2} + \frac{5}{2} = 3{,}5$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai.

a) Chiều cao của căn phòng là AA' = 3 m.

b) Ta có B Î Ox nên B(3; 0; 0).

c) A(0; 0; 0), $C\left( {3;3\sqrt 3 ;0} \right)$.

Ta có $\overrightarrow {AC} = \left( {3;3\sqrt 3 ;0} \right)$; $\overrightarrow {AB} = \left( {3;0;0} \right)$.

Suy ra $\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt {{3^2} + {{\left( {3\sqrt 3 } \right)}^2} + {0^2}} = 6$; $\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{3^2} + {0^2} + {0^2}} = 3$.

d) Ta có $A'\left( {0;0;3} \right)$; $C'\left( {3;3\sqrt 3 ;3} \right)$; $D\left( {0;3\sqrt 3 ;0} \right)$; $C\left( {3;3\sqrt 3 ;0} \right)$.

Ta có $\overrightarrow {A'C'} = \left( {3;3\sqrt 3 ;0} \right)$; $\overrightarrow {DC} = \left( {3;0;0} \right)$.

Khi đó $\cos \left( {\overrightarrow {A'C'} ,\overrightarrow {DC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {A'C'} .\overrightarrow {DC} }}{{\left| {\overrightarrow {A'C'} } \right|.\left| {\overrightarrow {DC} } \right|}}$$= \frac{{3.3 + 3\sqrt 3 .0 + 0.0}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( {3\sqrt 3 } \right)}^2}} .\sqrt {{3^2}} }} = \frac{9}{{18}} = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow \left( {\overrightarrow {A'C'} ,\overrightarrow {DC} } \right) = 60^\circ$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

Ta có $\overrightarrow {SA} = \left( { - 2;0; - 4} \right),\overrightarrow {SB} = \left( {1;\sqrt 3 ; - 4} \right),\overrightarrow {SC} = \left( {1; - \sqrt 3 ; - 4} \right)$ $\Rightarrow SA = SB = SC = \sqrt {20}$.

Lại có $\overrightarrow {AB} = \left( {3;\sqrt 3 ;0} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {3; - \sqrt 3 ;0} \right),\overrightarrow {BC} = \left( {0; - 2\sqrt 3 ;0} \right)$ $\Rightarrow AB = AC = BC = \sqrt {12}$.

Do đó hình chóp S.ABC đều có đường cao là SO = 4 với O(0; 0; 0) là trọng tâm tam giác ABC.

Mặt khác, $\overrightarrow {{F_1}} = k\overrightarrow {SA} = \left( { - 2k;0; - 4k} \right),\overrightarrow {{F_2}} = k\overrightarrow {SB} = \left( {k;\sqrt 3 k; - 4k} \right),\overrightarrow {{F_3}} = k\overrightarrow {SC} = \left( {k; - \sqrt 3 k; - 4k} \right)$

$\Rightarrow \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \left( {0;0; - 12k} \right)$.

Mà $\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow P = \left( {0;0; - 30} \right)$ nên $- 12k = - 30 \Leftrightarrow k = \frac{5}{2}$.

Suy ra $\overrightarrow {{F_1}} = \left( { - 5;0; - 10} \right),\overrightarrow {{F_2}} = \left( {\frac{5}{2};\frac{{5\sqrt 3 }}{2}; - 10} \right)$.

Vậy $\overrightarrow {{F_1}} .\overrightarrow {{F_2}} = \frac{{175}}{2} = 87{,}5$.

Trả lời: 87,5.

Ta có $AB = \sqrt {{{\left( {4 - 1} \right)}^2} + {{\left( {4 - 0} \right)}^2} + {{\left( {6 - 1} \right)}^2}} = 5\sqrt 2$ (đơn vị trên phần mềm) khoảng cách ngoài thực tế sẽ là $5\sqrt 2$ km.

Thời gian bay của drone là $\frac{{5\sqrt 2 }}{{80}}$ giờ ≈ 5,3 phút.

Trả lời: 5,3.

Ta có MA$^{2}$ + MB$^{2}$ = (1 – a)$^{2}$ + (2 – b)$^{2}$ + 1$^{2}$ + (2 – a)$^{2}$ + (−1 – b)$^{2}$ + 3$^{2}$

= 2a$^{2}$ – 6a + 2b$^{2}$ – 2b + 20 = $2{\left( {a - \frac{3}{2}} \right)^2} + 2{\left( {b - \frac{1}{2}} \right)^2} + 15 \ge 15$.

Đẳng thức xảy ra khi $a = \frac{3}{2};b = \frac{1}{2}$. Khi đó a + b = 2.

Trả lời: 2.

Theo đề ta có $\overrightarrow {MN} = 2\overrightarrow {NP}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}200 = 2\left( {a - 800} \right)\\100 = 2\left( {b - 500} \right)\\10 = 2\left( {c - 30} \right)\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 900\\b = 550\\c = 35\end{array} \right.$.

Do đó a + b + c = 1485.

Trả lời: 1485.

Theo đề ta có $A\left( {4;0;3} \right);B\left( {0;3;\frac{5}{2}} \right)$.

Khi đó $\overrightarrow {AB} = \left( { - 4;3; - \frac{1}{2}} \right)$.

Do đó $a + b + c = - 1{,}5$.

Trả lời: −1,5.

$\overrightarrow v = \left( {1; - 5; - 3} \right)$