20 câu Trắc nghiệm Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 1. Vectơ và các phép toán trong không gian có đáp án

Đáp án đúng là: B

Vectơ cùng phương với $\overrightarrow {BC}$ là $\overrightarrow {DA} .$

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {SB}$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right) = \widehat {BAD} = 90^\circ .$

Đáp án đúng là: D

Ta có:

$ABCD.A'B'C'D'$ là hình lập phương.

Do đó, $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {A'D'} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right) = \widehat {DAB} = 90^\circ ;$

$\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {A'C'} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \widehat {BAC} = 45^\circ$;

$\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {B'D'} } \right) = \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right) = 90^\circ ;$

$\left( {\overrightarrow {A'A} ,\overrightarrow {CB'} } \right) = \left( {\overrightarrow {C'C} ,\overrightarrow {CB'} } \right) = 180^\circ - \widehat {C'CB'} = 135^\circ .$

Đáp án đúng là: A

Ta có công thức tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ khác vectơ $\overrightarrow 0$ là:

$\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right).$

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AA'} = - \overrightarrow a + \overrightarrow b + \frac{1}{2}\overrightarrow c .$

Đáp án đúng là: B

Ta có: $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$ nên $\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0$, suy ra đáp án A đúng.

$\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow {GA} + \overrightarrow 0 = \overrightarrow {GA}$, suy ra đáp án B sai.

$\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow {CG} \Leftrightarrow \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {CG} \Leftrightarrow \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CD} = 3\overrightarrow {CG} .$

Suy ra đáp án C đúng.

$\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GD} = 3\overrightarrow {AG} + \overrightarrow 0 = 3\overrightarrow {AG.}$

Do đó, đáp án D đúng.

Vậy chọn B.

**

Đáp án đúng là: D

Ta có:

$\overrightarrow {B'C} = \overrightarrow {B'B} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} = - \overrightarrow {AA'} - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} .$

Đáp án đúng là: A

Do $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ $\overrightarrow 0$ nên $\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 0^\circ$.

Suy ra $\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\cos 0^\circ = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.$

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right| = 4$ ⇒ ${\left( {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right)^2} = 16$ ⇔ ${\overrightarrow a ^2} - 2\overrightarrow a .\overrightarrow b + {\overrightarrow b ^2} = 16$

⇔ $\overrightarrow a .\overrightarrow b$ = $\frac{9}{2}$ ⇔ $\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{9}{2}$ ⇔ $\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{3}{8}.$

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {EG} = \overrightarrow {EF} .\overrightarrow {EG} = EF.EG.\cos \left( {\overrightarrow {EF} ,\overrightarrow {EG} } \right) = a.a\sqrt 2 .\cos 45^\circ = {a^2}.$

Đáp án đúng là: B

Gọi

$I$ là trung điểm $B'C'$. Vì $G'$ là trọng tâm tam giác $A'B'C'$ $\Rightarrow \overrightarrow {A'G'} = \frac{2}{3}\overrightarrow {A'I} .$

Mặt khác $\overrightarrow {AG'} = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {A'G'} = \overrightarrow {AA'} + \frac{2}{3}\overrightarrow {A'I} = \overrightarrow {AA'} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {A'B'} + \overrightarrow {A'C'} } \right)$

$= \overrightarrow {AA'} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{3}\left( {3\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{3}\left( {3\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)$.

Đáp án đúng là: C

Ta có:

$\overrightarrow u = \overrightarrow {SA} - \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {CS} = \overrightarrow {CA}$.

Suy ra $\left| {\overrightarrow u } \right| = \left| {\overrightarrow {SA} - \overrightarrow {SC} } \right| = \left| {\overrightarrow {CA} } \right| = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2}} = 2\sqrt 6 .$

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 6$

⇔ $AB.AC.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = 6$

⇔ $4.AC.\cos 60^\circ = 6$

⇔ $AC = 3$.

Vậy độ dài của $\overrightarrow {AC}$ là 3.

Đáp án đúng là: A

a) $\overrightarrow {B'B} - \overrightarrow {DB} = \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {B'D}$ ⇒ a) đúng.

b) $\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {BD'}$ ⇒ b) sai.

c) Ta có: $\left| {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BB'} } \right| = \left| {\overrightarrow {BD'} } \right| = \sqrt {A{B^2} + B{C^2} + B{{B'}^2}} = a\sqrt 3$ ⇒ c) sai.

d) Ta có: $\left| {\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {C'A} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {C'A} } \right| = \left| {\overrightarrow {C'C} } \right| = a$ ⇒ d) đúng.

Đáp án đúng là: C

a) Đúng.

b) Đúng. Do $S.ABCD$ là chóp tứ giác đều nên $\left| {\overrightarrow {SA} } \right| = \left| {\overrightarrow {SB} } \right| = \left| {\overrightarrow {SC} } \right| = \left| {\overrightarrow {SD} } \right|.$

c) Đúng. Độ lớn của trọng lực $\overrightarrow P$ tác động lên chiếc đèn chùm là: $P = mg = 5.10 = 50N.$

d) Sai. Ta có là hình chóp tứ giác đều ⇒ $SA = SB = SC = SD$ và $\widehat {ASC} = 60^\circ$ nên tam giác $SAC$ đều.

Gọi $O$ là trung điểm $AC$.

Để đèn chùm đứng yên thì hợp lực của các sợi xích phải cân bằng với mọi lực hay $4\overrightarrow {SO} = \overrightarrow P$ hay $4SO = P$ ⇔ $SO = 12{,}5$.

Xét tam giác đều $SAC$ có $SA = \frac{{\sqrt 3 }}{2}SO = \frac{{25\sqrt 3 }}{4}.$

Vậy độ lớn của lực căng cho mỗi sợi xích là $\frac{{25\sqrt 3 }}{4}N$

Đáp án đúng là: B

Ta có:

$\overrightarrow {IJ} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} } \right)$.

Vì tam giác $ABC$ có $AB = AC$ và $\widehat {BAC} = 60^\circ$ nên tam giác $ABC$ đều.

Suy ra $CI \bot AB$.

Tương tự ta có tam giác $ABD$ đều nên $DI \bot AB$.

Xét: $\overrightarrow {IJ} .\overrightarrow {AB} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} } \right).\overrightarrow {AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow {IC} .\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {ID} .\overrightarrow {AB}$ $= \overrightarrow 0$.

Suy ra $\left( {\overrightarrow {IJ} ,\overrightarrow {AB} } \right) = 90^\circ$.

Đáp án đúng là: A

Xét tứ diện

$ABCD$ cạnh $a$ ta có: $\overrightarrow {DM} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2};AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

Ta có: $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {DM} = \overrightarrow {AB} .\left( {\overrightarrow {AM} - \overrightarrow {AD} } \right) = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AM} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}$

$= \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AM} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AM} } \right) - \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AD} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right)$

= $a.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} - a.a.\frac{1}{2} = \frac{{{a^2}}}{4}$.

Ta có: $\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DM} } \right)$ = $\frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {DM} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {DM} } \right|}} = \frac{{\frac{{{a^2}}}{4}}}{{a.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{6}$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {SA} \left( {\overrightarrow {SC} - \overrightarrow {SB} } \right) = \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SC} - \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SB} = SA.SC.\cos \widehat {ASC} - SA.SB.\cos \widehat {ASB}$ = 0.

⇒ $\left( {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = 90^\circ .$

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\overrightarrow {EF} = \overrightarrow {EA} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DF}$

= −$\overrightarrow {AE}$ + $\overrightarrow {AD}$ − $\overrightarrow {FD}$

= $\overrightarrow {AD}$− $\frac{1}{3}\overrightarrow {AB}$ − $\frac{2}{3}\overrightarrow {CD}$. (1)

Vậy $\overrightarrow {EF} = \overrightarrow {AD} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow {CD}$.

Ta có: $\overrightarrow {EF} = \overrightarrow {EB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CF}$

= $\frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {CD}$.

Vậy $\overrightarrow {EF} = \overrightarrow {BC} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {CD}$. (2)

$3\overrightarrow {EF} = \left( {\overrightarrow {AD} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow {CD} } \right) + 2\left( {\frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {CD} } \right)$

= $\overrightarrow {AD} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow {CD}$ + $\frac{4}{3}\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {CB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {CD}$

= $\overrightarrow {AD}$ + $\left( { - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{4}{3}\overrightarrow {AB} } \right)$ + $\left( { - \frac{2}{3}\overrightarrow {CD} + \frac{2}{3}\overrightarrow {CD} } \right)$ + $2\overrightarrow {CB}$

= $\overrightarrow {AD}$ + $2\overrightarrow {CB}$ + $\overrightarrow {AB}$

⇒ $\overrightarrow {EF} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}$.

Vậy $k = \frac{2}{3}.$