20 câu trắc nghiệm Toán 12 Cánh diều Bài tập cuối chương V (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án

Đáp án đúng: C

$\overrightarrow {{n_4}} = \left( {3\,;\,2\,;\, - 4} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α).

Đáp án đúng: D

Có $\overrightarrow n = \left( {2; - 1;3} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Vì mặt (Q) // (P) nên mặt phẳng (Q) nhận $\overrightarrow n = \left( {2; - 1;3} \right)$ là một vectơ pháp tuyến.

Phương trình mặt phẳng (Q): $2\left( {x - 1} \right) - \left( {y - 3} \right) + 3\left( {z + 2} \right) = 0$$\Leftrightarrow 2x - y + 3z + 7 = 0$ .

Đáp án đúng: C

Có $\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;5;2} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {1; - 2;1} \right)$ , $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {9;4; - 1} \right)$ .

Suy ra $\overrightarrow n = \left( {9;4; - 1} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC).

Đáp án đúng: D

Phương trình đường thẳng đi qua điểm $M\left( {2;1; - 3} \right)$ và có vec tơ chỉ phương $\vec u = (1; - 1;2)$ là $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 - t\\z = - 3 + 2t\end{array} \right.$

Đáp án đúng: C

Điểm A nằm trên mặt phẳng $x + y + 2z - 6 = 0$ vì $1 + 1 + 2.2 - 6 = 0$ .

Đáp án đúng: B

Thay tọa độ điểm $\left( { - 1; - 4;3} \right)$ vào phương trình đường thẳng Δ ta được $\left\{ \begin{array}{l} - 1 = 1 + 2t\\ - 4 = - 1 + 3t\\3 = 2 - t\end{array} \right. \Rightarrow t = - 1$ (đúng).

Đáp án đúng: A

$\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y - 2z - 3 = 0$$\Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9$ .

Suy ra mặt cầu (S) có tâm I(−1; 2; 1).

Đáp án đúng: D

Đường thẳng △ đi qua M(1; 2; −3) và có $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2; - 1;0} \right)$ .

Đường thẳng △' có $\overrightarrow {{u_2}} = \left( {2; - 1;0} \right)$ .

Ta có $\overrightarrow {{u_1}} = \overrightarrow {{u_2}}$ nên $\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}}$ cùng phương và M ∈ △'. Do đó △ ≡ △'.

Đáp án đúng: B

Phương trình mặt phẳng (P) cắt trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) có dạng $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ .

Vì M  (P) nên $\frac{3}{a} + \frac{2}{b} + \frac{1}{c} = 1$ (1).

Có $\overrightarrow {AM} = \left( {3 - a;2;1} \right),\overrightarrow {BC} = \left( {0; - b;c} \right),\overrightarrow {BM} = \left( {3;2 - b;1} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - a;0;c} \right)$ .

Vì M là trực tâm tam giác ABC nên $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} = 0\\\overrightarrow {BM} .\overrightarrow {AC} = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2b + c = 0\\ - 3a + c = 0\end{array} \right.$ (2).

Từ (1) và (2) ta có $\left\{ \begin{array}{l} - 2b + c = 0\\ - 3a + c = 0\\\frac{3}{a} + \frac{2}{b} + \frac{1}{c} = 1\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \frac{c}{2}\\a = \frac{c}{3}\\\frac{{14}}{c} = 1\end{array} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 7\\a = \frac{{14}}{3}\\c = 14\end{array} \right.$ .

Do đó (P): $\frac{{3x}}{{14}} + \frac{y}{7} + \frac{z}{{14}} = 1$$\Leftrightarrow 3x + 2y + z - 14 = 0$ .

Đáp án đúng: C

$\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2; - 3;6} \right) = - \left( { - 2;3; - 6} \right) = - \overrightarrow n$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Đường thẳng d đi qua A(−1; 0; 2) vuông góc với mặt phẳng (P) nhận $\overrightarrow n = \left( { - 2;3; - 6} \right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình là $\frac{{x + 1}}{{ - 2}} = \frac{y}{3} = \frac{{z - 2}}{{ - 6}}$ .

a) Mặt cầu (S) có tâm I(−1; 1; −2) và bán kính R = 3.

b) Có $IA = \sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = \sqrt 3 < R$.

Suy ra điểm A(0; 2; −3) nằm trong mặt cầu.

c) Có $IJ = \sqrt {{2^2} + {1^2} + {5^2}} = \sqrt {30} > R$.

Điểm J(1; 2; 3) nằm ngoài mặt cầu và khoảng cách từ tâm I đến điểm J bằng $\sqrt {30}$.

d) Mặt cầu (S') có tâm I'(0; 0; 1).

Ta có $II' = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {3^2}} = \sqrt {11}$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.

a) Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {2;1; - 1} \right)$.

b) Mặt phẳng (P) đi qua M và vuông góc với d nhận $\overrightarrow u = \left( {2;1; - 1} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình $2\left( {x - 2} \right) + \left( {y - 1} \right) - z = 0$$\Leftrightarrow 2x + y - z - 5 = 0$.

Suy ra b = 1; c = −1; d = −5. Do đó b + c + d = −5.

c) Gọi H = d ∈ (P).

Vì H ∈ d $\Rightarrow H\left( {1 + 2t; - 1 + t; - t} \right)$.

Mà H ∈ (P) nên 2 + 4t – 1 + t + t – 5 = 0 $\Leftrightarrow t = \frac{2}{3} \Rightarrow H\left( {\frac{7}{3}; - \frac{1}{3}; - \frac{2}{3}} \right)$.

M' là điểm đối xứng với M qua d nên H là trung điểm của MM'. Khi đó $M'\left( {\frac{8}{3}; - \frac{5}{3}; - \frac{4}{3}} \right)$.

d) Gọi N là giao điểm của △ và d.

Vì N ∈ d → N(1 + 2t; −1 + t; −t).

Có $\overrightarrow {MN} = \left( {2t - 1;t - 2; - t} \right)$.

Vì △ ⊥ d nên $\overrightarrow {MN} .\overrightarrow u = 4t - 2 + t - 2 + t = 0 \Rightarrow t = \frac{2}{3}$ $\Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {\frac{1}{3}; - \frac{4}{3}; - \frac{2}{3}} \right) = \frac{1}{3}\left( {1; - 4; - 2} \right) = \frac{1}{3}\overrightarrow u$.

Đường thẳng MN đi qua M và nhận $\overrightarrow u = \left( {1; - 4; - 2} \right)$ làm vectơ chỉ phương.

Suy ra a = −4; b = −2 → a + b = −6.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

a) Phương trình tham số của đường thẳng d là $\left\{ \begin{array}{l}x = 10 + 7t\\y = t - 4\\z = 15 + 8t\end{array} \right.$.

b) Có $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2; - 1;3} \right)$, $\overrightarrow {{u_d}} = \left( {7;1;8} \right)$.

$\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.7 + \left( { - 1} \right).1 + 3.8} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {3^2}} .\sqrt {{7^2} + {1^2} + {8^2}} }} = \frac{{37}}{{2\sqrt {399} }}$ $\Rightarrow \left( {d,\left( P \right)} \right) \approx 68^\circ$.

c) Mặt phẳng qua M và vuông góc với đường thẳng d nhận $\overrightarrow {{u_d}} = \left( {7;1;8} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là $7\left( {x - 1} \right) + \left( {y - 1} \right) + 8\left( {z - 4} \right) = 0$$\Leftrightarrow 7x + y + 8z - 40 = 0$.

d) Ta có $R = d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.1 - 1 + 3.4 - 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {3^2}} }} = \frac{{12}}{{\sqrt {14} }}$.

Phương trình mặt cầu cần lập là ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = \frac{{72}}{7}$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.

a) Ta có $\overrightarrow {{n_P}} = \left( { - 1;2; - 4} \right),\overrightarrow {{n_Q}} = \left( { - 1;2; - 4} \right)$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q).

Ta có $\overrightarrow {{n_P}} = \overrightarrow {{n_Q}}$ và $4 \ne 10$ nên (P) // (Q).

b) Có $\overrightarrow {OA} = \left( {2;1;0} \right)$, $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( { - 4;8;5} \right)$.

Mặt phẳng (α) đi qua O và nhận $\overrightarrow n = \left( { - 4;8;5} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là

$- 4x + 8y + 5z = 0$.

Suy ra $a = - 4;b = 8;d = 0$. Khi đó $a + b + d = 4$.

c) Lấy điểm B(0; 0; 1) ∈ (P).

Ta có $d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = d\left( {B,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| { - 4 + 10} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{6}{{\sqrt {21} }}$.

d) $d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| { - 2 + 2.1 - 4.0 + 4} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt {21} }}$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

a) $d\left( {B,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.0 + 2.\left( { - 1} \right) - 2 + 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{3}$ .

b) Có $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;2; - 1} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Mặt phẳng (Q) đi qua điểm B và song song với mặt phẳng (P) nhận $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;2; - 1} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là $2x + 2\left( {y + 1} \right) - \left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 2y - z + 4 = 0$ .

c) Đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (P) nhận $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;2; - 1} \right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình là $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 + 2t\\z = 3 - t\end{array} \right.$ .

d) Gọi d là đường thẳng đi qua C và vuông góc với (P) có phương trình là $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 + 2t\\z = - 2 - t\end{array} \right.$ .

Gọi H = d  (P).

Vì H  d  $H\left( {1 + 2t;3 + 2t; - 2 - t} \right)$ .

Mà H  (P) nên $2 + 4t + 6 + 4t + 2 + t + 3 = 0$$\Leftrightarrow t = - \frac{{13}}{9}$ .

Suy ra $H\left( { - \frac{{17}}{9};\frac{1}{9}; - \frac{5}{9}} \right)$ .

Suy ra $a = - \frac{{17}}{9};b = \frac{1}{9};c = - \frac{5}{9}$ . Khi đó $T = a - b + 9c = - \frac{{17}}{9} - \frac{1}{9} + 9.\left( {\frac{{ - 5}}{9}} \right) = - 7$ .

Đáp án: a) Sai; b) Sai ; c) Đúng; d) Sai.

Mặt phẳng (Oxy) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)$.

Khi đó $\sin \gamma = \frac{{\left| {40} \right|}}{{\sqrt {{{150}^2} + {{150}^2} + {{40}^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt {466} }}$ $\Rightarrow \gamma \approx 11^\circ$.

Trả lời: 11.

Ta có $\overrightarrow {BC} = \left( {1;0; - 2} \right),\overrightarrow {BD} = \left( { - 1; - 1;0} \right),\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right] = \left( { - 2;2; - 1} \right)$.

Mặt phẳng (BCD) đi qua B(1; 1; 4) và nhận $\overrightarrow n = \left( { - 2;2; - 1} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là

$- 2\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y - 1} \right) - \left( {z - 4} \right) = 0$$\Leftrightarrow - 2x + 2y - z + 4 = 0$.

Khi đó $d\left( {A,\left( {BCD} \right)} \right) = \frac{{\left| { - 2.5 + 2.3 - 6 + 4} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 2$.

Trả lời: 2.

Đường thẳng ${d_2}:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{z}{2}$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} = \left( {1; - 2;2} \right)$.

Giả sử đường thẳng △ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_\Delta }}$.

Do $0^\circ \le \left( {\Delta ,{d_2}} \right) \le 90^\circ$ mà theo giả thiết  tạo d$_{2}$ góc lớn nhất nên $\left( {\Delta ,{d_2}} \right) = 90^\circ$ $\Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }} \bot \overrightarrow {{u_{{d_2}}}}$.

Lại có △ ⊥ d$_{1}$ nên $\overrightarrow {{u_\Delta }} \bot \overrightarrow {{u_{{d_1}}}}$. Do đó chọn $\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left[ {\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} ,\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} } \right] = \left( {4;5;3} \right)$.

Ta có phương trình đường thẳng △ là $\frac{{x - 1}}{4} = \frac{{y + 1}}{5} = \frac{{z - 2}}{3}$.

Vậy a = 5; b = 3 → ${a^2} + {b^2} = 34$.

Trả lời: 34.

Gọi M = d ◠ d' → M(1; 2; 4).

Ta có N ∈ d' → N(1; 2; 1 + 3t') $\Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {0;0;3t' - 3} \right)$. Theo giả thiết MN = 6.

Suy ra $\left| {3t' - 3} \right| = 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t' = 3\\t' = - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}N\left( {1;2;10} \right)\\N\left( {1;2; - 2} \right)\end{array} \right.$.

Vì c < 0 nên $N\left( {1;2; - 2} \right)$.

Vậy a = 1, b = 2, c = −2  a – b + c = −3.

Trả lời: −3.

Phương trìnhquỹ đạo chuyển động của viên đạn là $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = 1 + t\\z = 3 + 5t\end{array} \right.$.

Thay tọa độ điểm B vào phương trình chuyển động của viên đạn ta được $\left\{ \begin{array}{l}8 = 2 + 2t\\4 = 1 + t\\18 = 3 + 5t\end{array} \right. \Rightarrow t = 3$.

Vậy viên đạn bay trúng mục tiêu trong 3 giây.

Trả lời: 3.