20 câu trắc nghiệm Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 1. Phương trình mặt phẳng (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án

Đáp án đúng: A

Ta có $\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left( {3; - 5; - 1} \right)$.

Đáp án đúng: A

Xét $\left( \alpha \right):x - 2y - z + 5 = 0$ và $\left( {{\beta _2}} \right):2x - 4y - 2z + 7 = 0$.

Có $\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {1; - 2; - 1} \right),\overrightarrow {{n_{{\beta _2}}}} = \left( {2; - 4; - 2} \right)$ lần lượt là các vectơ pháp tuyến của (α) và (β$_{2}$).

Có $\overrightarrow {{n_\alpha }} = \frac{1}{2}\overrightarrow {{n_{{\beta _2}}}}$ và $5 \ne \frac{1}{2}.7$. Do đó $\left( \alpha \right)//\left( {{\beta _2}} \right)$.

Đáp án đúng: D

$\frac{x}{{ - 2}} + \frac{y}{{ - 1}} + \frac{z}{3} = 1$$\Leftrightarrow - 3x - 6y + 2z - 6 = 0$$\Leftrightarrow 3x + 6y - 2z + 6 = 0$.

Do đó mặt phẳng $3x + 6y - 2z + 6 = 0$ nhận $\overrightarrow n = \left( {3;6; - 2} \right)$ làm một vectơ pháp tuyến.

Đáp án đúng: A

Phương trình mặt phẳng (ABC) là $\frac{x}{3} + \frac{y}{4} + \frac{z}{5} = 1$.

Đáp án đúng: A

$\overrightarrow {{n_1}} = \left( {4; - 4;2} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Đáp án đúng: B

Xét (P): 2x + y – 2z + 4 = 0 và $\left( \alpha \right):x + 2y + 2z - 5 = 0$.

Có $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;1; - 2} \right),\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {1;2;2} \right)$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (α).

Có $\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_\alpha }} = 2.1 + 1.2 + \left( { - 2} \right).2 = 0$. Do đó $\left( P \right) \bot \left( \alpha \right)$.

Đáp án đúng: B

Thay tọa độ điểm N vào mặt phẳng (P) ta được $1 + 1 + 1 - 3 = 0$.

Do đó $N \in \left( P \right)$.

Đáp án đúng: D

Có $d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 2.2 + 2.\left( { - 3} \right) - 10} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = \frac{{11}}{3}$.

Đáp án đúng: C

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {0;4;2} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 3;4;3} \right),\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {4; - 6;12} \right) = 2\left( {2; - 3;6} \right) = 2\overrightarrow n$.

Mặt phẳng (ABC) đi qua điểm A và nhận $\overrightarrow n = \left( {2; - 3;6} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là

$2\left( {x - 3} \right) - 3\left( {y + 2} \right) + 6\left( {z + 2} \right) = 0$$\Leftrightarrow 2x - 3y + 6z = 0$.

Đáp án đúng: A

$\overrightarrow {AB} = \left( { - 3; - 3;2} \right)$, $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 3;2} \right)$, $\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( {0;8;12} \right) = 4\left( {0;2;3} \right) = 4\overrightarrow n$.

Mặt phẳng (Q) đi qua điểm A(2; 4; 1) và nhận $\overrightarrow n = \left( {0;2;3} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là

$2\left( {y - 4} \right) + 3\left( {z - 1} \right) = 0$$\Leftrightarrow 2y + 3z - 11 = 0$.

a) $\overrightarrow {AB} = \left( {3;1;2} \right)$.

b) Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với AB nhận $\overrightarrow {AB} = \left( {3;1;2} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là

$3x + y + 2z - 3 = 0$.

c) Trung điểm I của AB có tọa độ là $I\left( {\frac{5}{2};\frac{1}{2};1} \right)$.

d) Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB đi qua $I\left( {\frac{5}{2};\frac{1}{2};1} \right)$ và nhận $\overrightarrow {AB} = \left( {3;1;2} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là $3\left( {x - \frac{5}{2}} \right) + \left( {y - \frac{1}{2}} \right) + 2\left( {z - 1} \right) = 0$$\Leftrightarrow 3x + y + 2z - 10 = 0$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

a) Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {3;1; - 1} \right)$.

b) Thay tọa độ điểm A vào phương trình mặt phẳng (P) ta được 3.5 + 3 + 6 – 12 ≠ 0. Suy ra A  (P).

c) Vì M  (P) nên 3a + b – 1 – 12 = 0  3a + b = 13.

d) (P) cắt trục Ox tại A(4; 0; 0), cắt trục Oz tại B(0; 0; −12).

Vì Ox  Oz nên OAB vuông tại O.

Khi đó ${S_{\Delta AOB}} = \frac{1}{2}OA.OB = \frac{1}{2}.4.12 = 24$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai.

Đáp án: Trong không gian Oxyz, cho $M\left( { - 2; - 4;3} \right)$ và $\left( P \right):2x - y + 2z - 3 = 0$, $\left( Q \right):2x - y + 2z - 6 = 0$. ( a) $d\left( {M,\left( P \right)} \right) = 2$. (b) M cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q). (c) $d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = 1$. (d) (α) song song và cách (Q) một khoảng bằng 2 có phương trình là $\left( \alpha \right):2x - y + 2z - 9 = 0$.

a) $d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.\left( { - 2} \right) - \left( { - 4} \right) + 2.3 - 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = 1$.

b) $d\left( {M,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {2.\left( { - 2} \right) - \left( { - 4} \right) + 2.3 - 6} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = 0$ $\Rightarrow M \in \left( Q \right)$.

c) Vì (P) // (Q) nên $d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = d\left( {M,\left( P \right)} \right) = 1$.

d) Vì (α) // (Q) nên $\left( \alpha \right):2x - y + 2z + d = 0$.

Có $d\left( {\left( \alpha \right),\left( Q \right)} \right) = d\left( {M,\left( \alpha \right)} \right) = \frac{{\left| {2.\left( { - 2} \right) - \left( { - 4} \right) + 2.3 + d} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{{\left| {6 + d} \right|}}{3} = 2$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}d = 0\\d = - 12\end{array} \right.$.

Vậy có 2 mặt phẳng thỏa mãn: $2x - y + 2z = 0;2x - y + 2z - 12 = 0$.

Đáp án: a) Sai ; b) Sai; c) Đúng ; d) Sai.

a) Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {0; - 2;2} \right),\overrightarrow {BC} = \left( {1;1;1} \right)$ $\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right] = \left( { - 4;2;2} \right) = 2\left( { - 2;1;1} \right) = 2\overrightarrow n$.

Suy ra mặt phẳng (ABC) có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( { - 2;1;1} \right)$.

b) Phương trình mặt phẳng (ABC): $- 2\left( {x - 1} \right) + \left( {y - 2} \right) + z = 0 \Leftrightarrow - 2x + y + z = 0$.

Thay tọa độ điểm M(3; 1; 5) vào phương trình mặt phẳng (ABC), ta được −2.3 + 1 + 5 = 0 (đúng).

Vậy mặt phẳng (ABC) đi qua điểm M.

c) Ta có vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 1;2} \right)$.

Vì $\overrightarrow {{n_p}} .\overrightarrow n = - 2.1 - 1.1 + 1.2 = - 1 \ne 0$ nên mặt phẳng (ABC) không vuông góc với mặt phẳng (P).

d) Ta có $d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1 - 2 + 2.0 + 7} \right|}}{{\sqrt {1 + 1 + 4} }} = \sqrt 6$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.

a) $\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 3; - 1} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 2;0; - 2} \right)$ , $\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {6;6; - 6} \right) = 6\left( {1;1; - 1} \right) = 6\overrightarrow n$ .

Suy ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\overrightarrow n = \left( {1;1; - 1} \right)$ .

b) Phương trình mặt phẳng (P) là $x + \left( {y - 1} \right) - \left( {z - 2} \right) = 0$$\Leftrightarrow x + y - z + 1 = 0$ .

c) Mặt phẳng (P) cắt trục Ox tại điểm M(−1; 0; 0).

d) Thay tọa độ điểm N vào phương trình mặt phẳng (P) ta được $1 - 2 - 0 + 1 = 0$ .

Do đó N  (P).

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {2;2; - 2} \right)$.

Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 1;1} \right)$.

Mặt phẳng (Q) có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_Q}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( {0; - 4; - 4} \right) = - 4\left( {0;1;1} \right)$.

Vậy phương trình mặt phẳng (Q): y + z – 2 = 0  −y – z + 2 =0.

Do đó $T = a + b + c = - 2$.

Trả lời: −2.

Giả sử A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c > 0.

Phương trình mặt phẳng (P): $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$.

Ta có OA + OB + OC = a + b + c.

Vì M(1; 4; 9) ∈ (P) $\Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{4}{b} + \frac{9}{c} = 1$.

Ta có $\left( {\frac{1}{a} + \frac{4}{b} + \frac{9}{c}} \right)\left( {a + b + c} \right) \ge {\left( {1 + 2 + 3} \right)^2}$ $a + b + c \ge 36$.

Dấu “=” xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{a} + \frac{4}{b} + \frac{9}{c} = 1\\\frac{1}{a} = \frac{2}{b} = \frac{3}{c}\end{array} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 6\\b = 12\\c = 18\end{array} \right.$.

Khi đó phương trình mặt phẳng (P): $\frac{x}{6} + \frac{y}{{12}} + \frac{z}{{18}} = 1$$\Leftrightarrow 6x + 3y + 2z - 36 = 0$.

Vậy $d\left( {O,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| { - 36} \right|}}{{\sqrt {36 + 9 + 4} }} = \frac{{36}}{7} \approx 5{,}14$.

Trả lời: 5,14.

Dựa vào hệ trục tọa độ đã vẽ, ta có $A\left( {0;0;0} \right),B\left( {2;0;0} \right),D\left( {0;2;0} \right),S\left( {0;0;3} \right),C\left( {2;2;0} \right)$.

Ta có $\overrightarrow {SC} = \left( {2;2; - 3} \right),\overrightarrow {SD} = \left( {0;2; - 3} \right),\left[ {\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {SD} } \right] = \left( {0;6;4} \right) = 2\left( {0;3;2} \right) = 2\overrightarrow n$.

Mặt phẳng (SCD) đi qua điểm S nhận $\overrightarrow n = \left( {0;3;2} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình

$3y + 2\left( {z - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 3y + 2z - 6 = 0$.

Khi đó $d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{{\left| { - 6} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2}} }} \approx 1{,}67$.

Trả lời: 1,67.

Ta có $\overrightarrow {SC} = \left( {2;2; - 3} \right),\overrightarrow {SD} = \left( {0;2; - 3} \right),\left[ {\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {SD} } \right] = \left( {0;6;4} \right) = 2\left( {0;3;2} \right) = 2\overrightarrow n$.

Vì (P) đi qua điểm M nên $a.2 - 3.1 + 1 - 8 = 0 \Rightarrow a = 5$.

Trả lời: 5.

Những điểm thuộc đường nóc nhà có tọa độ thỏa mãn hệ $\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 5 = 0\\x - 2y - 3z + 20 = 0\end{array} \right.$.

Từ phương trình thứ nhất chọn $x = - 5 \Rightarrow y = 0$thay vào phương trình còn lại ta được $z = 5$.

Vậy điểm A(−5; 0; 5) là một điểm thuộc đường nóc nhà.

Khi đó chiều cao cần tìm của ngôi nhà là khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (Oxy) và bằng 5.

Trả lời: 5.